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{{not|古爾丁定理{{!}}帕普斯幾何中心定理}}
[[File:Pappus.png|thumb|300px|帕普斯定理]]
设U，V，W，X，Y和Z为[[平面 (数学)|平面]]上6条[[直线]]。如果：<br />
（1）U与V的交点，X与W的交点，Y与Z的交点共线，且<br />
（2）U与Z的交点，X与V的交点，Y与W的交点共线，<br />
则一定有（3）U与W的交点，X与Z的交点，Y与V的交点共线。这个定理叫做'''帕普斯六角形定理'''（{{lang-en|'''Pappus's hexagon theorem'''}}）。

也就是说，<br />
如果
:<math> \langle U \times V, X \times W, Y \times Z \rangle = 0</math> 
且
:<math> \langle U \times Z, X \times V, Y \times W \rangle = 0</math> 
则
:<math> \langle U \times W, X \times Z, Y \times V \rangle = 0.</math>

這個定理是帕斯卡定理的一個特例，當這個[[圓錐曲線]]退化成兩條直線的時候。

==证明==
设
:<math> \alpha = \langle U \times V, X \times W, Y \times Z \rangle</math> 
:<math> \beta = \langle U \times Z, X \times V, Y \times W \rangle</math> 
:<math> \gamma = \langle U \times W, X \times Z, Y \times V \rangle</math>

我们需要证明如果<math>\alpha</math> = 0且<math>\beta</math> = 0，则<math>\gamma</math> = 0。

===第一步===
利用恒等式
:<math> \langle A,B,C\rangle = \langle C,A,B\rangle = \langle B,C,A\rangle </math>
可将<math>\alpha</math>、<math>\beta</math>及<math>\gamma</math>表述为以下形式：
:<math> \alpha = \langle U \times V, X \times W, Y \times Z \rangle</math> 
:<math> \beta = \langle Y \times W, U \times Z, X \times V \rangle</math> 
:<math> \gamma = \langle X \times Z, Y \times V, U \times W \rangle</math>

===第二步===
利用恒等式
:<math>\langle A,B,C\rangle = A \cdot (B \times C)</math>
:<math>A \times (B \times C) = (A \cdot C)B - (A \cdot B)C</math>
可得
:<math> \alpha = (U \times V) \cdot ((X \times W) \times (Y \times Z)) </math>
:<math> \beta = (Y \times W) \cdot ((U \times Z) \times (X \times V))</math> 
:<math> \gamma = (X \times Z) \cdot ((Y \times V) \times (U \times W))</math>
以及
:<math> \alpha = (U \times V) \cdot (\langle X,W,Z\rangle Y - \langle X,W,Y\rangle Z) </math>
:<math> \beta = (Y \times W) \cdot (\langle U,Z,V\rangle X - \langle U,Z,X\rangle V) </math>
:<math> \gamma = (X \times Z) \cdot (\langle Y,V,W\rangle U - \langle Y,V,U\rangle W) </math>

===第三步===
利用数量积的分配律，可得：
:<math> \alpha = \langle X,W,Z\rangle \langle U,V,Y\rangle - \langle X,W,Y\rangle \langle U,V,Z\rangle</math>
:<math> \beta = \langle U,Z,V\rangle \langle Y,W,X\rangle - \langle U,Z,X\rangle \langle Y,W,V\rangle</math>
:<math> \gamma = \langle Y,V,W\rangle \langle X,Z,U\rangle - \langle Y,V,U\rangle \langle X,Z,W\rangle</math>

===第四步===
利用恒等式
:<math> \langle A,B,C\rangle = \langle C,A,B\rangle = \langle B,C,A\rangle </math>
:<math> \langle A,B,C\rangle = -\langle A,C,B\rangle = -\langle C,B,A\rangle  = -\langle B,A,C\rangle </math>
可得：
:<math> \alpha = \langle X,W,Z\rangle \langle U,V,Y\rangle - \langle X,W,Y\rangle \langle U,V,Z\rangle</math>
:<math> \beta = -\langle U,Z,X\rangle \langle Y,W,V\rangle + \langle X,W,Y\rangle \langle U,V,Z\rangle </math>
:<math> \gamma = \langle U,Z,X\rangle \langle Y,W,V\rangle - \langle X,W,Z\rangle \langle U,V,Y\rangle</math>

===第五步===
把这些等式相加，得：
:<math> \alpha + \beta + \gamma = 0 </math>
:<math> \gamma = -(\alpha + \beta) </math>
因此，如果<math>\alpha</math> = 0且<math>\beta</math> = 0，则<math>\gamma</math> = 0。

证毕。

==参见==
* [[布列安桑定理]]
* [[帕斯卡定理]]
* [[笛沙格定理]]

{{DEFAULTSORT:Pappus's hexagon theorem}}
[[Category:几何定理]]
[[Category:射影几何]]