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'''年金'''是指等额、定期的系列收支。<ref>{{cite book|title=财务成本管理|url=https://archive.org/details/caiwuchengbengua0000unse_m5u0|year=2012|publisher=中国财政经济出版社|isbn=978-7-5095-3457-1|pages=[https://archive.org/details/caiwuchengbengua0000unse_m5u0/page/82 82]}}</ref>即用于描述这类以固定的时间周期以相对固定的方式发生的现金流。例如，分期付款赊购、分期偿还贷款、发放养老金、分期支付工程款、每年相同的销售收入等，都属于年金收付形式。

==分类==
按照收付时点和方式的不同可以将年金分为[[普通年金]]、[[预付年金]]、[[递延年金]]和[[永续年金]]等四种。

==普通年金现值==
普通年金的现值可以被表达为一个[[等比数列]]的总和。

考虑在<math>t = 1,2,...,n</math>时刻分别发生数额为<math>C</math>的款项，总共发生<math>n</math>次的现金流（显然，这是年金）。将在未来发生的款项根据换算周期内的利率<math>i</math>折现，这个年金的现值据此计算：<ref>{{cite book | last = Smart | first = Scott | title = Corporate Finance | url = https://archive.org/details/introductiontoco0000megg_g3j9 | publisher = Thomson Learning | location = Stamford | year = 2008 | isbn = 184480562X | page = [https://archive.org/details/introductiontoco0000megg_g3j9/page/86 86]}}</ref>

:<math>PV \,=\,\frac{C}{i}\cdot[1-\frac{1}{\left(1+i\right)^n}] </math> <math>\mathrm = {C}\frac{1-(1+i)^{-n}}{i} \,</math>

其中<math>\mathrm \frac{1-(1+i)^{-n}}{i} \,</math>稱為「年金因子」。上式同样也适用于发生时间不同但等时间间隔的年金，比如，从第一年到第十年每年年底付款100元；其中，<math>i</math>是换算周期内对应的利率或当期收益率。<ref>{{cite book | last = Khan | first = M.Y. | title = Theory & Problems in Financial Management | publisher = McGraw Hill Higher Education | location = Boston | year = 1993 | isbn = 9780074636831 }}</ref>

若年金的支付永远进行下去，没有停止的那一天，这种年金被称为[[永久年金]]。<ref>{{cite book | last = 吴岚 | first = 黄海 | title = 金融数学引论 | publisher = 北京大学出版社 | location = 北京 | year = 2005 | isbn = 9787301083734 | page = 36 }}</ref>永久年金现值的计算即令上式中<math>n \to \infty</math>，则<math>1-\frac{1}{\left(1+i\right)^n} \to 1</math>，

:<math>PV\,=\,\frac{C}{i}</math>

因此，前式可以看作是一个永久年金的现值减去一个推迟了<math>n</math>年的永久年金的现值所得。

需要注意的是，这些计算公式只有在满足下述条件时才能成立：

* 无需考虑[[通货膨胀]]，或者所用利率已将通货膨胀考虑在内。
* 将来的支付具有相当高的发生可能性，或者利率已将[[信用风险]]考虑在内。

要了解更多，请参见[[金钱的时间价值]]。

==普通年金终值==
在考虑退休年金计划或者定期储蓄计划时，有时需要计算年金终值。

根据[[终值]]计算公式:
<math>FV_A=PV_A\times(1+i)^n</math><br>

其中:<br>

* <math>FV_A</math>为年金终值<br>

* <math>PV_A</math>为年金现值<br>

* <math>i</math>为对应利率<br>

* <math>n</math>为年金期数<br>
<br>

按上文，已知普通年金现值计算公式，将其代入终值计算公式:<br>

<math>\begin{alignat}{3}
FV_A&= \frac{C}{i}\times[1-\frac{1}{\left(1+i\right)^n}]\times(1+i)^n \\
& = \frac{C}{i}\times[(1+i)^n-1] \\
& = C\times[\frac{(1+i)^n-1}{i}] \\
\end{alignat}</math><br>
<br>
已知<math>(1+i)^n</math>为计算终值时使用的[终值因子] (Future Value Factor)，则上述公式可以简化为:<br>
<br>
<math>FV_A=C\times\frac{Future\,\ Value\,\ Factor-1}{i}</math><br>
<br>
我们称<math>\frac{Future\,\ Value\,\ Factor-1}{i}</math>为[年金终值因子] (FV annuity factor)<br>
<br>
最终简化版的年金终值公式为<math>FV_A=C\times FV\,\ annuity\,\ factor</math><br>
<br>
==普通年金终值的计算==
假设A每年年末定期储蓄10,000元人民币，年利率5%，那么到第四年年末，A定期储蓄的终值是多少？<br>
<br>
首先计算终值因子: <math>Future\,\ Value\,\ Factor=(1+0.05)^4=1.215506</math><br>
<br>
接下来计算年金终值因子: <math>FV\,\ annuity\,\ factor=(1.22-1)/0.05=4.310119</math><br>
<br>
最后计算年金终值: <math>FV_A=10000\times 4.310119=43101.19</math><br>
<br>
A所做定期储蓄在第四年的终值为43101.19元。


==参见==
* [[现值]]
* [[利息]]
* [[投资]]
* [[净现值]]
* [[终值]]
* [[金钱的时间价值]]
* [[通货膨胀]]
* [[逆按揭]]

==参考文献==
{{reflist}}
[[Category:金融理论]]

[[fr:Rente]]