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'''尤爾卡特-里歇特定理'''（Jurkat–Richert theorem）是[[篩法]]上的[[數學定理]]，這定理是關於[[歌德巴赫猜想]]的[[陳氏定理]]的關鍵部分。<ref name="Nathanson">
{{cite book |last1=Nathanson |first1=Melvyn B. |title=Additive Number Theory: The Classical Bases |url=https://books.google.com/books?id=8HA7l7i6SRkC |accessdate=2009-03-14 | series=[[Graduate Texts in Mathematics]] |volume=164 |year=1996 |publisher=[[Springer-Verlag]] | isbn=978-0-387-94656-6 | zbl=0859.11003 }}</ref>{{Rp|272}}這定理在1965年由沃爾夫岡·B·尤爾卡特（Wolfgang B. Jurkat）及{{link-en|汉斯-埃贡·里歇特|Hans-Egon Richert}}所證明。<ref name="JR">{{cite journal | last1=Jurkat | first1=W. B. | author2-link=Hans-Egon Richert | first2=H.-E. | last2=Richert | year=1965 | title=An improvement of Selberg's sieve method I | journal=[[Acta Arithmetica]] | volume=XI | pages=217–240 | url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa11/aa11118.pdf | accessdate=2009-02-17 | zbl=0128.26902 | issn=0065-1036 | archive-date=2023-05-08 | archive-url=https://web.archive.org/web/20230508142349/http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa11/aa11118.pdf | dead-url=no }}</ref>

==定理陳述==
以下公式表示取自哈罗德·G·戴蒙德（Harold G Diamond）與{{link-en|海尼·哈伯斯塔姆|Heini Halberstam|哈伯斯塔姆}}。<ref name="DH">
{{cite book | last1= Diamond | first1 = Harold G. | last2 = Halberstam | first2 = Heini | authorlink2 = Heini Halberstam | others = With William F. Galway | title = A Higher-Dimensional Sieve Method: with Procedures for Computing Sieve Functions |series= Cambridge Tracts in Mathematics |volume=177 | publisher =[[Cambridge University Press]] | location=[[Cambridge]] | year=2008 | isbn=978-0-521-89487-6 | zbl=1207.11099 }}
</ref>{{Rp|81}}其他的公式表示可見於尤爾卡特與里歇特、<ref name="JR" />{{Rp|230}}哈伯斯塔姆與里歇特、<ref name="HR">
{{cite book | last1= Halberstam | first1=Heini |author1-link=Heini Halberstam | author2-link=Hans-Egon Richert | first2=H.-E. | last2=Richert | title = Sieve Methods | publisher = Academic Press | location = London | year = 1974 | isbn = 0-12-318250-6 | mr = 424730 | zbl=0298.10026 | series=London Mathematical Society Monographs | volume=4 }}</ref>{{Rp|231}}以及{{link-en|梅尔文·B·内桑森|Melvyn B. Nathanson}}等人的結果。<ref name="Nathanson" />{{Rp|257}}

假定<math>A</math>是一個整數的有限序列，而<math>P</math>是質數集合，設<math>A_d</math>為<math>A</math>中可被<math>d</math>除盡的元素構成的集合，並設<math>P(z)</math>為<math>P</math>中小於<math>z</math>的質數的乘積，然後再設<math>\omega(d)</math>為一個使得<math>\omega(p)/p</math>大致與<math>A</math>中可被<math>p</math>除盡的元素成比例的[[積性函數]]。然後<math>X</math>為<math>A</math>中元素的大致個數，則其餘項可表示如下：

: <math>r_A (d) = \left| A_d \right| - \frac{\omega(d)}{d} X.</math>

設<math>S(A,P,z)</math>為<math>A</math>中與<math>P(z)</math>彼此互質的元素的個數，則有下式：

: <math>V(z) = \prod_{p \in P, p < z} \left( 1 - \frac{\omega(p)}{p} \right).</math>

再設<math>\nu(m)</math>為<math>m</math>彼此相異的質因數的數量，並設<math>F_1</math>及<math>f_1</math>為滿足特定微分差分方程的方程式。（可參見戴蒙德與哈伯斯塔姆的書<ref name="DH" />{{Rp|67–68}}以知其定義與性質）現在假定篩選密度的維度為一，也就是在存在常數<math>C</math>，使得<math>2 \le z < w</math>的情況下，可得以下關係式：

: <math>\prod_{z \le p < w} \left( 1 - \frac{\omega(p)}{p} \right)^{-1} \le \left( \frac{\log w}{\log z} \right) \left( 1 + \frac{C}{\log z} \right).</math>

（戴蒙德與哈伯斯塔姆的書<ref name="DH" />將此定理延伸到維度大於一的狀況）那麼尤爾卡特—里歇特定理就表示說對於任意滿足<math>2 \le z \le y \le X</math>的數<math>y</math>與<math>z</math>而言，有以下關係式：

: <math>S(A,P,z) \le XV(z) \left( F_1 \left(\frac{\log y}{\log z} \right) + O\left(\frac{(\log \log y)^{3/4}}{(\log y)^{1/4}}\right) \right) + \sum_{m|P(z), m < y} 4^{\nu(m)} \left| r_A(m) \right|</math>

及

: <math>S(A,P,z) \ge XV(z) \left( f_1 \left(\frac{\log y}{\log z} \right) - O\left(\frac{(\log \log y)^{3/4}}{(\log y)^{1/4}}\right) \right) - \sum_{m|P(z), m < y} 4^{\nu(m)} \left| r_A(m) \right|.</math>

==註解==
{{Reflist}}

{{DEFAULTSORT:Jurkat-Richert theorem}}
[[Category:篩法]]
[[Category:解析數論定理]]