查看“︁對數平均”︁的源代码

{{Refimprove|date=2016年1月}}

[[Image:Logarithmic mean 3D plot from 0 to 100.png|thumb|300px|三維圖表顯示對數平均的值]]

'''對數平均'''是一個二個非負[[數字]]的[[數學函數]]，等於兩者的[[差]]除以其[[對數]]的差。其符號為：
:<math>
\begin{array}{ll}
M_{\text{lm}}(x,y)
&=
\lim_{(\xi,\eta)\to(x,y)} \frac{\eta - \xi}{\ln \eta - \ln \xi},
\\
&=
\begin{cases}
0 & \text{if }x=0 \text{ or } y=0 ,\\
x & \text{if }x=y ,\\
\frac{y - x}{\ln y - \ln x} & \text{otherwise,}
\end{cases}
\end{array}
</math>

其中<math>x, y</math>都是正整數。

對數平均的計算適用在有關[[熱傳]]及[[質傳]]的[[工程]]問題上。

==不等式==
二個數字的對數平均小於其[[算術平均]]，大於[[幾何平均]]<ref>Eric W. Weisstein: [http://mathworld.wolfram.com/Arithmetic-Logarithmic-GeometricMeanInequality.html ''Arithmetic-Logarithmic-Geometric-Mean-Inequality''] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/Arithmetic-Logarithmic-GeometricMeanInequality.html |date=20200319000404 }} und [http://mathworld.wolfram.com/NapiersInequality.html ''Napier's Inequality''] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/NapiersInequality.html |date=20190816073326 }} in [[MathWorld]]</ref>，若二個數字相等，對數平均會等於算數平均及幾何平均。

: <math> \sqrt{x\cdot y} \leq M_{\text{lm}}(x,y) \leq \frac{x+y}{2} \qquad \text{ for all } x\geq 0 \text{ and } y\geq 0.</math>

==平均的推導==
=== 微分的均值定理===
根據[[均值定理]]
:<math> \exists \xi\in[x,y] : \ f'(\xi) = \frac{f(x)-f(y)}{x-y} </math>
若將<math>f</math>改為<math>\ln</math>，對數平均可以由 <math>\xi</math>來求得
:<math> \frac{1}{\xi} = \frac{\ln x - \ln y}{x-y} </math>
求解<math>\xi</math>。
:<math> \xi = \frac{x-y}{\ln x - \ln y} </math>

=== 積分 ===
對數平均也可以表示為[[指數函數]]以下的[[面積]]。
:<math>L(x,y) = \int_0^1 x^{1-t} y^t\ \mathrm{d}t</math>
<math>\begin{array}{rcl}
    \int_0^1 x^{1-t} y^t\ \mathrm{d}t
&=& \int_0^1 \left(\frac{y}{x}\right)^t x\ \mathrm{d}t \\
&=& x \int_0^1 \left(\frac{y}{x}\right)^t \mathrm{d}t \\
&=& \frac{x}{\ln \frac{y}{x}} \left(\frac{y}{x}\right)^t|_{t=0}^{1}\\
&=& \frac{x}{\ln \frac{y}{x}} \left(\frac{y}{x}-1\right)\\
&=& \frac{y-x}{\ln y - \ln x}

\end{array}</math>

面積的表示法可以推導一個有關對數平均的基本性質。
因為指數函數為[[單調函數]]，長度為1區間的的積分會在<math>x</math>和<math>y</math>之間。積分算子的[[齐次函数|齐次性]]轉移到平均算子，因此<math>L(c\cdot x, c\cdot y) = c\cdot L(x,y)</math>.

== 推廣 ==
=== 微分的均值定理===
對數平均可推廣到<math>n+1</math>變數，考慮對數n階[[導數]]的{{le|均差中值定理|mean value theorem (divided differences)}}。
可以得到:<math>L_{\mathrm{MV}}(x_0,\dots,x_n) = \sqrt[-n]{(-1)^{(n+1)}\cdot n \cdot \ln[x_0,\dots,x_n]}</math>
其中<math>\ln[x_0,\dots,x_n]</math>為對數的[[均差]]。

若<math>n=2</math>，會變成
:<math>L_{\mathrm{MV}}(x,y,z) = \sqrt{\frac{(x-y)\cdot(y-z)\cdot(z-x)}{2\cdot((y-z)\cdot\ln x + (z-x)\cdot\ln y + (x-y)\cdot\ln z)}}</math>.

=== 積分 ===
積分的表示法也可以推廣到多變數，但結果不同。
假設[[单纯形]] <math>S</math>
其中<math>S = \{(\alpha_0,\dots,\alpha_n) : \alpha_0+\dots+\alpha_n=1\ \land\ \alpha_0\ge0\ \land\ \dots\ \land\ \alpha_n\ge0\}</math>及適當的量度<math>\mathrm{d}\alpha</math>可以使单纯形得到1的體積，可得
:<math>L_{\mathrm{I}}(x_0,\dots,x_n) = \int_S x_0^{\alpha_0}\cdot\dots\cdot x_n^{\alpha_n}\ \mathrm{d}\alpha</math>
利用指數函數的均差可以簡化如下
:<math>L_{\mathrm{I}}(x_0,\dots,x_n) = n!\cdot\exp[\ln x_0, \dots, \ln x_n]</math>.

例如<math>n=2</math>
:<math>L_{\mathrm{I}}(x,y,z) = -2\cdot\frac{x\cdot(\ln y-\ln z) + y\cdot(\ln z-\ln x) + z\cdot(\ln x-\ln y)}{(\ln x-\ln y)\cdot(\ln y-\ln z)\cdot(\ln z-\ln x)}</math>.
<!-- :<math>L_{\mathrm{I}}(x,y,z) = 2\cdot\left(\frac{x}{(\ln x-\ln y)\cdot(\ln x-\ln z)} + \frac{y}{(\ln y-\ln x)\cdot(\ln y-\ln z)} + \frac{z}{(\ln z-\ln x)\cdot(\ln z-\ln y)}\right)</math>. -->

== 和其他平均的關係 ==
* <math>\frac{L(x^2,y^2)}{L(x,y)} = \frac{x+y}{2}</math>（[[算術平均]]）

== 相關條目 ==
* [[幾何平均]]也和對數有關
* 對數平均是一種特別的{{le|Stolarsky平均|Stolarsky mean}}。
* [[對數平均溫差]]

== 參考資料 ==
{{reflist}}
*[http://www.everything2.com/index.pl?node_id=801020 Logarithmic mean @ Everything2.com] {{Wayback|url=http://www.everything2.com/index.pl?node_id=801020 |date=20210309163932 }}
*[https://web.archive.org/web/20060215011645/http://jipam-old.vu.edu.au/v4n4/088_03.html Oilfield Glossary: Term 'logarithmic mean']
* {{mathworld|Arithmetic-Logarithmic-GeometricMeanInequality|Arithmetic-Logarithmic-Geometric-Mean Inequality}}
* Stolarsky, Kenneth B.: ''[http://links.jstor.org/sici?sici=0025-570X%28197503%2948%3A2%3C87%3AGOTLM%3E2.0.CO%3B2-6  Generalizations of the logarithmic mean]'', Mathematics Magazine, Vol. 48, No. 2, Mar., 1975, pp 87–92

[[Category:平均]]