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{{NoteTA|G1=物理學}}
[[File:Steiner.png|thumb|right|200px|假設z'-軸平行於質心軸，則剛體對於z'-軸的轉動慣量可以從鋼體對於質心軸的轉動慣量計算出來。]]
[[File:Parallelaxes.svg|thumb|right|200px|面積慣性矩的平行軸定理]]
'''平行軸定理'''（英語：'''parallel axis theorem'''）能夠很簡易地，從[[剛體]]對於一支通過[[質心]]的直軸（質心軸）的[[轉動慣量]]，計算出剛體對平行於質心軸的另外一支直軸的轉動慣量。

讓 <math>I_{C}\,\!</math> 代表剛體對於質心軸的轉動慣量、<math>M\,\!</math> 代表剛體的質量、<math>d\,\!</math> 代表另外一支直軸 z'-軸與質心軸的垂直距離。那麼，對於 z'-軸的轉動慣量是
:<math>I_{z'}=I_{C}+Md^2\,\!</math> 。

平行軸定理、[[垂直軸定理]]、[[伸展定則]]，這些工具都可以用來求得許多不同形狀的物體的轉動慣量。

平行軸定理也可以應用於[[截面二次軸矩]]（面積慣性矩）：
:<math>I_z = I_x + Ad^2\,\!</math> ；

這裏，<math>I_z\,\!</math> 是對於 z-軸的面積慣性矩、<math>I_x\,\!</math> 是對於平面質心軸的面積慣性矩、<math>A\,\!</math> 是面積、<math>d\,\!</math> 是 z-軸與質心軸的垂直距離。

因[[雅各·史丹納]] ({{lang|en|Jakob Steiner}}) 而命名，'''史丹納定理'''所指的幾個理論，其中一個理論就是平行軸定理。

==進階理論==
平行軸定理能夠很簡易的，從對於一個以質心為原點的座標系統的[[轉動慣量#慣性張量|慣性張量]]，轉換至另外一個平行的座標系統。

對於三維空間中任意一参考點 Q 與以此参考點為原點的[[直角座標系]] Qxyz ，一個剛體的慣性張量 <math>\mathbf{I}\,\!</math> 是
:<math>\mathbf{I} = \begin{bmatrix}
I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\
I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\
I_{zx} & I_{zy} & I_{zz}\end{bmatrix}\,\!</math> 。

這裏，對角元素 <math>I_{xx}\,\!</math> 、<math>I_{yy}\,\!</math> 、<math>I_{zz}\,\!</math> 分別為對於 x-軸、y-軸、z-軸的'''慣性矩'''。設定 <math>(x,\ y,\ z)\,\!</math> 為微小質量 <math>dm\,\!</math> 對於點 Q 的相對位置。則這些慣性矩，可以精簡地用方程式定義為
:<math>I_{xx}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int\ y^2+z^2\ dm\,\!</math> ，
:<math>I_{yy}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int\ x^2+z^2\ dm\,\!</math> ，
:<math>I_{zz}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int\ x^2+y^2\ dm\,\!</math> 。

而非對角元素，稱為'''慣性積''', 可以定義為
:<math>I_{xy}=I_{yx}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ - \int\ xy\ dm\,\!</math> ， 
:<math>I_{xz}=I_{zx}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ - \int\ xz\ dm\,\!</math> ，
:<math>I_{yz}=I_{zy}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ - \int\ yz\ dm\,\!</math> 。

假若已知剛體對於質心 G 的慣性張量 <math>\mathbf{I}_G\,\!</math> ，質心 G 的位置是 <math>(\bar{x},\ \bar{y},\ \bar{z})\,\!</math> ，則剛體對於原點 O 的慣性張量 <math>\mathbf{I}\,\!</math> ，依照平行軸定理，可以表述為
:<math>I_{xx}=I_{G,xx}+m(\bar{y}^2+\bar{z}^2)\,\!</math> ，
:<math>I_{yy}=I_{G,yy}+m(\bar{x}^2+\bar{z}^2)\,\!</math> ，
:<math>I_{zz}=I_{G,zz}+m(\bar{x}^2+\bar{y}^2)\,\!</math> ，

:<math>I_{xy}=I_{yx}=I_{G,xy} - m\bar{x}\bar{y}\,\!</math> ，
:<math>I_{xz}=I_{zx}=I_{G,xz} - m\bar{x}\bar{z}\,\!</math> ，
:<math>I_{yz}=I_{zy}=I_{G,yz} - m\bar{y}\bar{z}\,\!</math> 。

證明：
[[File:PrincipleOfParallelAxis01.JPG|right|thumb|200px|慣性張量的平行軸定理]]
a) 參考右圖 ，讓 <math>(x\,',\ y\,',\ z\,')\,\!</math> 、<math>(x,\ y,\ z)\,\!</math> 分別為微小質量 <math>dm\,\!</math> 對質心 G 與原點 O 的相對位置：
:<math>y=y\,'+\bar{y}\,\!</math> ，<math>z=z\,'+\bar{z}\,\!</math> 。

依照慣性張量的慣性矩定義方程式，
:<math>I_{G,xx}=\int\ y\,'\,^2+z\,'\,^2\ dm\,\!</math> ，
:<math>I_{xx}=\int\ y^2+z^2\ dm\,\!</math> 。

所以，
:<math>\begin{align}
I_{xx}&=\int\ (y\,'+\bar{y})^2+(z\,'+\bar{z})^2\ dm\\
&=I_{G,xx}+m(\bar{y}^2+\bar{z}^2)\ . \\
\end{align}\,\!</math> 

相似地，可以求得 <math>I_{yy}\,\!</math> 、<math>I_{zz}\,\!</math> 的方程式。

b) 依照慣性張量的慣性積定義方程式 ，
:<math>I_{G,xy}= - \int\ x\,'y\,'\ dm\,\!</math> ，
:<math>I_{xy}= - \int\ xy\ dm\,\!</math> 。

因為 <math>x=x\,'+\bar{x}\,\!</math> ，<math>y=y\,'+\bar{y}\,\!</math> ，所以
:<math>\begin{align}
I_{xy}&= - \int\ (x\,'+\bar{x})(y\,'+\bar{y})\ dm \\
&=I_{G,xy} - m\bar{x}\bar{y}\ . \\
\end{align}\,\!</math> 
相似地，可以求得對於點 O 的其他慣性積方程式。

==實例==
[[File:RectangleBlock01.JPG|right|thumb|200px|實心長方體：a)座標系統的原點在質心。b)座標系統的原點在角落。]]

思考一個實心長方體對於質心 G 的慣性張量，
:<math>I_G =\begin{bmatrix}
  \frac{1}{12} m (w^2 + h^2) & 0 & 0 \\
  0 & \frac{1}{12} m (h^2 + d^2) & 0 \\ 
  0 & 0 & \frac{1}{12} m (w^2 + d^2)\end{bmatrix}\,\!</math>

如圖右，質心 G 的位置是 <math>\left(\frac{d}{2},\ \frac{w}{2},\ \frac{h}{2}\right)\,\!</math> 。依照平行軸定理，實心長方體對於點 O 的慣性矩與慣性積分別為

:<math>I_{xx} =\frac{1}{12} m (w^2 + h^2) +m \left(\left(\frac{w}{2}\right)^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2\right)\,\!</math> 、
:<math>I_{yy} =\frac{1}{12} m (h^2 + d^2) +m \left(\left(\frac{h}{2}\right)^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2\right)\,\!</math> 、
:<math>I_{zz} =\frac{1}{12} m (w^2 + d^2) +m \left(\left(\frac{w}{2}\right)^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2\right)\,\!</math> 、

:<math>I_{xy}= - m\left(\frac{w}{2}\right)\left(\frac{d}{2}\right)= - \frac{mwd}{4} \,\!</math> 、
:<math>I_{xz}= - m\left(\frac{h}{2}\right)\left(\frac{d}{2}\right)= - \frac{mhd}{4} \,\!</math> 、
:<math>I_{yz}= - m\left(\frac{w}{2}\right)\left(\frac{h}{2}\right)= - \frac{mwh}{4} \,\!</math> 。

因此，實心長方體對於點 O 的慣性張量是
:<math>I_G =\begin{bmatrix}
  \frac{1}{3} m (w^2 + h^2) & - \frac{1}{4}mwd & - \frac{1}{4}mhd  \\
  - \frac{1}{4}mwd & \frac{1}{3} m (h^2 + d^2) & - \frac{1}{4}mwh   \\ 
  - \frac{1}{4}mhd & - \frac{1}{4}mwh & \frac{1}{3} m (w^2 + d^2)\end{bmatrix}\,\!</math>

==參閱==
*[[轉動慣量列表]]
*[[垂直轴定理]]

== 參考文獻 ==
*Beer, Ferdinand; E. Russell Johnston, Jr., William E. Clausen (2004). Vector Mechanics for Engineers. 7th edition. USA: McGraw-Hill, ISBN 0-07-230492-8

==外部連結==
*[https://web.archive.org/web/20090408201847/http://elearning.stut.edu.tw/mechanical/Dynamics/ch21/main21-1.htm 南台科技大學高職教師進修網站 ]

[[Category:力學]]
[[Category:經典力學]]
[[Category:動力學]]
[[Category:物理定理]]
[[Category:矩 (物理學)]]

[[fr:Moment d'inertie#Théorème de transport (ou théorème d'Huygens ou théorème de Steiner)]]