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{{NoteTA|G1=Math}}
{{Infobox polyhedron
| imagename = Parallelepiped 2013-11-29.svg
| caption = 平行六面体
| Type = [[柱體]]
| Coxeter_diagram = 
| Face = 6
| Edge = 12
| Vertice = 8
| Face_type = [[平行四邊形]]×6
| Vertice_type =
| Schläfli =
| Face_configuration =
| Wythoff = 2 4 &#124; 2
| Conway =
| Symmetry_group = [[循环对称|''C''<sub>''i''</sub>]], [2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>], (&times;), order 2
| Index_references = 
| dual = [[平行四面軸正軸體]]
| Rotation_group =
| Dihedral_angle = 
| Properties = [[凸集|凸]]、[[環帶多面體]] 
| 3d_image = 
| vfigimage = 
| dual_image =
| net_image = 
}}

在[[几何学]]中，'''平行六面体'''是由六个[[平行四边形]]所组成的三维立体，是一種[[平行多面體]]。它与平行四边形的关系，正如[[正方体]]与[[正方形]]之间的关系；在[[欧几里得几何]]中这四个概念都允许，但在[[仿射几何]]中只允许平行四边形和平行六面体。平行六面体的三个等价的定义为：
*六个面都是平行四边形的[[多面体]]；
*有三对对面平行的六面体；
*底面为平行四边形的[[棱柱]]。
[[长方体]]（六个面都是[[长方形]]）、[[正方体]]（六个面都是[[正方形]]），以及[[菱面体]]（六个面都是[[菱形]]）都是平行六面体的特殊情况。

平行六面体是[[拟柱体]]的一个子类。

==性质==
平行六面体可由[[正方体]]经[[线性变换]]而成。

用[[全等|相同]]的平行六面体，可以[[堆砌|镶嵌]]整个空间。

==体积==
===基本公式===
平行六面体的[[体积]]是[[底面]] <math>A</math> 与高 <math>h</math> 的乘积，即
:<math>V = Ah</math> 。
这里的高是底面与对面的垂直距离。

===以向量計算===
[[File:Parallelepiped volume.svg|right|thumb|240px|用向量来定义平行六面体。]]
另外一个方法是用向量 <math>\mathbf{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3})</math> ， <math>\mathbf{b} = (b_{1}, b_{2}, b_{3})</math> ，以及 <math>\mathbf{c} = (c_{1}, c_{2}, c_{3})</math> 来表示相交于一点的三条棱。平行六面体的体积 <math>V</math> 等于純量[[三重积]]：

:<math>V = |\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})| = |\mathbf{b} \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{a})| = |\mathbf{c} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b})|</math>。

'''證明'''：

以 <math>\mathbf{b}</math> 和 <math>\mathbf{c}</math> 来表示底面的边，则根据[[向量积]]的定义，底面的面积 <math>A</math> 为：
:<math>A= |\mathbf{b}| |\mathbf{c}| \sin \theta = |\mathbf{b} \times \mathbf{c}|</math> ，
其中 <math>\theta</math> 是 <math>\mathbf{b}</math> 与 <math>\mathbf{c}</math> 之间的角，而高为：
:<math>h=|\mathbf{a}| \cos \alpha </math>，
其中 <math>\alpha</math> 是 <math>\mathbf{a}</math> 与 <math>h</math> 之间的角。

从图中我们可以看到， <math>\alpha</math> 的大小限定为 <math>0^\circ \le \alpha < 90^\circ</math> 。而向量 <math>\mathbf{b} \times \mathbf{c}</math> 与 <math>\mathbf{a}</math> 之间的角 <math>\beta</math> 则有可能大于90°（<math>0^\circ \le \beta < 180^\circ</math>）。也就是说，由于 <math>\mathbf{b} \times \mathbf{c}</math> 与 <math>h</math> 平行，  <math>\beta</math>  的值要么等于 <math>\alpha</math> ，要么等于 <math>180^\circ - \alpha</math> 。因此：
:<math> \cos \alpha = \pm \cos \beta = |\cos \beta |</math>，
且
:<math>h=|\mathbf{a}| |\cos \beta|</math>。
我们得出结论： 
:<math>V = Ah = |\mathbf{a}| |\mathbf{b} \times \mathbf{c}| |\cos \beta|</math> ，
于是，根据[[純量积]]的定义，它等于 <math>\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})</math> 的绝对值，即：
:<math>V = |\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})| </math>。
证毕。

最后一个表达式也可以写成以下[[行列式]]的绝对值：
:<math> V = \left| \det \begin{bmatrix}
        a_1 & a_2 & a_3 \\
        b_1 & b_2 & b_3 \\
        c_1 & c_2 & c_3
 \end{bmatrix} \right| </math>。


===以稜長及夾角計算===
若 <math>a</math> 、<math>b</math> 及 <math>c</math> 是三條兩兩相鄰的稜長，且<math>\alpha</math> 、 <math>\beta</math> 及 <math>\gamma</math> 是三條稜邊的夾角，則平行六面体的体积為：
:<math>V = a b c \sqrt{1+2\cos(\alpha)\cos(\beta)\cos(\gamma)-\cos^2(\alpha)-\cos^2(\beta)-\cos^2(\gamma)}</math> 。

'''證明'''

從上面可知，平行六面体的体积可表示為：
:<math> V = |\det \mathbf{D}| </math>
其中：
:<math> \mathbf{D} = \begin{bmatrix}
        a_1 & a_2 & a_3 \\
        b_1 & b_2 & b_3 \\
        c_1 & c_2 & c_3
 \end{bmatrix} </math>。

因此

:<math>V^{2} = \det (\mathbf{D}\mathbf{D}^{t}) = \det \begin{bmatrix}
        a \cdot a & a \cdot b & a \cdot c \\
        b \cdot a & b \cdot b & b \cdot c \\
        c \cdot a & c \cdot b & c \cdot c 
 \end{bmatrix} </math>

依行列式及純量積定義展開公式右手邊，即可得上述公式。


===以座標計算===
選取任意一頂點 <math>(x_1, y_1, z_1)</math> 以其相鄰三個頂點 <math>(x_2, y_2, z_2)</math> 、 <math>(x_3, y_3, z_3)</math> 及 <math>(x_4, y_4, z_4)</math> ，則體積可表示為：
:<math>V = \left| \det \begin{bmatrix}
        x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\
        x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\
        x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\
        x_4 & y_4 & z_4 & 1 \\
\end{bmatrix} \right|.</math>

==特殊情况==
如果平行六面体具有对称平面，则一定是以下两种情况之一：
*四个面是长方形；
*两个面是菱形，而在另外四个面中，两个相邻面相等，另外两个面也相等。

[[长方体]]是六个面都是[[长方形]]的平行六面体；[[正方体]]是六个面都是[[正方形]]的平行六面体。

[[菱面体]]是六个面都是[[菱形]]的平行六面体；[[三方偏方面体]]是所有菱形面都[[全等]]的菱面体。

==完美平行六面體==
完美平行六面體指棱長、面對角線和體對角線都是整數的平行六面體。在2009年，發現了數十個完美平行六面體的例子<ref>{{Cite journal|first1=Jorge F.|last1=Sawyer|first2=Clifford A.|last2=Reiter|year=2011|title=Perfect parallelepipeds exist|journal=[[Mathematics of Computation]]|volume=80|pages=1037–1040|arxiv=0907.0220|doi=10.1090/s0025-5718-2010-02400-7}}.</ref>，包括棱長271、106及103，劣面對角線長101、 266及255，優面角線長183、 312及323,以及體對角線長374、 300、 278及272的平行六面體。

==超平行体==

平行六面体在高维空间的推广称为'''超平行体'''。

特别地，n维空间中的超平行体称为''n''维超平行体。因此，平行四边形就是''2''维超平行体，平行六面体就是''3''维超平行体。

''n''维超平行体的所有[[对角线]]相交于一点，并被这个点所平分。

位于<math>\mathbb{R}^m</math>空间中的''n''维超平行体的''n''维体积（<math>m \ge n</math>），可以用[[格拉姆矩阵|格拉姆行列式]]的方法来计算。

==参考文献==
* Coxeter, H. S. M. [[Regular Polytopes (book)|Regular Polytopes]], 3rd ed. New York: Dover, p. 122, 1973.

==外部链接==
* {{mathworld | urlname = Parallelepiped | title = 平行六面体}}
* {{mathworld | urlname = Parallelotope | title = 超平行体}}

[[Category:多面体]]
[[Category:空間填充多面體]]