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在[[數學]]中，'''希爾伯特模形式'''是一類[[自守形式]]，對應於[[全實域]] <math>K</math> 及相應的群 <math>\mathrm{Res}_{K/\mathbb{Q}} GL(2)_K</math>。這可以視作[[模形式]]的一種多變元推廣。當 <math>K=\mathbb{Q}</math> 時，我們回到模形式的定義。

==定義==
對於 <math>m</math> 次全實域 <math>K</math>、<math>\mathcal{O}</math> 為其中的[[代數整數]]環、 <math>\sigma_1, \ldots, \sigma_m: K \to \mathbb{R}</math> 為相應的實嵌入映射。由此得到嵌入映射
:<math>\mathrm{GL}(2,F) \to \mathrm{GL}(2,\mathbb{R})^m, \quad g \mapsto (\sigma_1(g),\ldots,\sigma_m(g))</math>

設 <math>\mathcal{H} = \mathrm{GL}(2,\mathbb{R})/\mathrm{SO}(2,\mathbb{R})</math> 為上半平面，透過上述嵌入，<math>\mathrm{GL}^+(2,\mathcal{O})</math>（指 <math>\mathrm{GL}(2,\mathcal{O})</math> 中[[行列式]]為正的元素）作用於 <math>\mathcal{H}^m</math> 上。

對 <math>g = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in GL(2,\mathbb{R})</math>，定義[[自守因子]]之值為
:<math> j(g, z) = (\det g)^{-\frac{1}{2}} (cz+d)
</math>

權為 <math>(k_1, \cdots, k_m)</math> 之希爾伯特模形式是指 <math>\mathcal{H}^m</math> 上滿足下述[[函數方程]]的[[全純函數]]
:<math>
\forall \gamma \in \mathrm{GL}^+(2,\mathcal{O}),\; f(\gamma z) = \prod_{i=1}^m j(\sigma_i(\gamma), z_i)^{k_i} f(z).
</math>

此定義與模形式的差異在於：當 <math>K \neq \mathbb{Q}</math> 時，不需要另加增長條件，這是 Koecher 定理的一個推論。

==文獻==
* Paul B. Garrett, ''Holomorphic Hilbert Modular Forms''.  Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software, Pacific Grove, CA, 1990. ISBN 0-534-10344-8
* Eberhard Freitag, ''Hilbert Modular Forms''. Springer-Verlag. ISBN 0-387-50586-5 

[[Category:模形式]]
[[Category:自守形式]]