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[[数学]]中，[[拓扑空间]]''X''上与[[集合 (数学)|集合]]''A''相关联的'''常层'''（constant sheaf）是''X''上的[[层 (数学)|集合层]]，其[[茎 (层论)|茎]]全部等于''A''，记作<math>\underline{A}</math>或<math>A_X</math>。值为''A''的'''常预层'''（constant presheaf）是为''X''的每个开子集赋''A''值的[[预层]]，其所有限制映射都是恒等映射<math>A\to A</math>。关联于''A''的常层是关联于''A''的常预层的[[层化]]。这个层等同于''X''上局部常的''A''-值函数的层。<ref>{{Cite web |title=Does the extension by zero sheaf of the constant sheaf have some nice description? |url=https://math.stackexchange.com/questions/4488075/does-the-extension-by-zero-sheaf-of-the-constant-sheaf-have-some-nice-descriptio |access-date=2022-07-08 |website=Mathematics Stack Exchange |language=en |archive-date=2022-09-24 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220924222458/https://math.stackexchange.com/questions/4488075/does-the-extension-by-zero-sheaf-of-the-constant-sheaf-have-some-nice-descriptio |dead-url=no }}</ref>

有时，集合''A''可换成某[[范畴 (数学)|范畴]]<math>\textbf{C}</math>中的对象''A''（如<math>\textbf{C}</math>是[[阿贝尔群范畴]]或[[交换环范畴]]）。

[[阿贝尔群]]的常层会作为系数出现于[[层上同调]]。

==基本情形==
设''X''为拓扑空间，''A''为集合。常层<math>\underline{A}</math>在开集''U''上的截面可解释为连续函数<math>U\to A</math>，其中''A''具有[[离散拓扑]]。若''U''[[连通空间|连通]]，则这些局部常函数就是常的。若<math>f:X\to\{\text{pt}\}</math>是到单点空间的唯一[[映射]]，''A''被视作<math>\{\text{pt}\}</math>上的层，则[[逆像函子|逆像]]<math>f^{-1}A</math>是''X''上的常层<math>\underline{A}</math>。<math>\underline{A}</math>的[[层_(数学)#层的平展空间|层空间]]是射影映射''A''（其中<math>X\times A\to X</math>被赋予离散拓扑）。

==详细例子==
[[File:Constantpresheaf.png|right|thumb|300px|2点离散空间上的常预层]]
[[File:2 point discrete space.png|left|thumb|100px|2点离散拓扑空间]]
设''X''是两点''p''、''q''组成的拓扑空间，具有[[离散拓扑]]。''X''有4个开集：<math>\varnothing, \{p\}, \{q\}, \{p,q\}</math>。图中显示了''X''的开集的5个非平凡包含。
''X''上的预层为''X''的每个开集选择一个集合，并为9个[[包含映射|包含]]（5个非平凡，4个平凡）的每个选择一个限制映射。值为<math>\textbf{Z}</math>的'''常预层'''（将表为''F''）选择4个集合均为<math>\textbf{Z}</math>（整数集）、选择9个限制映射均为恒等映射。''F''是[[函子]]，因此也是预层，因为它是常的；其满足胶合公理，但不是层，因为在空集上局部恒等公理失效——空集被空集族覆盖：空集上''F''的任意两截面限制到空集族的任何集合都相等。因此，局部恒等公理意味着''F''在空集上的任意两截面都相等，但实际上并非如此。

类似地，在空集上满足局部恒等公理的预层''G''的构造如下。设<math>G(\varnothing)=0</math>，其中0是单元集。在非空集合上，为''G''赋值<math>\textbf{Z}</math>。对开集的每个包含，若较小的集合是空的，则''G''返回到0的唯一映射；否则，返回<math>\textbf{Z}</math>上的恒等映射。
[[File:Constantsheaf intermediate step.png|left|thumb|300px|常层的中间步骤]]

注意：由于空集的局部恒等公理，所有涉及空集的限制映射都是无趣的。这适用于任何满足空集局部恒等公理的预层，尤其适用于任何层。
''G''是分离预层（即满足局部恒等公理），但不满足胶合公理，这与''F''不同。<math>\{p,q\}</math>被两开集<math>\{p\},\ \{q\}</math>覆盖，交为空。<math>\{p\}</math>或<math>\{q\}</math>上的截面是<math>\textbf{Z}</math>的元素，即是一个数。选择<math>\{p\}</math>上的截面''m''、<math>\{q\}</math>上的截面''n''，假定<math>m\neq n</math>；由于''m''、''n''在<math>\varnothing</math>上限制于同一个元素0，胶合公理要求在<math>G(\{p,q\})</math>上存在唯一截面''s''，其在<math>\{p\}</math>上限制到''m''，在<math>\{q\}</math>上限制到''n''。但由于<math>\{p,q\}</math>到<math>\{p\}</math>的限制映射是恒等映设，所以<math>s=m,\ s=n</math>，于是有<math>m=n</math>，自相矛盾。
[[File:Constant_sheaf_with_categorical_product.png|right|thumb|300px|2点拓扑空间上的常层]]

<math>G(\{p,q\})</math>太小了，无法同时携带<math>\{p\}</math>、<math>\{q\}</math>的信息。设<math>H(\{p,q\})=\mathbf{Z}\otimes\mathbf{Z}</math>，就可以将其放大以满足胶合公理。令<math>\pi_1</math>、<math>\pi_2</math>为两射影映射<math>\mathbf{Z}\otimes\mathbf{Z}\to\mathbf{Z}</math>；定义<math>H(\{p\})=\text{im}(\pi_1)=\mathbf{Z}</math>，<math>H(\{q\})=\text{im}(\pi_2)=\mathbf{Z}</math>。对剩下的开集和包含，令<math>H=G</math>。''H''是''X''上的'''常层'''，值为<math>\textbf{Z}</math>。由于<math>\textbf{Z}</math>是环，且所有限制映射都是环同态，所以''H''是交换环层。

== 另见 ==
*[[局部常层]]

==参考文献==
{{Reflist}}
*Section II.1 of {{Citation
| last=Hartshorne
| first=Robin
| author-link=Robin Hartshorne
| title=[[Algebraic Geometry (book)|Algebraic Geometry]]
| publisher=Springer-Verlag
| location=New York
| series=[[Graduate Texts in Mathematics]]
| volume=52
| isbn=978-0-387-90244-9
| year=1977
| mr= 0463157
}}
*Section 2.4.6 of {{Citation
| last=Tennison
| first=B.R.
| title=Sheaf theory
| isbn=978-0-521-20784-3
| year=1975
}}

[[Category:层论]]