查看“︁尤拉臨界負載”︁的源代码


[[File:FIG2.png|缩略图|294x294像素|''图 1：钢的临界应力与細长比，E = 200{{Spaces}}GPa，降伏强度 = 240{{Spaces}}''MPa。]]
'''尤拉临界負载'''是细长[[柱|柱體]]突然弯曲或[[挫曲]]時的压缩[[結構荷重|負载]]。公式如下： <ref>{{Cite web|title=Column Buckling {{!}} MechaniCalc|url=https://mechanicalc.com/reference/column-buckling|access-date=2020-12-27|work=mechanicalc.com|archive-date=2022-05-12|archive-url=https://web.archive.org/web/20220512010515/https://mechanicalc.com/reference/column-buckling}}</ref>

: <math>P_{cr} = \frac{\pi^2 EI}{(KL)^2}</math>

其中

: <math>P_{cr}</math>, 尤拉临界負载（柱上的纵向压缩負载），
: <math>E</math> ，柱體材料的[[杨氏模量|杨氏模數]]，
: <math>I</math> ，柱體横截面的最小[[截面二次轴矩|面积惯性矩]]，
: <math>L</math>, 柱體的无支撑[[长度]]，
: <math>K</math> ,柱體有效长度係數

这个公式是在西元[[1757年]]由[[瑞士]][[数学家]][[萊昂哈德·歐拉|莱昂哈德·尤拉]]所推導出來。''临界負载''是不会引起横向挠曲（挫曲）的最大負载。对于小于临界負载的應力，柱将保持笔直。对于大于临界負载的應力，柱将有横向形變產生。恰等於临界負载的應力，使柱处于[[不稳定性|不稳定]]平衡状态。超过临界载荷的载荷会导致柱因[[挫曲]]而[[失效]]。随着負载增加超过临界負载，横向形變量会增加，直到它可能在其他模式下失效，例如材料降伏。超出临界負载的應力不在本文的讨论範圍。

大約在1900年， J. B. Johnson 提出在低細長比下，應該使用[[Johnson's parabolic formula|不同的方程式]]。

== 模型假设 ==
[[File:ColumnEffectiveLength.png|缩略图|343x343像素|''图 2：尤拉临界負载的柱體有效长度係数。在实际设计時，建议增加為如上图所示的係数。'']]
在推导尤拉公式時所做的假设如下： <ref>{{Cite web|title=Twelve Viva Questions on Columns and Struts|url=http://engineering.myindialist.com/2015/twelve-viva-questions-on-columns-and-struts/|access-date=2020-12-27|date=2015-03-28|work=Engineering Tutorials|language=en|archive-date=2021-10-08|archive-url=https://web.archive.org/web/20211008011836/https://engineering.myindialist.com/2015/twelve-viva-questions-on-columns-and-struts/}}</ref>

# 柱體[[材料]]均质且具[[各向同性|等向性]]。
# 柱體受到的压缩負载仅有轴向。
# 柱子没有初始[[應力|应力]]。
# 柱子的[[重量]]被忽略。
# 柱子最初是直的（轴向負载没有偏移）。
# 销接头无[[摩擦力|摩擦]]（无力矩约束），若是固定端則無刚性（无旋转偏转）。
# 柱子的[[截面 (幾何)|横截面]]在其整个长度上是均匀、不改變的。
# 與[[彎曲 (力學)|弯曲應力]]相比，直接应力非常小（材料仅在弹性应变范围内被压缩）。
# 細長比很高，与柱的横截面尺寸相比，柱的长度非常長。
# 该柱仅因挫曲而失效，即柱中的压应力不超过[[屈服|降伏强度]]<math>\sigma_y</math> （见图1）：
#: <math>\sigma = \frac{P_{cr}}{A} = \frac{\pi^2E}{(L_e/r)^2} < \sigma_y</math>

其中：

: <math display="inline">\frac{L_e}{r}</math>, 细长比,
: <math>L_e = KL</math> ，有效长度，
: <math display="inline">r = \sqrt{\operatorname{I} \over \operatorname{A}}</math> ,[[迴轉半徑|迴转半径]],
: <math>I</math>, 面积惯性矩,
: <math>A</math>, 横截面面積。

对于细长柱體，临界挫曲应力通常低于降伏应力。相比之下，坚固的柱子可能具有高于降伏的临界挫曲应力，即它會在挫曲之前就先降伏。

== 数学推导 ==

=== 銷接端點的柱體 ===
以下模型适用于两端為简支承的柱子（ <math>K = 1</math> ）。

首先，我们要注意銷接端没有反作用力，所以柱的任何横截面也没有剪力。没有应力的原因可以从[[對稱|对称性]]（所以应力应该在相同的方向）和力矩平衡（所以应力应该在相反的方向）得到。

使用圖 3 右側的[[隔離體圖|自由体图]]，并將点 x 的力矩加總：

: <math>\Sigma M = 0 \Rightarrow M(x) + Pw = 0</math>

其中 w 是横向變形。

根据[[歐拉-伯努力棟樑方程|尤拉-伯努利樑理论]]，樑的[[撓度|挠度]]与其弯矩的關係式为：

: <math>M = -EI\frac{\mathrm{d}^2w}{\mathrm{d}x^2}</math> ,

[[File:Pin_ended_column_under_the_effect_of_Buckling_load.png|缩略图|475x475像素|''图 3：挫曲負载作用在兩端為銷接點的柱體'']]
让<math>\lambda^2 = \frac{P}{EI}</math> ， 所以：

: <math>EI\frac{d^2w}{dx^2} + Pw = 0</math>

: <math>\frac{d^2w}{dx^2} + \lambda^2 w = 0</math>

我们得到一个经典的齐次二阶[[常微分方程]]。

该方程的通解为： <math>w(x) = A \cos(\lambda x) + B \sin(\lambda x)</math> ， 這裡的 <math>A </math> 和 <math>B </math> 常数由[[边值问题|边界条件]]所定義，它们是：

* 左端點固定<math>\rightarrow w(0) = 0 \rightarrow A = 0</math>
* 右端點固定<math>\rightarrow w(l) = 0 \rightarrow B \sin(\lambda l) = 0</math>

[[File:FIG4.png|缩略图|355x355像素|''图 4：前三种挫曲負载模態'']]
如果<math>B = 0</math> ，没有弯矩存在，我们得到了[[平凡 (數學)|平凡解]]<math>w(x) = 0</math> 。

但是，从其他解 <math>\sin(\lambda l) = 0</math> 我们得到 <math>\lambda_n l = n\pi</math> ， 其中<math>n = 0, 1, 2, \ldots</math>

再加上前述的 <math>\lambda^2 = \frac{P}{EI} </math> ，各种临界負载是：

: <math>P_{n} = \frac{n^2 \pi^2 EI}{l^2} </math> ， 为了<math>n = 0, 1, 2, \ldots</math>

并取决于 <math> n </math> 的值 ，产生不同的挫曲[[纵模|模態]]<ref>{{Cite web|title=Buckling of Columns|url=http://web.aeromech.usyd.edu.au/AMME2301/Documents/Chapter09.pdf|archive-url=https://web.archive.org/web/20150528132132/http://web.aeromech.usyd.edu.au/AMME2301/Documents/Chapter09.pdf|archive-date=2015-05-28}}</ref> ，如图 4 所示。 n=0 时的負载和模態是非挫曲模態。

理论上任何挫曲模態都有可能出現，但在缓慢施加負载的情况下，可能只会产生第一种模态形状。

因此，銷端柱的'''尤拉临界負载'''為：

: <math>P_{cr} = \frac{\pi^2 EI}{l^2}</math>

得到柱的第一模态挫曲形状为：

: <math>w(x) = B \sin \left({\pi \over l} x\right) </math> .

=== 通常的做法 ===
[[File:FIG_5.png|缩略图|400x400像素|''图 5：作用在柱上的力與力矩。'']]
<ref>{{Cite book|title=Theory of Elastic Stability, 2 ed., McGraw-Hill|last=Timoshenko, S. P.|last2=Gere, J. M.|year=1961}}</ref>樑軸向的微分方程：

: <math>\frac{d^4 w}{dx^4} + \frac{P}{EI}\frac{d^2 w}{dx^2} = \frac{q}{EI}</math>

对于仅具有轴向負载的柱，横向負载 <math>q(x)</math> 消失，再代入 <math>\lambda^2 = \frac{P}{EI}</math> 可得到：

: <math>\frac{d^4 w}{dx^4} + \lambda^2\frac{d^2 w}{dx^2} = 0</math>

这是一个齐次四阶微分方程，其通解为

: <math>w(x) = A\sin(\lambda x) + B\cos(\lambda x) + Cx + D</math>

四个常数 <math>A, B, C, D</math> 由兩端边界条件所决定的 <math>w(x) </math> 來得到。有以下三种情况：

# 銷接端 (Pinned end)：
#: <math>w = 0</math>和<math> M = 0 \rightarrow {d^2w \over dx^2} = 0</math>
# 固定端 (Fixed end)：
#: <math>w = 0</math>和<math>{dw \over dx} = 0</math>
# 自由端 (Free end)：
#: <math>M = 0 \rightarrow {d^2w \over dx^2} = 0</math>和<math>V = 0 \rightarrow {d^3w \over dx^3} + \lambda^2{dw \over dx} = 0</math>

对于这些边界条件的每一种组合，都会得到一個[[特征值和特征向量|特征值问题。]]藉由解决这些问题，我们得到了图 2 中所示每种條件下的尤拉临界負载值。

== 參見 ==

* [[挫曲]]
* 弯矩
* [[彎曲 (力學)|弯曲 (力學)]]
* [[歐拉-伯努力棟樑方程|尤拉-伯努利樑理论]]

== 参考資料 ==
<references />
{{莱昂哈德·欧拉}}

[[Category:彈性]]
[[Category:結構分析]]
[[Category:力學]]
[[Category:莱昂哈德·欧拉]]