查看“︁導出拓撲”︁的源代码

{{noteTA|G1=Math}}

在[[拓撲學]]與相關[[數學]]領域裡，'''導出拓撲'''（{{lang-en|induced topology}}，或译'''诱导拓扑'''）是指透過[[拓撲空間]]與某個[[集合 (数学)|集合]]間的[[函數]]，所導出該集合之[[拓撲]]。該集合可能是函數的[[定義域]]或[[對應域]]。

==定義==
導出拓撲的定義如下：

:令 X<sub>0</sub>、X<sub>1</sub> 為集合，<math>f:X_0\to X_1</math> 為由 X<sub>0</sub> 映射至 X<sub>1</sub> 的函數。

:若 <math>\tau_0</math> 為 X<sub>0</sub> 上的拓撲，則'''由''' <math>f</math> '''在 X<sub>1</sub> 上導出之拓撲'''為 <math>\{U_1\subseteq X_1 | f^{-1}(U_1)\in\tau_0\}</math>。

:若 <math>\tau_1</math> 為 X<sub>1</sub> 上的拓撲，則'''由''' <math>f</math> '''在 X<sub>0</sub> 上導出之拓撲'''為 <math>\{f^{-1}(U_1) | U_1\in\tau_1\}</math>。

可以看到，上述兩個定義都是使用[[原像]]，因為原像會維持集合的[[交集]]與[[聯集]]，但[[像 (數學)|像]]則不一定可以。舉例來說，考慮一具有拓撲 <math>\{\{-2, -1\}, \{1, 2\}\}</math> 之集合 <math>X_0=\{-2, -1, 1, 2\}</math>、一集合 <math>X_1=\{-1, 0, 1\}</math>，以及一函數 <math>f:X_0\to X_1</math>，使得 <math>f(-2)=-1, f(-1)=0, f(1)=0, f(2)=1</math>。可知，<math>\tau_1=\{f(U_0)|U_0\in\tau_0\}</math> 不會形成一個拓撲，因為 <math>\{\{-1, 0\}, \{0, 1\}\} \subseteq \tau_1</math>，但 <math>\{-1, 0\} \cap \{0, 1\} \notin \tau_1</math>。


下面為導出拓撲的等價定義：

:由 f 在 X<sub>1</sub> 上導出之拓撲 <math>\tau_1</math> 為使得 f 是[[連續函數 (拓撲學)|連續]]的[[拓撲比較|最精細拓撲]]。此一拓撲為 X<sub>1</sub> 上[[終拓撲]]之一例。

:由 f 在 X<sub>0</sub> 上導出之拓撲 <math>\tau_0</math> 為使得 f 是連續的[[拓撲比較|最粗糙拓撲]]。此一拓撲為 X<sub>0</sub> 上[[初拓撲]]之一例。

==例子==

* [[商拓撲]]是個由[[商映射]]導出之拓撲。
* 若 f 是個[[包含映射]]，則 f 在 X<sub>0</sub> 上會導出[[子空間拓撲]]。

==參考資料==

* {{cite book |last1=Hu |first1=Sze-Tsen |authorlink1= |last2= |first2= |authorlink2= |title=Elements of general topology |url= |edition= |series= |volume= |year=1969 |publisher=Holden-Day |location= |isbn= |id= }}

==另見==
* [[自然拓撲]]

{{topology-stub}}

[[分類:拓撲學]]
[[分類:點集拓撲學]]