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{{NoteTA
|G1=Math
|1 = zh-hans:复; zh-hant:複;
}}
在[[数学分析]]中，'''巴拿赫极限'''（{{lang-en|Banach limit}}）指的是定义在全体有界[[复数 (数学)|复]][[序列]]组成的[[巴拿赫空间]]<math>\ell^\infty</math>上，对每个<math>\ell^\infty</math>中的序列<math>x=(x_n)</math>、<math>y=(y_n)</math>和复数<math>\alpha</math>满足：
# <math>\phi(\alpha x+y)=\alpha\phi(x)+\phi(y)</math>（线性）；
# 若对每个<math>n\in \mathbb{N}</math>有<math>x_n\geq 0</math>，则<math>\phi(x)\geq 0</math>（正定性）；
# <math>\phi(x)=\phi(Sx)</math>，其中<math>S</math>是[[移位算子]]，定义为<math>(Sx)_n=x_{n+1}</math>（移位不变性）；
# 若<math>x</math>是[[极限 (数列)|收敛序列]]，则<math>\phi(x)=\lim x</math>
的[[连续函数|连续]][[线性泛函]]<math>\phi: \ell^\infty \to \mathbb{C}</math>。

因此，<math>\phi</math>是对连续线性泛函<math>\lim:c\to \mathbb C</math>的延拓，其中<math>c \subset\ell^\infty</math>是<math>\mathbb C</math>中收敛到某个极限的全体序列组成的复向量空间。进而可以视为[[发散级数|发散级数论]]中的一个[[发散级数#可和法|可和法]]。

换句话说，巴拿赫极限是对通常意义下极限概念的延拓，并且是线性、移位不变、正定的。可以对某个序列找到两个巴拿赫极限，使得各自作用下得到两个不同的值，我们称这类序列的巴拿赫极限不是唯一确定的。

作为上述性质的一个推论，每个实值巴拿赫极限也满足：

: <math>\liminf_ {n\to\infty} x_n\le\phi(x) \le \limsup_{n\to\infty}x_n</math>

巴拿赫极限的存在性通常需要应用[[哈恩-巴拿赫定理]]证明（分析学方法）<ref>Conway, Theorem III.7.1</ref>，也可以应用[[超滤子]]（这种方法在集合论的讨论中出现得更频繁）<ref>Balcar-Štěpánek, 8.34</ref>。这些证明都一定会用到[[选择公理]]（即所谓的非构造证明）。

==几乎收敛==
某些不收敛的级数在巴拿赫极限的作用下是唯一确定的。 例如<math>x=(1,0,1,0,\ldots)</math>，注意到<math>x+S(x)=(1,1,1,\ldots)</math>是常序列，并且

:<math>2\phi(x)=\phi(x)+\phi(Sx)=\phi(x+Sx)=\phi((1,1,1,\ldots))=\lim((1,1,1,\ldots))=1.</math>

因此对每个巴拿赫极限而言，它以<math>1/2</math>为极限。

我们将每个巴拿赫极限<math>\phi</math>下有相同的<math>\phi(x)</math>的有界序列<math>x</math>称为[[几乎收敛序列|几乎收敛]]的。

==Ba 空间==
在<math>c \subset\ell^\infty</math>中给定收敛序列<math>x=(x_n)</math>，如果考虑对偶<math>\langle\ell^1,\ell^\infty\rangle</math>，<math>x</math>通常的极限并不由<math>\ell^1</math>的某个元素给出。实际上<math>\ell^\infty</math>是<math>\ell^1</math>的[[连续对偶空间]]（对偶巴拿赫空间）；反过来，<math>\ell^1</math>虽然能诱导出<math>\ell^\infty</math>中的连续线性泛函，但并不是全部。每个<math>\ell^\infty</math>上的巴拿赫极限都是<math>\ell^\infty</math>的对偶巴拿赫空间中的一个元素，但不在<math>\ell^1</math>中。<math>\ell^\infty</math>的对偶叫做[[ba空间]]，由一切自然数集子集的σ-代数上有限可加（符号）测度组成，或者等价地说是由每个自然数集的[[斯通－切赫紧化|Stone–Čech紧化]]上的波莱尔（符号）测度组成。

==外部链接==
*{{planetmath reference|id=7213|title=巴拿赫极限|urlname=banachlimit}}

==参考==
{{Reflist}}

* {{cite book | last1= Balcar | first1 = Bohuslav  | last2=Štěpánek | first2=Petr | title = Teorie množin| edition = 2 | year = 2000| isbn = 802000470X | location = Praha | publisher=Academia | language = cs }}
*{{cite book | last = Conway | first = John B.  | title=A Course in Functional Analysis | publisher=Springer | location = New York | year = 1994 | isbn=0-387-97245-5 |series=[[Graduate Texts in Mathematics]] |volume=96 }}

[[Category:泛函分析]]