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{{NoteTA|G1=Math}}

在[[抽象代數]]中，一個[[环 (代数)|環]] <math>R</math> 上的'''平坦模'''是一個 <math>R</math>-[[模]] <math>M</math>，使得函子 <math>- \otimes_R M</math> 保持[[正合序列|序列的正合性]]；若此函子還是[[忠實函子]]，則稱之為'''忠實平坦模'''

[[体 (数学)|域]]上的[[向量空間]]都是平坦模。[[自由模]]或更一般的[[射影模]]也是平坦模。对于一个[[局部環|局部]][[諾特環]]上的有限生成模，平坦性、射影性與自由性三者等價。

自[[讓-皮埃爾·塞爾|塞爾]]的論文《[[代數幾何與微分幾何]]》以降，平坦性便在[[同調代數]]與[[代數幾何]]中扮演重要角色。其幾何意義甚深，詳見條目[[平坦態射]]。

==交換環的情形==

當 <math>R</math> 為交換環，一個 <math>R</math>-模的平坦性等價於 <math>N \mapsto N \otimes_R M</math> 是個從 <math>R</math>-模到<math>R</math>-模之[[正合函子]]。

將環 <math>R</math> 對一個積性子集 <math>S</math> 的[[局部化]] <math>S^{-1}R</math> 視作 <math>R</math>-模，則它是平坦的。

當 <math>R</math> 是[[諾特環]]而 <math>M</math> 是有限生成 <math>R</math>-模時，平坦性在下述意義等價於'''局部自由模'''：<math>M</math> 是平坦 <math>R</math>-模若且唯若對任何[[素理想]] <math>\mathfrak{p}</math>，局部化 <math>M_\mathfrak{p}</math> 是自由 <math>R_\mathfrak{p}</math>-模。事實上，對條件中的 <math>\mathfrak{p}</math> 僅須考慮[[極大理想]]即可。

==一般的環== 
當 <math>R</math> 非交換時的定義須作如下修改：假設 <math>M</math> 是左 <math>R</math>-模，則稱之左平坦模，若且唯若對 <math>M</math> 的張量積將右 <math>R</math>-模的正合序列映至[[阿貝爾群]]的正合序列。

環上的張量積總是右正合函子，所以左 <math>R</math>-模 <math>M</math> 是平坦模的充要條件是：對任何右 <math>R</math>-模的單射 <math>K \rightarrow L</math>，取張量積後的同態 <math>K \otimes_R M \rightarrow L \otimes_R M</math> 仍為單射。

==極限==
一般來說，平坦模的[[極限 (範疇論)|歸納極限]]仍是平坦模；此陳述可由 <math>- \otimes_R M</math> 與 <math>\mathrm{Hom}_R(M, -)</math> 的伴隨性質形式地推出。平坦模的子模與商模不一定是平坦模，然而我們有下述定理：一個平坦模的同態像是平坦模，若且唯若其核為[[純子模]]。

Lazard 在1969年證明了：模 <math>M</math> 平坦的充要條件是它可表成有限生成自由模的歸納極限。由此可知有限展示的平坦模都是射影模。

一個阿貝爾群是平坦 <math>\mathbb{Z}</math>-模的充要條件是其中沒有撓元。

==同調代數==
===與Tor函子的關係===
平坦性也可以用[[Tor函子]]的消沒性表示。Tor函子是張量積的左[[導函子]]。一個左 <math>R</math>-模 <math>M</math> 的平坦性等價於 <math>n \geq 1 \Rightarrow \mathrm{Tor}_n^R(-, M)=0</math>；類此，一個右 <math>R</math>-模 <math>N</math> 的平坦性等價於 <math>n \geq 1 \Rightarrow \mathrm{Tor}_n^R(N,-)=0</math>。藉Tor函子的[[長正合序列]]可以導出下列關於基本性質：

考慮短正合序列
: <math> 0 \longrightarrow A \longrightarrow B \longrightarrow C \longrightarrow 0 </math>

* 若 <math>A, C</math> 平坦，則 <math>B</math> 亦然。
* 若 <math>B, C</math> 平坦，則 <math>A</math> 亦然。
* 若 <math>A, B</math> 平坦，<math>C</math> 不一定平坦；若假設 <math>A</math> 是 <math>B</math> 的[[純子模]]而 <math>B</math> 平坦，則可推出 <math>A</math> 與 <math>C</math> 皆平坦。

===局部判準===
設 <math>R</math> 為交換環，<math>I \subset R</math> 為一理想，則我們有下述平坦性的'''局部判準'''。

'''定理'''（Bourbaki）. 以下諸條件等價：
# <math>M</math> 是平坦 <math>R</math>-模。
# <math>R/I \otimes_R M</math> 是平坦 <math>R/I</math>-模，且 <math>\mathrm{Tor}^R_1(M, R/I)=0</math>。
# <math>R/I \otimes_R M</math> 是平坦 <math>R/I</math>-模，且典範同態 <math>I \otimes_R M \rightarrow IM</math> 為同構。
# 對所有 <math>R</math>-模 <math>N</math>，有 <math>IN=0 \Rightarrow \mathrm{Tor}^R_1(M,N)=0</math>。
# 對所有 <math>R</math>-模 <math>N</math>，有 <math>\exists s \in \mathbb{N} \; I^sN=0 \Rightarrow \mathrm{Tor}^R_1(M,N)=0</math>。
# 對所有 <math>s \in \mathbb{N}</math>，<math>R/I^s \otimes_R M</math> 是平坦 <math>R/I^s</math>-模。
# <math>R/I \otimes_R M</math> 是平坦 <math>R/I</math>-模，且典範態射 <math>\gamma: \mathrm{gr}_I^0(M) \otimes_{R/I} \mathrm{gr}_I^\bullet (A) \rightarrow \mathrm{gr}_I^\bullet (M)</math> 為同構。

此判準在[[代數幾何]]中的用途尤大。

==平坦分解==
一個模 <math>M</math> 的'''平坦分解'''是如下形式的正合序列：
: <math>\cdots \rightarrow F_i \rightarrow F_{i-1} \rightarrow \cdots \rightarrow F_0 \rightarrow M \rightarrow 0</math>
使得其中每個 <math>F_i</math> 都是平坦模。

任何[[射影分解]]都是平坦分解。

==忠實平坦模==
一個 <math>R</math>-模 <math>M</math> 被稱作'''忠實平坦'''的，若且唯若 <math>- \otimes_R M</math> 是個[[忠實函子|忠實]]的正合函子。這也就是說：
# <math>M</math> 是個平坦 <math>R</math>-模。
# 典範映射 <math>\mathrm{Hom}_R(N_1, N_2) \rightarrow \mathrm{Hom}(N_1 \otimes_R M, N_2 \otimes_R M)</math> 是單射。

當 <math>R</math> 為交換環時，有以下幾種等價的刻劃：
* <math>M</math> 是忠實平坦的。
* <math>M</math> 是平坦的，且 <math> N \otimes_R M=0 \Rightarrow N=0</math>。
* <math>M</math> 是平坦的，且對所有極大理想 <math>\mathfrak{m} \subset R</math> 都有 <math>R/\mathfrak{m} \otimes_R M \neq 0</math>。
* 一個序列 <math>N_\bullet</math> 正合，若且唯若 <math>N_\bullet \otimes_R M</math> 正合。

==文獻==
* Multilinear Algebra, Northcott D.G, 1984, Cambridge University Press - page 33
*{{cite book | author=Eisenbud, David | title=Commutative algebra with a view toward algebraic geometry| location=New York | publisher=Springer-Verlag | series=Graduate Texts in Mathematics | volume=150 | pages=xvi+785 | year=1995 | id=ISBN 978-0-387-94268-1}}

{{ModernAlgebra}}

[[Category:交換代數|P]]
[[Category:代數幾何|P]]
[[Category:模论]]