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[[泛函分析]]和鄰近[[數學]]分支中，'''巴拿赫-阿勞格魯定理'''或'''阿勞格魯定理'''（{{lang-en|Banach–Alaoglu theorem}}或{{lang|en|Alaoglu's theorem}}）斷言，任意[[賦範向量空間]]的[[對偶空間|連續對偶空間]]中，[[闭集|閉]][[球 (数学)|單位球]]在[[弱*拓撲]]中為[[紧空间|緊]]。<ref>{{harvnb|Rudin|1991}}, Theorem 3.15.</ref>常見證明將弱*拓撲中的單位球看成一系列緊集之[[笛卡兒積|積]]的[[閉子集]]。根據[[吉洪诺夫定理]]，該些緊集的[[积空间|積拓撲空間]]仍為緊，故該球亦然。

定理在[[量子力學]]方面有應用。系統的[[可觀測量]]是某個[[C*-代数|C*代數]]中的[[自伴算子]]，而[[量子態]]則是該代數上的[[線性泛函]]。此框架下，定理可以推出，每個量子態皆是[[純態]]的[[凸線性組合]]。

== 歷史 ==
納里奇（{{lang|en|Narici}}）與貝肯斯坦（{{lang|en|Beckenstein}}）書中，稱阿勞格魯定理為「非常重要的結果——也許是關於{{le|弱*拓撲|weak-* topology}}唯一（{{lang|en|''the''}}）最重要的事——迴響傳遍泛函分析。」{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=235-240}}1912年，赫利（{{lang|en|Helly}}）證明，閉區間上連續函數的空間<math>C([a, b])</math>，其連續對偶空間的單位球，為弱*{{le|可數緊|countably compact}}。{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}1932年，[[斯特凡·巴拿赫]]證明，任何[[可分空間|可分]][[賦範向量空間]]的連續對偶中，閉單位球必為弱*[[序列緊]]（他僅考慮了[[序列紧]]）。{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}} 
一般情況的證明，是由{{link-en|列奧尼達·阿勞格魯|Leonidas Alaoglu}}<!--Leonidas的譯法沿用[[列奥尼达一世]]-->於1940年發表。納里奇與貝肯斯坦書中，引述Pietsch [2007]指，至少有12個數學家可以主張自己證明此定理或某個重要前身。{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=235-240}} 

'''布爾巴基-阿勞格魯定理'''（{{lang-en|Bourbaki–Alaoglu theorem}}）是[[尼古拉·布尔巴基]]將原定理推廣<ref>{{harvnb|Köthe|1969}}, Theorem (4) in §20.9.</ref><ref>{{harvnb|Meise|Vogt|1997}}, Theorem 23.5.</ref>到{{link-en|局部凸空間|locally convex space}}的{{link-en|對偶拓撲|dual topology}}的結果。此定理亦稱為'''巴拿赫-阿勞格魯定理'''或'''弱*緊定理'''（{{lang-en|weak-* compactness theorem}}），也常簡稱為'''阿勞格魯定理'''（{{lang-en|Alaoglu theorem}}）。{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=235-240}}

== 敍述 ==

=== 一般敍述 ===
{{See also|拓撲向量空間#對偶空間|{{le|對偶系|Dual system}}|{{le|極集|Polar set}}}}

對於[[域 (數學)|域]]<math>\mathbb{K}</math>上的向量空間<math>X</math>，以<math>X^{\#}</math>表示其[[对偶空间|代數對偶]]（所有線性泛函組成的空間）。兩者由[[双线性映射|雙線性]]求值映射<math>\left\langle \cdot, \cdot \right\rangle : X \times X^{\#} \to \mathbb{K}</math>所聯繫，該映射由 
:<math>\left\langle x, f \right\rangle := f(x)</math>
定義。所以，三元組<math>\left\langle X, X^{\#} \right\rangle</math>（兩個空間及一個映射）組成{{link-en|對偶系|dual system}}，稱為'''典範對偶系'''。

若<math>X</math>進一步具有[[拓撲空間|拓撲]]，即為[[拓撲向量空間]]（TVS），則可分辨其上的函數[[連續函數|連續]]與否，並定義其[[連續對偶空間|連續對偶]]<math>X^{\prime}</math>為代數對偶<math>X^{\#}</math>中，連續泛函組成的子集。以<math>\sigma\left(X^{\#}, X\right)</math>表示<math>X^{\#}</math>上的{{link-en|弱*拓撲|weak-* topology}}。類似有<math>\sigma\left(X^{\prime}, X\right)</math>是<math>X^{\prime}</math>上的弱*拓撲。
 
弱*拓撲又稱[[逐點收斂|逐點收斂拓撲]]，因為給定映射<math>f</math>和一[[網 (數學)|網]]映射<math>f_{\bull} = \left(f_i\right)_{i \in I}</math>，網<math>f_{\bull}</math>在弱*拓撲中收斂至<math>f</math>，當且僅當對定義域中每點<math>x</math>，函數值組成的網<math>\left(f_i(x)\right)_{i \in I}</math>收斂到<math>f(x)</math>。 

<blockquote>
'''阿勞格魯定理'''{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}

設<math>X</math>為任意[[拓撲向量空間]]（無需[[豪斯多夫空间|豪斯多夫]]或{{link-en|局部凸|locally convex}}），<math>X^{\prime}</math>為其[[連續對偶空間|連續對偶]]，則對於<math>X</math>中原點的任何[[鄰域]]<math>U</math>（<math>0 \in U \subseteq X</math>），其{{link-en|極集|Polar set}} 
:<math>U^{\circ} = \left\{ x^{\prime} \in X^{\prime} ~:~ \sup_{x \in U} \left| x^{\prime}(x) \right| \leq 1 \right\} \subseteq X',</math>
在<math>X^{\prime}</math>上的{{le|弱拓撲|weak topology|弱*拓撲}}{{註|更明確地說，子集<math>B^{\prime} \subseteq X^{\prime}</math>稱為「弱*拓撲中的緊集」，意思是若<math>X^{\prime}</math>配備{{link-en|弱*拓撲|weak-* topology}}，而子集<math>B^{\prime}</math>從空間<math>\left(X^{\prime}, \sigma\left(X^{\prime}, X\right)\right)</math>繼承[[相對化拓撲|子空間拓撲]]，則<math>B^{\prime}</math>為[[紧空间]]。將「緊集」換成其他性質（如「{{le|完全有界|totally bounded}}」）亦同。}}<math>\sigma\left(X^{\prime}, X\right)</math>中，必為緊集。

此外，<math>U^{\circ}</math>亦是<math>U</math>相對於典範對偶系<math>\left\langle X, X^{\#} \right\rangle</math>的極集，在拓撲空間<math>\left(X^{\#}, \sigma\left(X^{\#}, X\right)\right)</math>同樣為緊。
</blockquote>

=== 賦範特例 ===
若<math>X</math>為[[賦範向量空間]]，則原點鄰域的極集，在對偶空間中為閉，且其範數有上界。特別地，若<math>U</math>為<math>X</math>的開（或閉）單位球，則<math>U</math>的極集為連續對偶空間<math>X^{\prime}</math>的閉單位球（對偶空間配備[[算子範數|平常的對偶範數]]）。此時，定理化為以下特例：

<blockquote>
'''巴拿赫-阿勞格魯定理'''

若<math>X</math>為賦範空間，則連續對偶空間<math>X^{\prime}</math>中，[[算子範數]]的閉單位球，為{{link-en|弱*拓撲|weak-* topology}}中的緊集。
</blockquote>

當<math>X</math>的連續對偶<math>X^{\prime}</math>是無窮維賦範空間時，<math>X^{\prime}</math>中的閉單位球，不可能是平常範數拓撲的緊集。原因是，範數拓撲的閉單位球為緊，當且僅當空間為有限維（見{{link-en|F·里斯定理|F. Riesz theorem}}）。此定理顯示出，在同一個向量空間上，考慮不同的拓撲，到㡳有何用。

但注意，巴拿赫-阿勞格魯定理並不推出弱*拓撲為[[局部緊]]，因為僅知閉單位球在{{link-en|強拓撲|strong topology}}中為原點的鄰域，在弱*拓撲中則不一定。弱*拓撲中，單位球的[[內部]]可能為空，除非空間為有限維。實際上，[[安德烈·韦伊|韋伊]]證明，[[局部緊]]的[[豪斯多夫空间|豪斯多夫]]拓撲向量空間必為有限維。

== 證明 ==

=== 對偶理論證明 ===
記<math>X</math>的基域為<math>\mathbb{K}</math>，此處為[[实数|實數域]]<math>\R</math>或[[复数 (数学)|複數域]]<math>\Complex</math>。證明會用到{{link-en|極集|polar set}}、{{link-en|對偶系|dual system}}、[[连续线性算子]]的基本性質，可參見該些條目，以下亦會簡單提及。

先列舉一些常見定義和性質。當代數對偶<math>X^{\#}</math>配備{{link-en|弱*拓撲|weak-* topology}}<math>\sigma\left(X^{\#}, X\right)</math>時，為一個[[豪斯多夫空间|豪斯多夫]]{{link-en|局部凸拓撲向量空間|Locally convex topological vector space|局部凸}}拓撲向量空間，記為<math>\left(X^{\#}, \sigma\left(X^{\#}, X\right)\right)</math>。空間<math>\left(X^{\#}, \sigma\left(X^{\#}, X\right)\right)</math>總是{{link-en|完備拓撲向量空間|Complete topological vector space|完備}}，但連續對偶<math>\left(X^{\prime}, \sigma\left(X^{\prime}, X\right)\right)</math>則不一定，此即證明需牽涉<math>\left(X^{\#}, \sigma\left(X^{\#}, X\right)\right)</math>的原因。具體而言，本證明用到的性質是：完備豪斯多夫空間的子集為緊，當且僅當其為閉，且{{link-en|完全有界|Totally bounded space}}。注意<math>X^{\prime}</math>從<math>\left(X^{\#}, \sigma\left(X^{\#}, X\right)\right)</math>繼承的[[子空間拓撲]]，等於弱*拓撲<math>\sigma\left(X^{\prime}, X\right)</math>。為驗證此事，只需檢查對每個<math>x^{\prime} \in X^{\prime}</math>，<math>X^{\prime}</math>中的[[網 (數學)|網]]在其中一個拓撲中收斂到<math>x^{\prime}</math>，當且僅當在另一個拓撲中亦然（因為兩個拓撲結構相等，當且僅當其具有的收斂網完全一樣）。

三元組<math>\left\langle X, X^{\prime} \right\rangle</math>也是{{link-en|對偶系|dual system|對偶對}}（有雙線性映射<math>(x, f) \mapsto f(x)</math>），但與<math>\left\langle X, X^{\#} \right\rangle</math>不同，前者一般而言未必是對偶系。以下定義極集時，會註明是對於何種對偶而言。

設<math>U</math>為<math>X</math>原點的鄰域，又設： 
*<math>U^{\circ} = \left\{ f \in X^{\prime} ~:~ \sup_{u \in U} | f(u) | \leq 1 \right\}</math>為<math>U</math>相對<math>\left\langle X, X^{\prime} \right\rangle</math>的極集；
*<math>U^{\circ\circ} = \left\{ x \in X ~:~ \sup_{f \in U^{\circ}} | f(x) | \leq 1 \right\}</math>為<math>U</math>相對<math>\left\langle X, X^{\prime} \right\rangle</math>的{{le|極集|Polar set|二重極集}}；
*<math>U^{\#} = \left\{ f \in X^{\#} ~:~ \sup_{u \in U} | f(u) | \leq 1 \right\}</math>為<math>U</math>相對<math>\left\langle X, X^{\#} \right\rangle</math>的極集。
極集的基本性質有<math>U^{\circ\circ\circ} \subseteq U^{\circ}</math>。 

下證巴拿赫-阿勞格魯定理，分若干步：
# 先證<math>U^{\#}</math>在拓撲<math>\sigma\left(X^{\#}, X\right)</math>中為<math>X^{\#}</math>的閉子集：設<math>f \in X^{\#}</math>，又假設<math>f_{\bull} = \left(f_i\right)_{i \in I}</math>為<math>U^{\#}</math>中的網，在<math>\left(X^{\#}, \sigma\left(X^{\#}, X\right)\right)</math>中收斂到<math>f</math>。欲證<math>f \in U^{\#}</math>，即<math>|f(u)| \leq 1</math>對任意<math>u \in U</math>皆成立。因為在純量域<math>\mathbb{K}</math>中，<math>f_i(u) \to f(u)</math>，而每個值<math>f_i(u)</math>皆屬於（<math>\mathbb{K}</math>的）閉子集<math>\left\{ s \in \mathbb{K} : |s| \leq 1 \right\}</math>，故網的極限<math>f(u)</math>亦必在該子集中。於是<math>|f(u)| \leq 1</math>。
# 其次，欲證<math>U^{\#} = U^{\circ}</math>，以推出<math>U^{\circ}</math>既是<math>\left(X^{\#}, \sigma\left(X^{\#}, X\right)\right)</math>的閉子集，亦是<math>\left(X^{\prime}, \sigma\left(X^{\prime}, X\right)\right)</math>的閉子集：有包含關係<math>U^{\circ} \subseteq U^{\#}</math>，因為連續線性泛函尤其是線性泛函。反之，欲證<math>\,U^{\#} \subseteq U^{\circ}</math>，設<math>f \in U^{\#}</math>滿足<math>\;\sup_{u \in U} | f(u) | \leq 1</math>，換言之線性泛函<math>f</math>在鄰域<math>U</math>上有界，而泛函[[有界算子|有界]]等價於[[連續線性算子|連續]]，故<math>f \in X^{\prime}</math>，從而<math>f \in U^{\circ}</math>，即所求證。用第1步，結合交集<math>U^{\#} \cap X^{\prime} = U^{\circ} \cap X^{\prime} = U^{\circ}</math>在<math>X^{\prime}</math>的子空間拓撲中為閉，推得<math>U^{\circ}</math>為閉。 
# 欲證<math>U^{\circ}</math>對<math>X^{\prime}</math>的<math>\sigma\left(X^{\prime}, X\right)</math>拓撲而言是{{link-en|完全有界|Totally bounded space}}子集：由{{link-en|二重極集定理|bipolar theorem}}，<math>U \subseteq U^{\circ\circ}</math>，又因為鄰域<math>U</math>為<math>X</math>中的[[吸收集]]，<math>U^{\circ\circ}</math>亦同。可以證明，此結論推出<math>U^{\circ}</math>是<math>X^{\prime}</math>對<math>\sigma\left(X^{\prime}, X\right)</math>而言的{{link-en|有界集 (拓撲向量空間)|Bounded set (topological vector space)|有界子集}}。由於<math>X</math>{{link-en|對偶系|dual system|分辨}}<math>X^{\prime}</math>各點，<math>X^{\prime}</math>的子集在<math>\sigma\left(X^{\prime}, X\right)</math>意義下有界，當且僅當在同樣意義下{{link-en|完全有界|Totally bounded space}}。所以，尤其有<math>U^{\circ}</math>在<math>\sigma\left(X^{\prime}, X\right)</math>意義下完全有界。 
# 欲證<math>U^{\circ}</math>亦為<math>X^{\#}</math>在<math>\sigma\left(X^{\#}, X\right)</math>拓撲下的完全有界子集：已知<math>X^{\prime}</math>上，<math>\sigma\left(X^{\prime}, X\right)</math>拓撲等於<math>X^{\prime}</math>從<math>\left(X^{\#}, \sigma\left(X^{\#}, X\right)\right)</math>繼承的子空間拓撲，結合第3步與「完全有界」的定義，即推出<math>U^{\circ}</math>為<math>X^{\#}</math>在<math>\sigma\left(X^{\#}, X\right)</math>拓撲下的完全有界子集。
# 最後，欲證<math>U^{\circ}</math>為<math>X^{\prime}</math>在<math>\sigma\left(X^{\prime}, X\right)</math>拓撲下的緊子集：因為<math>\left(X^{\#}, \sigma\left(X^{\#}, X\right)\right)</math>為{{link-en|完備拓撲向量空間|Complete topological vector space}}，又<math>U^{\circ}</math>為其閉（第2步）而完全有界（第4步）的子集，所以<math>U^{\circ}</math>為緊。[[證明完畢|定理證畢]]。

=== 較初等的證明 ===

以下證明，僅用到集合論、點集拓撲、泛函分析的基本概念。拓撲方面，需要熟悉使用[[拓扑空间]]中的[[網 (數學)|網]]、[[積拓撲]]、兩者與[[逐點收斂]]的關聯（為方便起見，證明中也會給出部分細節）。同時也要瞭解，線性泛函為連續，當且僅當其在原點的某個鄰域上有界（見{{link-en|次線性泛函|sublinear functional}}）。 

設向量空間<math>X</math>的基域為<math>\mathbb{K}</math>，為[[实数|實數系]]<math>\R</math>或[[复数 (数学)|複數系]]<math>\Complex</math>兩者之一。對任意實數<math>r</math>，以
:<math>B_r := \{ s \in \mathbb{K} : |s| \leq r \}</math>
表示以原點為球心，半徑為<math>r</math>的閉球。在<math>\mathbb K</math>中，此為[[紧空间|緊的]][[闭集]]。

==== 極集的等價表示 ====
由於<math>U</math>是<math>X</math>中原點的鄰域，可知<math>U</math>亦是<math>X</math>的[[吸收集]]，即對每個<math>x \in X</math>，皆有正實數<math>r_x > 0</math>使<math>x \in r_x U := \left\{ r_x u : u \in U \right\}</math>。以
:<math>U^{\#} := \left\{ f \in X^{\#} ~:~ \sup_{u \in U} | f(u) | \leq 1 \right\} ~=~ \left\{ f \in X^{\#} ~:~ f(U) \subseteq B_1 \right\}</math> 
表示<math>U</math>相對典範對偶系<math>\left\langle X, X^{\#} \right\rangle</math>的極集。將證明，此極集<math>U^{\#}</math>，與定理提到，<math>U</math>相對<math>\left\langle X, X^{\prime} \right\rangle</math>的極集<math>U^{\circ}</math>，兩者相等。
 
<math>U^{\circ} \subseteq U^{\#}</math>成立，是因為連續線性泛函按定義必是線性泛函。反之，欲證<math>U^{\#} \subseteq U^{\circ}</math>，設<math>f \in U^{\#}</math>滿足<math>\sup_{u \in U} | f(u) | \leq 1</math>，即線性泛函<math>f</math>在鄰域<math>U</math>上[[有界函數|有界]]。所以<math>f</math>是[[连续线性算子]]（換言之<math>f \in X^{\prime}</math>），從而有<math>f \in U^{\circ}</math>，即所求證。

至此，已證明<math>U^{\circ} = U^{\#}</math>{{註|若<math>\tau</math>表示<math>X</math>原有的拓撲，則等式<math>U^{\circ} = U^{\#}</math>說明，<math>U</math>的極集<math>U^{\circ} = \left\{ x^{\prime} \in X^{\prime} ~:~ \sup_{x \in U} \left| x^{\prime}(x) \right| \leq 1 \right\}</math>，僅取決於<math>U</math>和<math>X^{\#}</math>，其餘拓撲結構<math>\tau</math>可忽略不理。更明確說，假設<math>\sigma</math>是<math>X</math>上另一個向量空間拓撲，使得<math>(X, \sigma)</math>為拓撲向量空間，且集合<math>U</math>在<math>(X, \sigma)</math>仍為原點的鄰域。記<math>(X, \sigma)</math>的連續對偶為<math>(X, \sigma)^{\prime}</math>，並記<math>U</math>相對<math>(X, \sigma)</math>的極集為

:<math>U^{\circ, \sigma} := \left\{ x^{\prime} \in (X, \sigma)^{\prime} ~:~ \sup_{x \in U} \left|x^{\prime}(x)\right| \leq 1 \right\}.</math>

（此定義下，<math>U^{\circ, \tau}</math>祇是舊的<math>U^{\circ}</math>。）則<math>U^{\circ, \tau} = U^{\circ, \sigma}</math>，因為兩者分別等於<math>U^{\#}</math>。換言之，極集<math>U^{\circ, \sigma}</math>的定義條件中，「<math>U^{\circ, \sigma}</math>是'''連續'''對偶空間<math>(X, \sigma)^{\prime}</math>子集」一項可以無視，因為對所得的線性泛函集合毫無影響。然而，若<math>\nu</math>是<math>X</math>上另一個向量空間拓撲 is a TVS topology on <math>X</math>，令<math>U</math>不是<math>(X, \nu)</math>原點的鄰域，則<math>U</math>相對<math>(X, \nu)</math>的極集<math>U^{\circ, \nu}</math>，不保證等於<math>U^{\#}</math>，所以不能如此無視拓撲<math>\nu</math>。}}，餘下的證明中，需理解[[笛卡儿积]]<math display="inline">\prod_{x \in X} \mathbb{K}</math>與所有<math>X \to \mathbb{K}</math>的映射構成的空間<math>\mathbb{K}^X</math>等同。仍需證明以下兩個命題：
#<math>U^\circ</math>為<math>\mathbb{K}^X</math>的閉子集。{{anchor|待證}}
#* 此處<math>\mathbb{K}^X = \prod_{x \in X} \mathbb{K}</math>配備的是逐點收斂拓撲，等同於[[積空間|積拓撲]]。
#<math>U^\circ \subseteq \prod_{x \in X} B_{r_x}.</math>
#* 其中<math>B_{r_x} \subseteq \mathbb{K}</math>表示以原點<math>0</math>為球心，<math>r_x</math>為半徑的閉球。本證明開始時，對每個<math>x \in X</math>， 已定義<math>r_x</math>為使<math>x \in r_x U</math>的任意一個實數<math>r_x > 0</math>。特別地，對於<math>u \in U</math>，可以選<math>r_u := 1</math>。

以上命題推出，<math>U^\circ</math>為<math display="inline">\prod_{x \in X} B_{r_x}</math>的閉子集，而由[[吉洪诺夫定理]]，該[[积空间]]為緊{{註|由於每個<math>B_{r_x}</math>也是[[豪斯多夫空间]]，只用到吉洪諾夫定理的緊豪斯多夫情況，便足以說明<math>\prod_{x \in X} B_{r_x}</math>為緊。該特殊情況等價於{{link-en|超濾子引理|ultrafilter lemma}}，而比[[选择公理]]嚴格弱。}}（因為每個閉球<math>B_{r_x}</math>皆為緊）。因為緊空間的閉子集仍為緊，所以有<math>U^{\circ}</math>為緊集，從而證畢巴拿赫-阿勞格魯定理的主要結論。

==== 極集為閉 ====
以下證明[[#待證|前述]]命題1。代數對偶<math>X^{\#}</math>總是積空間<math display="inline">\mathbb{K}^X = \prod_{x \in X} \mathbb{K}</math> 的閉子集{{註|「線性泛函」的要求，可以寫成許多條等式如<math>f(x+y) = f(x) + f(y)</math>之[[合取]]。每個要求皆是閉條件，即其對應的子集為閉集。而閉集的任意交仍為閉，所以線性泛函組成的集合為閉集。}}。要證明<math>U^\circ</math>在<math>\mathbb{K}^X</math>中為閉，祇需證明集合
:<math>\widetilde{U}^\circ ~:=~ \left\{ f \in \mathbb{K}^X ~:~ \sup_{u \in U} |f(u)| \leq 1 \right\}</math> 
是<math>\mathbb{K}^X</math>的閉子集，因為若有此結論，則<math>\widetilde U^\circ \cap X^{\#} = U^{\#} = U^\circ </math>是<math>\mathbb{K}^X</math>中兩閉集之交，故亦為閉集。

設<math>f \in \mathbb{K}^X</math>，又設<math>f_{\bull} = \left(f_i\right)_{i \in I}</math>為<math>\widetilde{U}^\circ</math>中的網，在<math>\mathbb{K}^X</math>中收斂到<math>f</math>。需要證明<math>f \in \widetilde{U}^\circ</math>。換言之，要證對每個<math>u \in U</math>，<math>|f(u)| \leq 1</math>（或等價寫成<math>f(u) \in B_1</math>）。由於在純量域<math>\mathbb{K}</math>中，<math>\left(f_i(u)\right)_{i \in I} \to f(u)</math>，且每項<math>f_i(u)</math>皆屬於<math>\mathbb{K}</math>中的閉子集<math>B_1 = \left\{ s \in \mathbb{K} : |s| \leq 1 \right\}</math>，此網的極限<math>f(u)</math>亦必屬於該閉集，即<math>f(u) \in B_1</math>。證畢命題1。

上述證明可以推廣，以論證以下命題：
<blockquote>
設<math>U \subseteq X</math>為任意集合，<math>B \subseteq Y</math>為拓撲空間<math>Y</math>的[[闭集|閉子集]]，則在<math>Y^X</math>的逐點收斂拓撲中，<math>P_U := \left\{ f \in Y^X ~:~ f(U) \subseteq B \right\}</math>為閉子集。
</blockquote>
命題1為其特殊情況，取<math>Y := \mathbb{K}</math>和<math>B := B_1</math>便得。

==== 極集包含於緊空間之積 ====
以下證明[[#待證|前述]]命題2。對任意<math>z \in X</math>，以<math display="inline">\Pr{}_z : \prod_{x \in X} \mathbb{K} \to \mathbb{K}</math>表示到第<math>z</math>個坐標的{{le|投影 (集合論)|Projection (set theory)|投影}}。欲證<math display="inline">U^\circ \subseteq \prod_{x \in X} B_{r_x}</math>。換言之，欲對每個<math>x \in X</math>，證明<math>\Pr{}_x(U^\circ) \subseteq B_{r_x}</math>。

於是選定<math>x \in X</math>，設<math>f \in U^\circ</math>；要證<math>\Pr{}_x(f) := f(x) \in B_{r_x}</math>。由<math>r_x</math>的定義，<math>x \in r_x U</math>，故<math display="inline">\,u_x := \left(\frac{1}{r_x}\right) x \in U</math>。因為<math>f \in U^\circ = U^{\#}</math>，線性泛函<math>f</math>滿足<math display="inline">\;\sup_{u \in U} | f(u) | \leq 1</math>，所以由<math>u_x \in U</math>，可知
:<math>\frac{1}{r_x}| f(x) |
= \left|\frac{1}{r_x} f(x)\right|
= \left|f\left(\frac{1}{r_x} x\right)\right|
= \left|f\left(u_x\right)\right| 
\leq \sup_{u \in U} |f(u)| 
\leq 1.</math> 

所以<math>| f(x) | \leq r_x</math>，即<math>f(x) \in B_{r_x}</math>，證畢命題2。

== 序列版本 ==

巴拿赫-阿勞格魯定理有個特殊情況，對[[可分空间]]使用，並將「[[緊空間|緊]]」換成「[[序列緊|序列緊]]」。此時定理斷言：

<blockquote>
[[可分空间|可分]]賦範向量空間的對偶中，閉單位球在弱*拓撲下是[[序列紧]]。
</blockquote>

=== 可度量 ===
實際上，可分空間的對偶的閉單位球上，弱*拓撲可[[乌雷松度量化定理|度量]]，故緊與序列緊等價。

明確而言，設<math>X</math>為可分賦範向量空間，而<math>B</math>為連續對偶<math>X^{\prime}</math>中的閉單位球。根據<math>X</math>可分的定義，有某個可數稠密子集，列舉為<math>x_{\bull} = \left(x_n\right)_{n=1}^{\infty}</math>。則下式定義一個[[距離函數|度量]]：對於<math>x, y \in B</math>，
:<math>\rho(x,y) = \sum_{n=1}^\infty \, 2^{-n} \, \frac{\left|\langle x - y, x_n \rangle\right|}{1 + \left|\langle x - y, x_n \rangle\right|,}</math>
其中<math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math>表示<math>X^{\prime}</math>與<math>X</math>的對偶匹配，即將後一個元素代入到前一個元素求值。此度量下，<math>B</math>為序列緊之事，用類似[[阿尔泽拉-阿斯科利定理]]的對角線證法，即可證明。

由於證明本質為[[構造性證明|構造性]]（而非如一般情況，用到非構造性的選擇公理），在[[偏微分方程]]學中，有時使用序列巴拿赫-阿勞格魯定理，構造偏微分方程或[[变分法|變分問題]]的解。舉例，若有某個可分賦範空間<math>X</math>，其對偶上有泛函<math>F : X^{\prime} \to \R</math>，欲求最小值，則常見策略是先構造序列<math>x_1, x_2, \ldots \in X^{\prime}</math>，使<math>F</math>的泛函值趨向下確界，然後訴諸序列巴拿赫-阿勞格魯定理，取出子序列<math>(x_{n_k})_k</math>，在弱*拓撲下收斂到極限<math>x</math>，並確定<math>x</math>使<math>F</math>取最小值。最後一步通常要求<math>F</math>在弱*拓撲下為（序列）[[半連續性|下半連續]]。

考慮另一個例子，設<math>X = C_0(\R)</math>為實軸上，[[在無窮遠處消失]]的連續函數組成的空間，則由[[里斯表示定理#C0(X)_的对偶空间的表示定理|里斯-馬可夫表示定理]]，<math>X^{\prime}</math>為實軸上全體有限[[拉東測度]]的空間。此時序列巴拿赫-阿勞格魯定理等價於{{link-en|赫利選擇定理|Helly selection theorem}}<!--[[愛德華·赫利]]-->。

=== 證明 ===
下證序列版本的巴拿赫-阿勞格魯定理。

對每個<math>x \in X</math>，設

:<math>D_x = \{ z \in \Complex : | z | \leq \|x\| \},</math>

以及

:<math>D = \prod_{x \in X} D_x.</math>

因為<math>D_x</math>是複平面的緊子集，<math>D</math>在[[積空間|積拓撲]]中亦為緊（根據[[吉洪诺夫定理]]）。

<math>X^{\prime}</math>中的閉單位球<math>B_1\left(X^{\prime}\right)</math>，可以自然地看成<math>D</math>的子空間：考慮映射
:<math>f \in B_1\left(X^{\prime}\right) \mapsto (f(x))_{x \in X} \in D,</math>
其為單射，且對於<math>B_1\left(X^{\prime}\right)</math>的弱*拓撲和<math>D</math>的積拓撲而言，是連續映射。在像集上，映射的逆也連續。

欲完成定理的證明，只需證明映射的像為閉集。給定網<math>D</math>中的網
:<math>\left(f_{\alpha}(x)\right)_{x \in X} \to \left(\lambda_x\right)_{x \in X},</math>
等式<math>g(x) = \lambda_x</math>定義的泛函<math>g</math>，也在<math>B_1(X^{\prime})</math>中。定理證畢。

== 推論 ==
=== 賦範空間 ===

假設<math>X</math>為[[賦範空間]]，則其連續對偶空間<math>X^{\prime}</math>具有[[对偶范数]]。 

* <math>X^{\prime}</math>中的閉單位球為弱*緊{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}。相比之下，若<math>X^{\prime}</math>為無窮維，則其閉單位球在範數拓撲中必不為緊（{{link-en|F·里斯定理|F. Riesz theorem}}）。
* 某[[巴拿赫空间]][[自反空間|自反]]，當且僅當其閉單位球在弱拓撲<math>\sigma\left(X, X^{\prime}\right)</math>下為緊。{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}
* 若<math>X</math>為[[自反空间|自反巴拿赫空間]]，則<math>X</math>中每個有界序列，都有弱收斂子列。（此為對<math>X</math>某個弱可度量子空間應用巴拿赫-阿勞格魯定理的結果。更簡潔而言，是應用{{link-en|埃伯萊恩-什穆良定理|Eberlein–Šmulian theorem}}<!--沿用[[弗里茨·瓦爾特獎]]中Eberlein的譯名，Šmulian按[[WP:外語譯音表/俄語]]Шмульян譯-->。）舉例，設<math>X</math>為[[Lp空间|''L''<sup>''p''</sup>空間]]<math>L^p(\mu)</math>，其中<math>1 < p < \infty</math>。設<math>(f_n)_n</math>為<math>X</math>中函數組成的有界序列。則存在子列<math>(f_{n_k})_k</math>，且有<math>f \in X</math>使得<math display="block">\int f_{n_k} g\,\mathrm d\mu \to \int f g\,\mathrm d\mu</math>對於<math>X^{\prime}= L^q(\mu)</math>中的任意函數<math>g</math>成立，其中<math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>。對於<math>p= 1</math>，沒有相應的結論，因為<math>L^1(\mu)</math>不自反。

=== 希爾伯特空間 ===

*任意希爾伯特空間中，閉有界集必然弱{{le|相對緊|Relatively compact subspace}}，即其在弱拓撲的閉包為弱緊，故每個有界網必有弱收斂子網（希爾伯特空間皆[[自反空間|自反]]）。
*由[[哈恩－巴拿赫定理]]，範數拓撲中的閉凸集，在弱拓撲中也是閉集，故希爾伯特空間或自反巴拿赫空間中，凸有界集的範數閉包必為弱緊。
*設<math>H</math>為希爾伯特空間，<math>B(H)</math>為其上有界算子的空間，則<math>B(H)</math>可以配備以下兩種不同的拓撲：一則{{link-en|超弱拓撲|ultraweak topology}}，即<math>B(H)</math>作為[[迹类算子|跡類算子空間]]<math>B_1(H)</math>的對偶所具備的弱*拓撲；二則{{link-en|弱算子拓撲|weak operator topology}}，是使形如<math>T \mapsto \langle Tx, y\rangle</math>的映射皆連續的最弱的拓撲，此拓撲比超弱拓撲更弱。此定義下，<math>B(H)</math>中的閉有界子集，關於弱算子拓撲為相對緊。所以，算子的有界序列必有某個弱極限點。其推論是，<math>B(H)</math>配備弱算子拓撲或超弱拓撲時，滿足[[海涅-博雷尔定理|海涅-博雷尔性質]]。

== 與選擇公理的關係 ==
通常，會用到[[吉洪诺夫定理]]來證明巴拿赫-阿勞格魯定理，所以要依賴於[[策梅洛-弗兰克尔集合论|ZFC]]公理系統，尤其是[[选择公理]]。主流泛函分析中，許多結果皆依賴選擇公理。然而，本定理在可分空間的情況（見{{section link|#序列版本}}）並不依賴選擇公理，該情況下有[[構造性證明]]。對於不可分的情況，{{link-en|超濾子引理|ultrafilter Lemma}}比選擇公理嚴格弱，但亦足以證明巴拿赫-阿勞格魯定理。反之，巴拿赫-阿勞格魯定理也推出超濾子引理，所以兩者等價。

== 參見 ==
* {{le|畢曉普-菲爾普斯定理|Bishop–Phelps theorem}}
* {{le|巴拿赫-馬祖爾定理|Banach–Mazur theorem}}
* {{le|Delta收斂|Delta-convergence|Δ收斂}}
* {{le|埃伯萊恩-什穆良定理|Eberlein–Šmulian theorem}}
* {{le|古德斯汀定理|Goldstine theorem}}
* {{le|詹姆斯定理|James' theorem}}
* {{le|克列因-米爾曼定理|Krein-Milman theorem}}<!--Крейн按[[WP:外語譯音表/俄語]]譯-->
* {{le|馬祖爾引理|Mazur's lemma}}
* {{鏈解|拓撲向量空間}}

== 註 ==
{{備註表}}

== 參考資料 ==
{{reflist}}
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       | title=Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels
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}} <!-- {{sfn|Treves|2006|p=}} -->

{{泛函分析}}

[[Category: 泛函分析]]