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{{不是|差平方}}
'''平方差公式'''是[[数学公式|數學公式]]的一種，屬於[[乘法公式]]、[[因式分解]]及[[恆等式]]，被普遍使用。平方差指一個[[平方數]]減去另一個[[平方數]]得來的[[乘法公式]]：
:<math>a^2-b^2 = \left(a+b\right)\left(a-b\right)</math>

<math>(a+b)</math>及<math>(a-b)</math>的排列不是非常的重要，可隨意排放。

==驗證==
===主驗證===
平方差可利用[[因式分解]]及[[乘法分配律|分配律]]來驗證：
:<math>\begin{align}
a^2-b^2 &=a^2-0-b^2  \\
&=a^2-(ab-ba)-b^2 \\
&=a^2-ab+ba-b^2 \\
&=(a^2-ab)+(ba-b^2) \\
&=a(a-b)+b(a-b) \\
&=(a-b)(a+b) \\
\end{align}</math>

===方格驗證===
平方差能使用表格方式來驗證。

{| class="wikitable" valign="center"
|+<math>(a+b)(a-b)=a^2-b^2</math>
! width="50" align="center"| x)已知
! width="50" align="center"| <math>a</math>
! width="50" align="center"| <math>+b</math>
|-
! align="center"| <math>a</math>
|align="center" | <math>a^2</math>
|align="center" | <math>+ab</math>
|-
! align="center"| <math>-b</math>
|align="center" | <math>-ab</math>
|align="center" | <math>-b^2</math>
|-
|}

這樣可驗證出<math>(a-b)(a+b) = a^2 - b^2</math>

===幾何驗證===
[[File:Difference of two squares.svg|right|240px]]
[[File:Difference_of_squares_and_cubes_visual_proof.svg|thumb|两个正方形和两个立方体之间差异的视觉证明]]

平方差可利用一個普通的平面圖表驗證出來。右圖中，是正方形<math>a^2</math>減去正方形<math>b^2</math>，那即是<math>a^2 - b^2</math>。利用平方差，計算出陰影部分的[[面積]]就是<math>(a+b)(a-b)</math>。
====方法一====
根据右图，可先將阴影部分分割成三部分，分別为：
*<math>b(a-b)\,\!</math>
*<math>(a-b)^2\,\!</math>是灰正方
*<math>b(a-b)\,\!</math>

然后，將三部分加起：
:<math>b(a-b)+(a-b)^2+b(a-b)\,\!</math>
:<math>=ab-b^2+a^2-2ab+b^2+ab-b^2\,\!</math>
:<math>=ab+ab-2ab-b^2+b^2+a^2-b^2\,\!</math>
:<math>=a^2-b^2\,\!</math>

*註：<math>(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 </math>运用了[[差平方]]。

====方法二====
與方法一差不多，先將陰影部分分割為兩部分，分別為：
*<math>a(a-b)\,\!</math>大長方
*<math>b(a-b)\,\!</math>小長方

然後，將兩部分加起：
:<math>a(a-b)+b(a-b)\,\!</math>
:<math>=a^2-ab+ab-b^2\,\!</math>
:<math>=a^2-b^2\,\!</math>

[[File:Difference of two squares geometric proof.png|center]]

==例子==
===例子一===
:<math>x^2-16\,\!</math>
<br>計算此公式，必須把兩個數項都轉為[[平方]]。並得：
:<math>=x^2-4^2\,\!</math>
:<math>=(x-4)(x+4)\,\!</math>

===例子二===
:<math>16m^2-81n^2\,\!</math>
<br>計算此公式，同樣地把兩個數項轉為[[平方]]。並得：
:<math>=(4m)^2-(9n)^2\,\!</math>
:<math>=(4m-9n)(4m+9n)\,\!</math>

===例子三===
:<math>4y^2-36z^2\,\!</math>
<br>計算此公式，雖<math>4y^2</math>及<math>36z^2</math>的[[開方]]分別是<math>2y</math>及<math>6z</math>，但最好的方法是先抽出[[公因子]]，並得：
:<math>=4(y^2-9z^2)\,\!</math>
<br>同樣地把兩個數項轉為[[平方]]，並得：
:<math>=4\left[y^2-(3z)^2\right]\,\!</math>
:<math>=4(y-3z)(y+3z)\,\!</math>

===例子四===
:<math>\frac{1}{x^4} - \frac{13}{x^2} + 36</math>
首先，可將該兩個分數轉成正數，並得：
:<math>=x^{-4} - 13x^{-2} + 36\,\!</math>
:<math>=(x^{-2})^2 - 13(x^{-2}) + 36\,\!</math>
運用[[因式分解]]的方法得出：
:<math>=x^{-2} \times x^{-2} - 9(x^{-2}) - 4(x^{-2}) + 9 \times 4</math>
:<math>=(x^{-2} - 4)(x^{-2} - 9) \,\!</math>
<br>然後，把所有可被[[開方]]的數目轉為[[平方數]]，並得到：
:<math>= \left[(x^{-1})^2 - 2^2\right] \left[(x^{-1})^2 - 3^2\right]</math>
運用'''平方差'''並得出：
:<math>=(x^{-1} - 2)(x^{-1} + 2)(x^{-1} - 3)(x^{-1} + 3) \,\!</math>
或
:<math>= \left(\frac{1}{x} - 2\right) \left(\frac{1}{x} + 2\right) \left(\frac{1}{x} - 3\right) \left(\frac{1}{x} + 3\right) \,\!</math>

==運用==
===用平方差代替整數相乘===
某些特別的整數相乘，能巧妙地使用平方差來計算，並可減省复雜的計算步驟。

例子一，兩個數項都分別是<math>10^n</math>的<math>+x</math>及<math>-x</math>：
*<math>10\times 10 = (10-0)(10+0) = 10^2 - 0^2 = 100 - 0 = 100</math>
*<math>7\times13  = (10-3)(10+3) = 10^2 - 3^2 = 100 - 9 = 91</math>
*<math>95\times105 = (100-5)(100+5) = 100^2 - 5^2 = 10,000 - 25 = 9,975</math>
*<math>99,994\times100,006 = (100,000-6)(100,000+6) = 100,000^2 - 6^2 = 10,000,000,000 - 36 = 9,999,999,964</math>

例子二：第一個數項減去第2個數項，都是<math>10^n</math>：
*<math>14^2 - 4^2 = (14+4)(14-4) = 18\times 10 = 180 \,\!</math>
*<math>125^2 - 25^2 = (125+25)(125-25) = 150\times 100 = 15,000 \,\!</math>
*<math>1,750^2 - 750^2 = (1,750+750)(1,750-750) = 2,500\times 1,000 = 25,000,000 \,\!</math>
*<math>14,205^2 - 4,205^2 = (14,205+4,205)(14,205-4,205) = 18,410\times 10,000 = 184,100,000 \,\!</math>

例子三：運用[[分配律]]、'''平方差'''來計出以下很大而覆雜的數項：
*<math>3263 \times 3264 \times \left(\frac{3264}{3263} - \frac{3265}{3264}\right)</math>
:下一步先運用[[分配律]]：
:<math>=3263 \times 3264 \times \frac{3264}{3263} - 3263 \times 3264 \times \frac{3265}{3264}</math>
:並把所有相同數項[[約簡]]，並得：
:<math>=3264^2 - 3263 \times 3265</math>
:運用'''平方差'''，並得：
:<math>=3264^2 - (3264 - 1)(3264 + 1) \,\!</math>
:<math>=3264^2 - (3264^2 - 1^2) \,\!</math>
:<math>=3264^2 - 3264^2 + 1 \,\!</math>
:<math>=1 \,\!</math>

===錯誤運用===
很多人混淆了'''平方差'''、[[差平方]]，除了文字上外，不少人都錯誤計算。

{| border="0" 
|- 
| <div style="text-align: right;"><math>a^2-b^2 = \left(a+b\right)\left(a-b\right)</math> </div>|| 　{{tick}}
|- 
| <div style="text-align: right;"><math>a^2-b^2 = (a-b)^2\,\!</math></div> || 　{{cross}}
|}

*註：<math>(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2</math> ，詳見[[差平方]]

== 數論性質 ==
因為[[平方數]]除以4的[[同餘|餘數]]衹能是0或1，所以兩個整數的平方差模4餘0、1或3。另一方面，
: <math>(k+1)^2 - (k-1)^2 = 4k</math> 
說明模4餘0的數皆可寫成平方差，而
: <math>(k+1)^2 - k^2 = 2k+1</math>
說明模4餘1或3的數（奇數）可以寫成平方差。<ref>{{cite OEIS|A042965}}</ref><ref>{{cite OEIS|A139544}}</ref>

==內部連結==
*[[乘法公式]]
*[[因式分解]]
*[[恆等式]]
*[[乘法]]
*[[平方]]
*[[平方數]]

== 參考文獻 ==
{{reflist}}

==外部連結==
* [https://web.archive.org/web/20081011221330/http://regentsprep.org/Regents/math/ALGEBRA/AV6/Lfactps.htm Factoring the Difference of Two Squares]
* [https://web.archive.org/web/20090106134558/http://www.blackdouglas.com.au/taskcentre/064diffb.htm Difference between 2 squares]
{{Basic identity}}

[[Category:初等代数|P]]
[[Category:数学公式|P]]