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{{Unreferenced|time=2021-12-13T07:29:18+00:00}}
在[[数学]]中，'''平衡点'''（equilibrium point）是相对[[微分方程]]或[[差分方程]]的概念，多指微分方程的常数解（constant solution）。

==定义==
对于微分方程
:<math>\frac{d\mathbf{x}}{dt} = \mathbf{f}(t,\mathbf{x}), \mathbf{x}\in \mathbb{R}^n</math> 
若<math>\mathbf{f}(t,\tilde{\mathbf{x}})=0</math>对任意<math>t</math>都成立，则称<math>\tilde{\mathbf{x}}</math>为此微分方程的'''平衡点'''。

类似地，对于差分方程
:<math>\mathbf{x}_{k+1} = \mathbf{f}(k,\mathbf{x}_k), \mathbf{x}\in \mathbb{R}^n</math>
若<math>\mathbf{f}(k,\tilde{\mathbf{x}})=\tilde{\mathbf{x}}</math>对<math>k=0,1,2,\ldots</math>都成立，则称<math>\tilde{\mathbf{x}}</math>为此差分方程的'''平衡点'''。

==分类==
微分方程可以被[[线性化]]为以下形式
:<math>\frac{d\mathbf{x}}{dt} = \mathbf{A}\mathbf{x}</math> 
其中<math>\mathbf{A}</math>是<math>\mathbf{f}(t,\mathbf{x})</math>在平衡点<math>\tilde{\mathbf{x}}</math>处的[[雅可比矩阵]]。通过观察矩阵<math>\mathbf{A}</math>的[[特征值]]的符号，可以判断平衡点<math>\tilde{\mathbf{x}}</math>的稳定性。

若<math>\mathbf{A}</math>的所有的特征值的[[实部]]均不为0，则<math>\tilde{\mathbf{x}}</math>被称为'''双曲平衡点'''。若所有特征值的实部均为负值，则此平衡点是'''稳定点'''。若至少存在一个特征值的实部为正值，则此平衡点是'''不稳定点'''。若至少有一个特征值的实部为正，且至少有一个特征值的实部为负，则此平衡点是[[鞍点]]。

关于差分方程的平衡点也可作相似的分类。设<math>\mathbf{G}</math>是<math>\mathbf{f}(k,\mathbf{x}_k)</math>在平衡点<math>\tilde{\mathbf{x}}</math>处的[[雅可比矩阵]]。

若<math>\mathbf{A}</math>的所有的特征值的[[模]]均不为1，则<math>\tilde{\mathbf{x}}</math>被称为'''双曲平衡点'''。若所有特征值的模均为小于1，则此平衡点是'''稳定点'''。若至少存在一个特征值的模大于1，则此平衡点是'''不稳定点'''。若至少有一个特征值的模大于1，且至少有一个特征值的模小于1，则此平衡点是[[鞍点]]。

{{平衡}}

[[Category:稳定性理论]]
[[Category:动力系统]]