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[[Image:Brownsche_Bruecken.png|thumb|400px|2个相互独立的标准布朗桥]]

'''标准布朗桥'''（英語：'''Brownian bridge'''）是[[概率论]]中常见的一个研究对象。 它是一种连续时间上的[[随机过程]]， 在0和1处取值为0.

注意不要和[[布朗运动]]混淆。

布朗桥有时又被称为绑在0和1处的布朗运动（此处仅为意译）。

非标准的 '''布朗桥''' 只是在条件 <math>\scriptstyle [B_{t_1}=a , B_{t_2}=b]</math>下一般化的布朗桥。

==定义==
 '''标准的布朗桥''' <math>\scriptstyle (B_t,t \geq 0)</math>为一个连续时间上的 [[随机过程]] ，它的分布为在条件<math>\scriptstyle B_0=B_1=0</math>下的[[维纳过程]] （Wiener Process）。

它首先是一个高斯过程, 也就是说随机向量 <math>\scriptstyle  (B_{t_1},...,B_{t_n})</math>在条件 <math>\scriptstyle B_1=0</math>下服从[[高斯分布]]。所以它可以由期望和协方差来刻画：
: <math> \forall 0\leq t\leq 1, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \mathbb E[B_t|B_1=0]=0,  </math>
: <math> \forall 0\leq s< t\leq 1, \,\, cov(B_s,B_t|B_1=0)=s(1-t).  </math>

'''定义的备注'''

事件<math>\scriptstyle  [B_1=0]</math> 的概率为0。 考虑满足
: <math> \forall \varepsilon>0, \mathbb P[|B_1|<\varepsilon]>0. </math>
的事件 <math>\scriptstyle [|B_1|< \varepsilon]</math>，
我们可以考察条件分布 <math>\scriptstyle  \mathbb P[\cdot||B_1|<\varepsilon] </math>。 由[[弱收敛|依分布收敛]] 可得：
: <math> \mathbb P [\cdot | |B_1|<\varepsilon] \underset{\varepsilon \rightarrow 0}{\longrightarrow} \mathbb P [\cdot | |B_1|=0] </math>
这给出了布朗桥的一个严格定义。


== 和其他随机过程的关系  ==
=== 和布朗运动的关系===

'''性质1'''

设<math>\scriptstyle (W_t,t \geq 0)</math> 为一个 [[维纳过程]] (或者 [[布朗运动]]), 那么过程 <math>\scriptstyle (B_t,0 \leq t \leq 1)</math> :
: <math> \displaystyle B_t = W_t - t W_1</math>
为一个标准的布朗桥。

'''相互定义'''

设 <math>\scriptstyle (B_t, 0 \leq t \leq 1)</math> 为一个标准的布朗桥，  ''Z'' 是一个正态随机变量，则过程 <math>\scriptstyle (W^1_t,t \geq 0)</math> et <math>\scriptstyle (W^2_t,t \geq 0)</math> :
: <math>W^1_t=B_t+tZ </math>&nbsp;&nbsp;&nbsp; et &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math> W^2_t=B_{\frac{t}{T}}+\frac{t}{T}Z</math>
为 <math>\scriptstyle t \in[0,1]</math> 和 <math>\scriptstyle t\in[0,T]</math> 上的维纳过程。

'''性质 2'''

设 <math>\scriptstyle (W_t,t\geq 0)</math> 为一个 [[维纳过程]], 则过程 <math>\scriptstyle (B_t,0 \leq t\leq 1)</math> ：
: <math> B_t = (1-t)W_{\frac{t}{1-t}}</math>
为一个标准布朗桥。

'''相互定义'''

设 <math>\scriptstyle (B_t,0 \leq t \leq 1)</math> 为一个标准的布朗桥, 那么过程 <math>\scriptstyle (W_t,t \geq 0)</math>：
: <math>W_t=(1+t)B_{\frac{t}{1+t}}</math> 
为一个维纳过程。


=== 扩散形式下的表达 ===

也可以认为布朗桥是一种扩散过程。 事实上， 如果 <math>W</math> 是一种标准的布朗桥，[[随机方程]]
:<math>
dX_t=dW_t-\frac{X_t}{1-t}dt
</math>
初始条件<math>X_0=0</math>的解和布朗桥同分布。

事实上,  <math>X</math>是一个 [[马尔可夫过程|马氏过程]]，这个从布朗桥的定义中不容易看出。

== 性质==

设<math>\scriptstyle  (B_t,0 \leq t \leq 1)</math> 为标准的布朗桥。

'''性质3'''

设 ''b'' 为一个实数，
: <math> \mathbb P\left[\hbox{ there is a }t\in[0,1]\hbox{ s.t. }B_t=b\right]=e^{-2b^2}.  </math>

'''性质4'''

设 ''b'' 为一个正实数
: <math> \mathbb P\left[\sup_{t\in[0,1]} |B_t| \geq b\right]=2\sum_{n\geq 1}(-1)^{n-1}e^{-2n^2b^2}.  </math>

'''性质 5'''

设''a'' et ''b'' 为2个正实数.
: <math> \mathbb P\left[-a < B_t < b \, , \forall 0\leq t\leq 1\right]=\sum_{m=-\infty}^{+\infty}\left[e^{-2m^2(a+b)^2}-e^{-2((m+1)a+mb)^2}\right].  </math>

'''性质6'''

设 ''x'' 为一个正实数
: <math> \mathbb P\left[\sup_{t\in[0,1]} B_t -\inf_{t\in[0,1]} B_t \geq x\right]=2\sum_{m\geq 1}(4m^2x^2-1)e^{-2m^2x^2}.  </math>


==相关條目==
* [[布朗运动]]
* [[维纳过程]]

== 参考文献 ==
* {{Cite book |last=Glasserman |first=Paul |title=Monte Carlo Methods in Financial Engineering |url=https://archive.org/details/montecarlomethod0000glas |isbn=0-387-00451-3 |publisher=Springer-Verlag |location=New York |year=2004}}
* {{Cite book |author=Revuz, Daniel; Yor, Marc |title=Continuous Martingales and Brownian Motion |edition=2nd  |isbn=3-540-57622-3 |publisher=Springer-Verlag |location=New York |year=1999}}


{{Stochastic processes}}

{{DEFAULTSORT:布朗桥}}
[[Category:随机过程]]