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在[[数学]]中，如果给定一个[[局部域]] <math>K</math>，比如说[[实数|实数域]]或[[p-进数|p-进数域]]，设其去掉0后的[[乘法群]]为''K''<sup>&times;</sup>，则'''希尔伯特符号'''是一个关于''K''<sup>&times;</sup>的由[[互反律]]抽离而来的代数建构。希尔伯特符号得名于数学家[[大卫·希尔伯特]]。

具体来说，希尔伯特符号是一个从 ''K''<sup>&times;</sup> &times; ''K''<sup>&times;</sup> 射到 {&minus;1,1} 的[[函数]] <math>h(\cdot , \cdot)</math> ：

:{| align=left border="0"
|rowspan=2| <math>h \left(a,b \right) =\begin{cases}\;\;\,+1 \\ \;\;\,-1 \end{cases}</math>
| 如果方程 <math>z^2=ax^2+by^2</math> 有非零的正整数解 <math>(x,y,z)</math>
|-
| 如果方程 <math>z^2=ax^2+by^2</math> 只有零解
|}
:.
:；
:.



==性质==
由定义可以直接得到希尔伯特符号的三个性质：
*如果 <math>a</math> 是[[完全平方数]]，那么对任意的 <math>b</math>，都有<math>h(a , b)=1</math>。
*对<math>\mathbf{K}^{\times}</math>中任意 <math>a</math>、<math>b</math>，<math>h(a , b)=h(b , a)</math>。
*如果 <math>a \in \mathbf{K}^{\times} </math> 而且 <math>a-1 \in \mathbf{K}^{\times} </math> ，那么<math>h(a , 1-a)=1</math>。
进一步可以证明，<math>h(a , bc)=h(a,b)h(a,c)</math>。

==参见==
*[[類域論]]
*[[雅可比符号]]
*[[勒让德符号]]
*[[二次互反律]]

==外部链接==
*[[Mathworld]]中的[http://mathworld.wolfram.com/HilbertSymbol.html 希尔伯特符号] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/HilbertSymbol.html |date=20200318170909 }}

==参考来源==
*{{cite book | author = Z. I. Borevich, I. R. Shafarevich | title = Number theory | url = https://archive.org/details/numbertheory00bore | publisher = Academic Press | year = 1966 | id=ISBN 0-12-117851-X }}
* {{Citation | last1=Milnor | first1=John Willard | author1-link=約翰·米爾諾 | title=Introduction to algebraic ''K''-theory | publisher=[[Princeton University Press]] | series=Annals of Mathematics Studies | id={{MathSciNet | id = 0349811}} | year=1971 | volume=72}}
* {{Citation | last1=Vostokov | first1=S. V. | last2=Fesenko | first2=I. B. | title=Local fields and their extensions | url=http://www.maths.nott.ac.uk/personal/ibf/book/book.html | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | isbn=978-0-8218-3259-2 | year=2002 | accessdate=2008-09-01 | archive-date=2012-07-17 | archive-url=https://web.archive.org/web/20120717060948/http://www.maths.nott.ac.uk/personal/ibf/book/book.html | dead-url=no }}
* {{Citation | last1=Serre | first1=Jean-Pierre | author1-link=Jean-Pierre Serre | title=A Course in Arithmetic | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-3-540-90040-5 | year=1996 | volume=7}}


[[Category:二次型]]
[[Category:数学符号]]
[[Category:类域论]]