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'''布隆斯公式'''（{{Lang-en|Bruns formula}}），也称布隆斯方程，<ref name=":1">{{Cite book|title=Physical Geodesy|last=Sneeuw|first=Nico|publisher=Institute of Geodesy Universität Stuttgart|year=2006|isbn=|location=|pages=122|url=https://www.gis.uni-stuttgart.de/lehre/campus-docs/LNErdm.pdf|access-date=2020-04-05|archive-url=https://web.archive.org/web/20200413023934/https://www.gis.uni-stuttgart.de/lehre/campus-docs/LNErdm.pdf|archive-date=2020-04-13|dead-url=yes}}</ref>是[[大地测量学]]中用于描述[[大地水准面高]]、[[扰动位]]和[[正常重力]]的关系式，<ref name=":2">{{Cite book|chapter=|url=http://archive.org/details/HeiskanenMoritz1967PhysicalGeodesy|date=1967|last=San Francisco W. H. Freeman and Company|title=Heiskanen Moritz 1967 Physical Geodesy|first=|publisher=W. H. Freeman and Company|year=1967|isbn=|location=San Francisco|pages=}}</ref>{{Rp|85}}由[[德国]][[大地测量学]]家[[海因里希·布伦斯|海因里希·布隆斯]]于[[1878年]]提出。<ref>{{Cite book|chapter=|url=https://books.google.co.jp/books/about/Die_Figur_der_Erde.html?id=DP0-AAAAYAAJ&redir_esc=y|publisher=P. Stankiewicz|date=1878|language=de|first=Heinrich|last=Bruns|title=Die Figur der Erde: Ein Beitrag zur europäischen Gradmessung|year=|isbn=|location=|pages=20|access-date=2020-04-05|archive-date=2020-05-03|archive-url=https://web.archive.org/web/20200503094226/https://books.google.co.jp/books/about/Die_Figur_der_Erde.html?id=DP0-AAAAYAAJ&redir_esc=y|dead-url=no}}</ref>

== 数学表达 ==
设[[大地水准面]]有一点 <math>\mathbf{P}</math> ，其沿[[法线]]投影到参考椭球面上的点为 <math>\mathbf{Q}</math>，则 <math>\mathbf{P}</math> 点处的[[大地水准面高]] <math>N</math> 即为两点之间的距离 。又设 <math>\mathbf{P}</math> 点处的[[扰动位]]为 <math>T</math>，计算得的 <math>\mathbf{Q}</math> 点处的[[正常重力]]为 <math>\gamma</math>，则布隆斯公式可表达为：<ref name=":2" />{{Rp|85}}

: <math>N = \frac{T}{\gamma}</math>

在实际使用过程中，为简化计算，在不影响精度的情况下上式的 <math>\gamma</math> 可以用正常重力的平均值 <math>\bar{\gamma}</math> 代替。<ref name=":0">{{Cite book|title=地球形状及外部重力场|author=宁津生|publisher=测绘出版社|year=1981|isbn=|location=|pages=|authorlink=宁津生|editor=管泽霖|first=}}</ref>{{Rp|245}}

== 推导过程 ==
由于[[参考椭球面]]的[[正常重力|正常重力位]] <math>U</math> 被定义成与其所对应的[[大地水准面]]的[[重力位]] <math>W_0</math> 相等，大地水准面上的点 <math>\mathbf{P}</math> 及其在参考椭球面上的投影 <math>\mathbf{Q}</math> 的重力位存在如下关系：<ref name=":2" />{{Rp|82}}

: <math>W_P = U_Q = W_0</math>

重力位 <math>W_P</math> 又可被分作正常重力位 <math>U_P</math> 和扰动位 <math>T</math> 两部分，即：<ref name=":2" />{{Rp|82}}

: <math>W_P = U_P + T</math>

则扰动位  <math>T</math> 可表示成点 <math>\mathbf{P}</math> 和点 <math>\mathbf{Q}</math> 的正常重力位之差，并进一步表示为点 <math>\mathbf{Q}</math> 处正常重力的偏导数：<ref name=":2" />{{Rp|84}}

: <math>T = U_Q - U_P = -{({\partial U\over\partial n})}_QN = \gamma N</math>

上式中 <math>n</math> 为参考椭球面的[[法线]]方向（也即大地水准面高 <math>N</math> 的方向）。正常重力 <math>\gamma</math> 的正向向下，因此符号为负。将上式变形即得：

: <math>N = \frac{T}{\gamma}</math>

== 参见 ==

*[[广义布隆斯方程]]
* [[重力测量基本微分方程]]

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

{{物理大地测量学}}
[[Category:大地测量学]]