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'''居里定律'''是指在[[顺磁性]]材料中，材料的[[磁化强度]]大致与施加的[[磁场]]强度成正比。然而，若加热材料，则比值减小。对于固定场强的磁场，磁化率大致与[[温度]]成反比。

:<math>\mathbf{M} = C \cdot \frac{\mathbf{B}}{T},</math>

其中
:<math>\mathbf{M}</math>是磁化强度
:<math>\mathbf{B}</math>是[[磁感应强度]]
:<math>T</math>是温度，以[[开尔文]]为单位
:<math>C</math>是材料的[[居里常数]]

居里定律是在实验中由[[皮埃尔·居里]]得到的，它适用于相对高温及弱磁场的条件下。而从其物理本源上推导，则能得到在低温和强磁场条件下，磁化强度趋于饱和的结果，而非由定律预言的持续增加。
== 用量子力学推导 ==

[[Image:magnetization2.jpg|thumb|顺磁体的'''磁化强度''' 是温度的反比函数.|right|300px]]

顺磁体简单的数学模型可以看作由没有相互作用的粒子组成。每一个粒子都有[[磁矩]]<math>\vec{\mu}</math>。磁场中[[磁矩]]的[[能量]]由下式给出：

:<math>E=-\boldsymbol{\mu}\cdot\mathbf{B}.</math>

===双态 (自旋-½)粒子 ===

为简化计算，可将顺磁体内的粒子看作是双态粒子：其磁矩与磁场的方向要么平行要么相反。因此，磁矩的可能值只能是<math>\mu</math>或者<math>-\mu</math> 。如果是这样，那么这样的粒子只有两种可能的能量


:<math>E_0 = - \mu B</math>

以及

:<math>E_1 = \mu B.</math>

顺磁体的磁化强度一般意味着粒子磁矩与磁场同向的可能性。换句话说，就是磁化强度<math>\mu</math>的[[期望值]]：

:<math>\left\langle\mu\right\rangle = \mu P\left(\mu\right) + (-\mu) P\left(-\mu\right) 
 = {1 \over Z} \left( \mu e^{ \mu B\beta} - \mu e^{ - \mu B\beta} \right)
 = {2\mu \over Z} \sinh( \mu B\beta), </math>

其中，每一种情况的[[概率]]由其[[玻尔兹曼因子]]给出，[[配分函数]]<math>Z</math>为概率提供必要的[[归一化]]（即所有这些概率的[[求和|总和]]是归一的）。
一个粒子的配分函数是

:<math>Z = \sum_{n=0,1} e^{-E_n\beta} = e^{ \mu B\beta} + e^{-\mu B\beta} = 2 \cosh\left(\mu B\beta\right).</math>
因此，在双态粒子简单的情形中，下式會成立

:<math>\left\langle\mu\right\rangle = \mu \tanh\left(\mu B\beta\right).</math>

这是单个粒子的磁化强度，[[固体]]的总磁化强度由下式给出

<blockquote style="border: 1px solid black; padding:10px;">
:<math>M = n\left\langle\mu\right\rangle = n \mu \tanh\left({\mu B\over k T}\right)</math></blockquote>

其中''n''是磁矩的[[数密度]]。上式被称为[[朗之万顺磁方程]]。

[[皮埃尔·居里]]（Pierre Curie）在实验中发现：当顺磁体处于相对较高的温度和较低的磁场中，这个定律的近似成立。在<math>T</math>值较大且<math>B</math>值较小时，上式中[[双曲正切]]的自变量减少，即：

:<math>\left({\mu B\over k T}\right) \ll 1</math>

上式有时被称为 '''居里区间'''. 同时，如果<math>|x| \ll 1</math>，那么<math>\tanh x \approx x</math>，因此
<blockquote style="border: 1px solid black; padding:10px;">
:<math>\mathbf{M}(T\rightarrow\infty)={n\mu^2\over k}{\mathbf{B}\over T},</math></blockquote>
因此磁化强度也很小，有<math>B \approx \mu_0 H</math>，可以得到 

: <math>M \approx \frac{\mu_0 \mu^2 n}{k} \frac{H}{T},</math>

更重要的一点是，磁化率由下式给出

: <math>\chi = \frac{\partial M}{\partial H} \approx \frac{M}{H}</math>

即
: <math>\chi(T \to \infty) = \frac{C}{T},</math>

其中 [[居里常数]] <math>C = \mu_0 n\mu^2/k</math>，其单位是[[开尔文|开尔文]] (K)。<ref>{{Cite book |last1=Coey |first1=J. M. D. |url=https://books.google.com/books?id=Ie72CFd-eSEC |title=Magnetism and Magnetic Materials |last2=Coey |first2=J. M. D. |date=2010-03-25 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-81614-4 |language=en |access-date=2022-02-23 |archive-date=2022-02-23 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220223133133/https://books.google.com/books?id=Ie72CFd-eSEC }}</ref>

在低温或高场的情况下，<math>M</math>趋向于<math>n\mu</math>的最大值，对应于所有粒子与场完全对齐。由于这个计算没有描述嵌入费米表面深处的电子，泡利不相容原理禁止其自旋翻转，所以它没有举例说明这个问题在低温下的量子统计。根据费米-狄拉克分布，在低温下<math>M</math>线性依赖于磁场，因此磁化率饱和到一个常数。

=== 一般情况 ===
当粒子具有任意自旋（任意数量的自旋状态）时，公式有点复杂。
在低磁场或高温下，自旋遵循居里定律，居里常数
:<math>C = \frac{\mu_B^2}{3 k_B}n g^2 J(J+1)</math><ref>{{cite book | last = Kittel | first = Charles | title = Introduction to Solid State Physics, 8th Edition | year = 2005 | url = https://archive.org/details/isbn_9780471415268 | publisher = Wiley | pages = [https://archive.org/details/isbn_9780471415268/page/304 304] | isbn = 0-471-41526-X}}</ref>
其中 <math>J</math>是[[总角动量量子数]]，<math>g</math> 是 自旋的<math>g</math>因子 (例如 <math>\mu = g J \mu_B</math> 是磁量子数)。

对于更一般的公式及其推导（包括高场强，低温），请参阅文章：[[布里渊函数]]。 当自旋接近无穷大时，磁化公式接近下一节中推导的经典值。

== 用经典统计力学推导 ==
当顺磁子被想象为经典的、自由旋转的磁矩时，适用另一种处理方法。在这种情况下，它们的位置将由它们在球坐标中的角度确定，其中一个粒子的能量是

:<math>E = - \mu B\cos\theta, </math>

其中 <math>\theta</math> 是磁矩和磁场之间的角度（假设磁场指向<math>z</math>轴）。对应的[[配分函数]]为

:<math>Z = \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\pi}d\theta \sin\theta \exp( \mu B\beta \cos\theta).</math>

可以看出上式中被积函数对 <math>\phi</math> 角没有依赖性，令 <math>y=\cos\theta</math> 以获得

:<math>Z = 2\pi \int_{-1}^ 1 d y \exp( \mu B\beta y) =
2\pi{\exp( \mu B\beta )-\exp(-\mu B\beta ) \over \mu B\beta }=
{4\pi\sinh( \mu B\beta ) \over \mu B\beta .}
</math>
现在，磁化强度的<math>z</math>分量的预期值（另外两个被视为零，由于在<math>\phi</math>上的积分），由下式给出

:<math>\left\langle\mu_z \right\rangle = {1 \over Z} \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\pi}d\theta \sin\theta \exp( \mu B\beta \cos\theta) \left[\mu\cos\theta\right] .</math>

为简化计算, 可以将其写作<math>Z</math>微分：

:<math>\left\langle\mu_z\right\rangle = {1 \over Z \beta} \frac{\partial Z}{\partial B} = {1 \over \beta} \frac{\partial \ln Z}{\partial B}</math>


（这种方法也可以用于上面的模型，但计算非常简单，所以没有那么有用。）

继续推导发现 

:<math>\left\langle\mu_z\right\rangle = \mu L(\mu B\beta), </math>

其中 <math>L</math> 是[[郎之万函数]]:

:<math> L(x)= \coth x -{1 \over x}.</math>
对于小 <math>x</math>，此函数似乎是奇异的，但事实并非如此，因为两个奇异项相互抵消。事实上，它对小参数的极限是<math>L(x) \approx x/3</math>，因此居里极限也适用，但在这种情况下，居里常数要小三倍。同样，对于其参数的较大值，函数在 <math>1</math> 处饱和，并且同样会恢复相反的极限。

==参见==
*[[居里-韦斯定律]]

==参考资料==
{{reflist}}

{{居禮夫婦}}
[[Category:磁学]]
[[Category:皮埃尔·居里]]