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{{NoteTA|G1=物理學}}
[[气体]][[分子]]的'''平均自由程'''（{{lang-en|'''mean free path'''}}）指[[气体]][[分子]]两次碰撞之间经过的路程的统计平均值，<ref>{{cite web |first=Marion |last=Brünglinghaus |publisher=European Nuclear Society |url=http://www.euronuclear.org/info/encyclopedia/m/mean-fee-path.htm |title=Mean free path |date= |accessdate=2011-11-08 |archive-url=https://web.archive.org/web/20111105115303/http://www.euronuclear.org/info/encyclopedia/m/mean-fee-path.htm |archive-date=2011-11-05 |dead-url=yes }}</ref>一般用<math>\overline{\lambda}\,</math>表示。例如，在20[[摄氏度|℃]]下、[[标准大气压]]（101 KPa）下，[[氮气]]分子的平均自由程约为60[[纳米]]。

[[File:ParticleMeanFreePath.PNG|thumb|right|300px|理想气体分子运动示意图]]
理想气体分子两次碰撞之间做[[匀速直线运动]]，类似分子的平均碰撞频率，每两次碰撞之间的路程是由气体分子的自身状态决定的。气体分子的平均自由程与分子的直径或半径、分子数密度成反比。

== 历史 ==
[[鲁道夫·克劳修斯]]早在1857年就引入了平均自由程的概念。后来[[詹姆斯·麦克斯韦]]在1859年推导出[[麦克斯韦速度分布律]]后，推导出了气体分子平均自由程的更为准确的计算公式。<ref>{{cite book|publisher=高等教育出版社|title=《热学》|author=秦允豪|isbn=978-7-04-013790-3|pages=134页}}</ref>

== 推导 ==
{{unreferenced section}}
=== 分子碰撞截面 ===
分子之间发生碰撞，但大多数情况并非发生对心碰撞。两个碰撞的分子根据两者发生碰撞瞬间“对心”的情况，所产生的方向偏离不同。当入射分子的方向和目标分子的质心的垂直距离大于某一确定值时，就不再发生速度偏离。这时的“某一确定值”称为'''分子有效直径'''<math>d\,</math>。定义'''分子碰撞截面'''<math>\sigma\,</math>，即在这个圆形截面之外的范围射入的分子都不会发生速度方向偏离。关于这个截面，有以下方程：
:<math>\sigma = \pi d^2\,</math>

=== 气体分子间的平均碰撞率 ===
单位时间内气体分子发生的碰撞次数称为'''平均碰撞频率'''，一般用<math>\overline{Z}\,</math>表示，实验结果表示，有以下方程：
:<math>\overline{Z} = n \sigma v_{rel}\,</math>

其中，<math>n</math>是气体分子的分子数密度，<math>v_{rel}\,</math>是碰撞的相对速率。

由於入射分子和目标分子都在移动，不能够只考虑入射分子的移动速率，必需考虑入射分子对於目标分子的相对速率。如果是同种气体分子，则平均相对速率为
:<math>v_{rel}= \sqrt{2} \overline{v}\,</math>；

其中，<math>\overline{v}\,</math>是气体分子平均速率。

=== 气体分子的平均自由程的推导 ===
设分子平均速率为<math>\overline{v}\,</math>，则它在<math>t\,</math>时间内走过的平均路程为<math>\overline{v}t\,</math>；另外，在这段时间内分子发生的平均碰撞次数为<math>\overline{Z}t\,</math>，故由：
:<math>\overline{\lambda} = \frac{\overline{v}t}{\overline{Z}t}\,</math>

当为同种气体分子时，得到
:<math>\overline{\lambda} = \frac{1}{\sqrt{2} n \sigma}\,</math>

应用[[理想气体定律]]，可以得到
:<math>\overline{\lambda} = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \sigma p}\,</math>

其中，<math>k_B\,</math>是[[玻尔兹曼常量]]，<math>T\,</math>是[[温度]]，<math>p\,</math>是[[压强]]。

== 自由程的分布 ==
[[File:RatioMeanFreePath.PNG|thumb|right|300px|平均自由程分布示意图]]
自由程从<math>x\,</math>到无穷大的分子占分子总数的比例为：
:<math>\frac{N}{N_0} = exp(-\frac{x}{\overline{\lambda}})\,</math>

自由程在<math>x\,</math>与<math>x+dx\,</math>范围内的分子占分子总数的比例为：
:<math>-\frac{dN}{N_0} = \frac{1}{\overline{\lambda}}exp(-\frac{x}{\overline{\lambda}})dx\,</math>

以上两式中，<math>N_0\,</math>是碰撞分子总数，<math>\overline{\lambda}\,</math>是平均自由程。

== 相关条目 ==
* [[热学]]
* [[麦克斯韦速度分布律]]
* [[分子運動論]]

== 参考文献 ==
{{reflist}}

== 延伸阅读 ==
* {{cite book|author=David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-0471105589|title=''Fundamentals of Physics''|language=en|pages= pp. 515-516}}
* {{cite book|author=赵凯华，罗蔚茵|title=《新概念物理教程·热学》|year=2005|url=https://archive.org/details/xingainianwuliji0000unse|publisher=高等教育出版社|isbn=978-7040176803|language=zh-cn|}}

{{DEFAULTSORT:P}}
[[Category:统计力学]]