查看“︁局部環”︁的源代码

{{NoteTA|G1=Math}}

在'''數學'''中，局部環是只有一個[[極大理想]]的[[交換環]]。

局部環的概念由 Wolfgang Krull 於1938年引入，稱之為 ''Stellenringe''，英譯 ''local ring'' 源自[[扎裡斯基]]。

==定義==
設 <math>R</math> 為交換含-{zh-hans:幺;zh-hk:幺;zh-tw:幺;}-環。若 <math>R</math> 僅有一個極大理想 <math>\mathfrak{m}</math>，則稱 <math>R</math>（或 <math>(R,\mathfrak{m})</math>）為'''局部環'''。域 <math>R/\mathfrak{m}</math> 稱為 <math>R</math> 的'''剩餘域'''。

若 <math>R</math> 中僅有有限個極大理想，則稱之為'''半局部環'''。

一個局部環 <math>(R, \mathfrak{m})</math> 上帶有一個自然的 '''<math>\mathfrak{m}</math>-進拓撲'''，使得 <math>R</math> 成為拓撲環；其開集由 <math>\{ \mathfrak{m}^i : i \geq 0 \}</math> 生成。當 <math>R</math> 為[[諾特環]]時，可證明 <math>R</math> 為豪斯多夫空間，且所有理想皆是閉理想。

設 <math>(R, \mathfrak{m}), (S, \mathfrak{n})</math> 為局部環，環同態 <math>\phi: R \rightarrow S</math> 被稱為'''局部同態'''，若且唯若 <math>\mathfrak{m} = \phi^{-1}(\mathfrak{n})</math>。

==例子==
* [[体 (数学)|域]]是局部環。
* 形式冪級數環 <math>k[[X_1, \ldots, X_n]]</math> 是局部環，其中 <math>k</math> 是個域。極大理想是 <math>(X_1, \ldots, X_n)</math>。
* 取係數在<math>\mathbb{R}</math> 或 <math>\mathbb{C}</math> 上，原點附近收斂半徑為正的冪級數，它構成一個局部環，極大理想表法同上。
* 凡[[賦值環]]皆為局部環。
* 設 <math>R</math> 為任意交換環， <math>\mathfrak{p}</math> 為素理想，則相應的[[局部化]] <math>(R_\mathfrak{p}, \mathfrak{p}R_\mathfrak{p})</math> 是局部環；這也是局部環應用的主要場合。若 <math>(R, \mathfrak{p})</math> 已是局部環，則 <math>R \stackrel{\sim}{\rightarrow} R_\mathfrak{p}</math>。
* 局部環的商環仍是局部環。

==動機與幾何詮釋==
局部環意在描述一個點附近的函數「芽」。設 <math>X</math> 為拓撲空間，<math>F := \mathbb{R}</math> 或 <math>\mathbb{C}</math>，且<math>x \in X</math>。考慮所有資料 <math>(f,U)</math>，其中 <math>U</math> 是 <math>x</math> 的一個開鄰域，而 <math>f: U \rightarrow F</math> 是連續函數。引入等價關係：
: <math>(f,U) \sim (g, V) \iff \exists W \subset U \cap V, \; f|_W = g|_W</math> 且 <math>W</math> 是 <math>x</math> 的開鄰域。

換言之，若兩個函數在 <math>x</math> 附近一致，則視之等同。上述等價類在逐點的加法及乘法下構成一個環 <math>\Gamma_x</math>，其元素稱作在 <math>x</math> 的'''連續函數芽'''，它體現了連續函數在 <math>x</math> 附近的行為。若 <math>s \in \Gamma_x</math> 滿足 <math>s(x) \neq 0</math> ，則存在一個 <math>x</math> 的開鄰域 <math>U</math> 及連續函數 <math>f: U \rightarrow F</math>，使得 <math>[f, U] = s</math> 且 <math>f</math> 恆非零，因此可定義乘法逆元 <math>1/s := [1/f, U]</math>。於是 <math>\Gamma_x</math> 是局部環，其唯一的極大理想是所有在 <math>x</math> 點取零的函數，剩餘域則是 <math>F</math>。

類似想法可施於[[微分流形]]、[[解析流形]]或[[複流形]]，稍作修改後亦可推廣至[[代數簇]]與[[概形]]。

在代數幾何與複幾何中，假設適當的有限性條件（例如[[凝聚層|凝聚性]]）， 若一陳述對某一點的芽成立，則在該點的某個開鄰域上皆成立；就此而論，局部環集中表現了一點附近的''局部性質''。

在[[交換代數]]中，[[局部化]]的技術往往可將問題化約到局部環上；因此交換代數的許多定義與結果都落在局部環的框架內。

==非交換的情形==
一個含-{zh-hans:么;zh-hk:么;zh-tw:么;}-環 <math>R</math> 被稱作'''局部環'''，若且唯若它滿足下述等價條件：
* R 僅有一個極大左理想。
* R 僅有一個極大右理想。
* <math>1 \neq 0 \in R</math>，且任兩個非可逆元的和仍為非可逆元。
* <math>1 \neq 0 \in R</math>，且對任何元素 <math>x</math>，<math>x</math> 或 <math>1-x</math> 必有一者可逆。
* <math>1 \neq 0 \in R</math>，若 <math>R</math> 中某個有限和是可逆元，則其中某項必可逆。

當上述任一性質成立，則下述三者等同：
* R 的唯一極大左理想
* R 的唯一極大右理想
* R 的 [[Jacobson根]]

對於交換環，上述定義化為交換局部環的原始定義。

==文獻==
* {{springer |id=L/l060190|title=Local ring|author=V.I. Danilov}}
* H. Matsumura, ''Commutative algebra'' (1970), ISBN 0-8053-7026-9

{{ModernAlgebra}}

[[Category:環論|J]]
[[Category:交換代數|J]]
[[Category:代數幾何|J]]