查看“︁布豐投針問題”︁的源代码

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{{Refimprove|time=2022-06-28T13:34:55+00:00}}
[[File:Buffon needle.gif|thumb|right]]
'''布豐投針問題'''（{{lang-fr|Aiguille de Buffon}}，又译“蒲丰投針問題”），是法國學者[[布丰]]於18世紀提出的一個[[数学]]問題：<ref>''[https://books.google.com/books?id=GOAEAAAAQAAJ&pg=PA43 Histoire de l'Acad. Roy. des. Sciences]'' (1733), 43–45; ''[https://books.google.com/books?id=AjhYD1vsVAIC&pg=PA46 Histoire naturelle, générale et particulière]'' Supplément 4 (1777), p. 46.</ref>

{{Blockquote|設我們有一個以[[平行]]且等距木紋舖成的地板（如右圖），現在隨意拋一支長度比木紋之間距離小的[[針]]，求針和其中一條木紋相交的機率。}}

使用[[微分几何|積分幾何]]能找到此題的解。用該方法可設計一個求[[圓周率|π]]的[[蒙地卡羅方法]]，不過這並非布豐的本意。<ref>{{cite web|last1=Behrends|first1=Ehrhard|title=Buffon: Hat er Stöckchen geworfen oder hat er nicht?|url=https://www.mathematik.de/ger/presse/ausdenmitteilungen/artikel/dmvm-2014-0022.pdf|accessdate=14 March 2015|archive-date=2014-08-02|archive-url=https://web.archive.org/web/20140802054126/http://mathematik.de/ger/presse/ausdenmitteilungen/artikel/dmvm-2014-0022.pdf|dead-url=no}}</ref>

== 解法 ==
設針的長度是<math>\ell</math>，平行線之間的距離為<math>t</math>，<math>x</math>為針的中心和最近的平行線的距離，<math>\theta</math>為針和線之間的[[銳角]]。

<math>x \in [0,t/2]</math>且[[均匀分布]]，其[[機率密度函數]]為<math> \frac{2}{t}</math>。 

<math>\theta \in [0,\pi/2]</math>且均匀分布，其機率密度函數為<math> \frac{2}{\pi}</math>。

<math>x,\theta</math>兩個[[隨機變數]]互相獨立，因此兩者結合的機率密度函數只是兩者的[[乘法|積]]：

:<math> \frac{4}{t\pi}\ (x \in [0,t/2], \theta \in [0,\pi/2]) </math>

當<math>x \le \frac{\ell}{2}\sin\theta</math>，針和線相交，然後對<math> x, \theta</math>積分得出所求機率。

要求上式的積分需要分為兩種情況：“短針”<math>({\ell} \le t)</math>以及“長針”<math>({\ell} > t)</math>；以下考慮“短針”情況，計算上式積分得針與線相交的機率：

:<math>P = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{(\ell/2)\sin\theta}  \frac{4}{t\pi}\,dx\,d\theta = \frac{2\ell}{t\pi}</math>

作簡單變換可得<math>\pi = \frac{2\ell}{tP}</math>,

當拋<math>n</math>支針，其中有<math>h</math>支針與線相交，利用多次重複試驗所觀察事件發生的頻率越來越接近機率的理論值<math>P \approx \frac{h}{n}</math>。

近似可得<math>\pi \approx \frac{2\ell n}{th}</math>

== 拉扎里尼的估計 ==
1901年，[[意大利]]數學家马里奥·拉扎里尼（Mario Lazzarini）嘗試進行此實驗。他拋了3408次針，得到π的近似值為355/113。

拉扎里尼選取了一支長度是紋的距離的5/6的針。在這個情況，針和紋相交的機會是5/(3π)。如果想拋n次針而得到x次相交，π約等於<math>5/3 \times n/x</math>。分母、分子少於五位數字，沒有比355/113更好的π的近似值了。因此，可以列式<math>355/113 = 5/3 \times n/x</math>，得<math>x = 113n/213</math>。

為求x的值接近這個數，可以重覆拋213次針，若有113次是成功的，便可終止實驗，宣布這個方法求π值準確度不低；否則，就再拋213次針，希望共有226次成功……這次反覆進行實驗。拉扎里尼做了<math>3408=213 \times 16</math>次。

== 參見 ==
*[[伯特蘭悖論]]
*[[蒙地卡羅方法]]

== 參考文獻 ==
{{Reflist}}

== 外部連結 ==
{{commons category|Buffon's needle}}
* [http://www.cut-the-knot.org/fta/Buffon/buffon9.shtml Buffon's Needle Problem] {{Wayback|url=http://www.cut-the-knot.org/fta/Buffon/buffon9.shtml |date=20220122110316 }} at [[cut-the-knot]]
* [http://www.cut-the-knot.org/ctk/August2001.shtml Math Surprises: Buffon's Noodle] {{Wayback|url=http://www.cut-the-knot.org/ctk/August2001.shtml |date=20120130231341 }} at [[cut-the-knot]]
* [http://www.mste.uiuc.edu/reese/buffon/buffon.html MSTE: Buffon's Needle] {{Wayback|url=http://www.mste.uiuc.edu/reese/buffon/buffon.html |date=20090625181902 }}
* [http://www.angelfire.com/wa/hurben/buff.html Buffon's Needle Java Applet] {{Wayback|url=http://www.angelfire.com/wa/hurben/buff.html |date=20211113210543 }}
* [http://www.metablake.com/pi.swf Estimating PI Visualization (Flash)] {{Wayback|url=http://www.metablake.com/pi.swf |date=20220413082314 }}
* [http://www.slideshare.net/cypztm/buffons-needle-fun-and-fundamentals Buffon's needle: fun and fundamentals (presentation)] {{Wayback|url=http://www.slideshare.net/cypztm/buffons-needle-fun-and-fundamentals |date=20220413082314 }} at [[slideshare]]
* [https://yihui.name/animation/example/buffon-needle/ Animations for the Simulation of Buffon's Needle] {{Wayback|url=https://yihui.name/animation/example/buffon-needle/ |date=20190906082302 }} by Yihui Xie using the [[R (programming language)|R]] package [https://cran.r-project.org/package=animation animation]
* [http://www.ventrella.com/Buffon/index.html 3D Physical Animation] {{Wayback|url=http://www.ventrella.com/Buffon/index.html |date=20090630225656 }} by Jeffrey Ventrella
* {{cite web|last=Padilla|first=Tony|title=Π Pi and Buffon's Needle|url=http://www.numberphile.com/pi/pi_matches.html|work= [[Numberphile]] |publisher=[[Brady Haran]]|access-date=2013-04-09|archive-url=https://web.archive.org/web/20130517072808/http://www.numberphile.com/pi/pi_matches.html|archive-date=2013-05-17|url-status=dead}}

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