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[[File:Bring radical plot.svg|thumb|實係數下布靈根式的圖]]
'''布靈根式'''（{{lang-en|Bring radical}}）或是'''超根式'''（{{lang-en|ultraradical}}）是[[代數]]术語。布靈根式不是一般意義下的[[根式]]（''n''次方根，或“单位根”），[[複數 (數學)|複數]]''a''的布靈根式可以用<math>\mathrm{BR}(a)</math>表示，是指以下[[五次方程]]的解

:<math>x^5+x+a = 0\,</math>

對應一複數''a''的布靈根式，是上述方程式五個解中的一個（因此是[[多值函數]]）一般會選擇布靈根式的根，使得實數的布靈根式為正值，而且在實數線附近[[解析函數|可解析]]。布靈根式在[[复平面]]上有四個{{link-en|分支點|branch point}}，因此無法定義為複數平面上的連續函數，其連續域需要排除其{{link-en|分支切割|branch cut}}。

布靈根式是由{{link-en|厄蘭·塞缪爾·布靈|Erland Samuel Bring}}發明的，{{link-en|喬治·傑拉德|George Jerrard}}證明有些[[五次方程]]可以用[[方根|n次方根]]及布靈根式求解，因此可以用在一些五次方程的闭合形式解中。

此條目中。''a''的布靈根式表示為<math>\operatorname{BR}(a).</math>。若''a''是實數，此函數是奇函數、單調遞減且無界，在<math>a</math>很大時，其漸近行為<math>\operatorname{BR}(a) \sim -a^{1/5}</math>。

==級數表示==
布靈根式的[[泰勒级数]]，以及以[[广义超几何函数]]的表示式可以用以下方式推導。方程<math>x^5+x+a=0</math>可以寫成<math>x^5+x=-a.</math>，若令<math>f(x)=x^5+x</math>，想要的解是<math>x = f^{-1}(-a) = -f^{-1}(a)</math>，因為<math>f(x)</math>是奇函數。

<math>f^{-1}</math>的級數可以用<math>f(x)</math>[[泰勒级数]]（就是<math>x+x^5</math>）的{{link-en|拉格朗日反算法|Lagrange inversion theorem|反算}}來得，令

<math display="block">\operatorname{BR}(a) = -f^{-1}(a) = \sum_{k=0}^\infty \binom{5k}{k} \frac{(-1)^{k+1} a^{4k+1}}{4k+1} = -a + a^5 - 5 a^9 + 35 a^{13} - 285 a^{17} + \cdots,</math>

其中係數的絕對值形成[[整數數列線上大全]]中的[[OEIS:A002294|A002294]]。數列的[[收敛半径]]為<math> 4/(5 \cdot \sqrt[4]{5}) \approx 0.53499.</math>。 

布靈根式的[[超几何函数]]形式可以寫成<ref name="qmathematica">
{{cite web
 |title=Solving the Quintic with Mathematica
 |publisher=[[Wolfram Research]]
 |url=http://library.wolfram.com/examples/quintic/
 |url-status=dead
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20140701060849/http://library.wolfram.com/examples/quintic/
 |archive-date=1 July 2014
}}</ref>：
<math display="block">\operatorname{BR}(a) = -a \,\,_4F_3\left(\frac{1}{5},\frac{2}{5},\frac{3}{5},\frac{4}{5};\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{5}{4};-5\left(\frac{5a}{4}\right)^4\right).</math>

==相關條目==
*[[方程理论]]
==參考資料==
{{reflist}}

==外部連結==
* {{MathWorld|urlname=Bring-JerrardQuinticForm|title=Bring–Jerrard Quintic Form}}
* {{MathWorld|urlname=BringQuinticForm|title=Bring Quintic Form}}

[[Category:方程]]
[[Category:多項式]]