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'''對數凸函數'''<ref group="註解">此條目中「凸函數」的定義是指其下方圖是凸集，和[[凸函數]]條目中的定義不同。</ref>或'''超凸函數'''<ref>Kingman, J.F.C.  1961. A convexity property of positive matrices. Quart. J. Math. Oxford (2) 12,283-284.</ref>是指一[[函數]]''f''，其 <math>{\log}\circ f</math>（函數''f''取[[對數]]後的數值）仍為[[凸函數]]，其原函數即為對數凸函數。
==定義==
令{{math|''X''}}是[[实数]][[向量空间]]內的[[凸集]]，令{{math|''f'' : ''X'' → '''R'''}}為非負值的函數。則{{math|''f''}}為：
* '''對數凸函數'''若<math>{\log} \circ f</math>為凸函數，
* '''嚴格對數凸函數'''若<math>{\log} \circ f</math>嚴格凸函數。
此處視<math>\log 0</math>為<math>-\infty</math>。

明顯可看出，{{math|''f''}}為對數凸函數若且唯若，針對所有{{math|''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub> ∈ ''X''}}，以及所有{{math|''t'' ∈ [0, 1]}}，以下二個等效的條件會成立：
:<math>\begin{align}
\log f(tx_1 + (1 - t)x_2) &\le t\log f(x_1) + (1 - t)\log f(x_2), \\
f(tx_1 + (1 - t)x_2) &\le f(x_1)^tf(x_2)^{1-t}.
\end{align}</math>

而{{math|''f''}}是嚴格對數凸函數若且唯若，在上述二個式子中，的小於等於都改為小於，在{{math|''t'' ∈ (0, 1)}}範圍內都成立。

以上定義允許{{math|''f''}}等於零，但若{{math|''f''}}是對數凸函數，且在{{math|''X''}}內的任一處為零，則{{math|''f''}}需在{{math|''X''}}內部的所有位置都要為零。

===等效條件===
若{{math|''f''}}在定義在{{math|''I'' ⊆ '''R'''}}區間的可微函數，則{{math|''f''}}為對數凸函數。若且唯若下式在所有{{math|''I''}}內的{{math|''x''}}和{{math|''y''}}都成立：
:<math>\log f(x) \ge \log f(y) + \frac{f'(y)}{f(y)}(x - y).</math>

這和以下條件等效，只要{{math|''x''}}和{{math|''y''}}在{{math|''I''}}內，且{{math|''x'' > ''y''}}，則下式成立：
:<math>\left(\frac{f(x)}{f(y)}\right)^{\frac{1}{x - y}} \ge \exp\left(\frac{f'(y)}{f(y)}\right).</math>

而且{{math|''f''}}是嚴格對數凸函數若且唯若上述的不等式中，均為嚴格的不等式。

若{{math|''f''}}是二次可微，則其為對數凸函數若且唯若，針對所有在{{math|''I''}}內的{{math|''x''}}，
:<math>f''(x)f(x) \ge f'(x)^2.</math>
若上述的不等式是嚴格不等式，則{{math|''f''}}是嚴格對數凸函數。不過，其反例不成立。有可能{{math|''f''}}是嚴格對數凸函數，且針對一些{{math|''x''}}，可以找到<math>f''(x)f(x) = f'(x)^2</math>。例如，若<math>f(x) = \exp(x^4)</math>，則{{math|''f''}}是嚴格對數凸函數，但<math>f''(0)f(0) = 0 = f'(0)^2</math>。

<math>f\colon I \to (0, \infty)</math>為對數凸函數，若且唯若<math>e^{\alpha x}f(x)</math> 在所有<math>\alpha\in\mathbb R</math>內都是凸函數<ref>{{harvnb|Montel|1928}}.</ref><ref>{{harvnb|NiculescuPersson|2006|p=70}}.</ref>。

==充份條件==
若<math>f_1, \ldots, f_n</math>為對數凸函數，且<math>w_1, \ldots, w_n</math>為非負實數，則<math>f_1^{w_1} \cdots f_n^{w_n}</math>為對數凸函數。

若<math>\{f_i\}_{i \in I}</math>是一個對數凸函數的族，則<math>g = \sup_{i \in I} f_i</math>是對數凸函數。

若<math>f \colon X \to I \subseteq \mathbf{R}</math>是凸函數，且<math>g \colon I \to \mathbf{R}_{\ge 0}</math>是非遞減的對數凸函數，則<math>g \circ f</math>是對數凸函數。

==性質==
對數函數會大幅降低函數成長的速率，因此若取對數後仍為凸函數，表示函數上昇的速度比凸函數還快，因此會稱為超凸函數。

對數凸函數''f'' 本身是[[凸函數]]，因為這是[[单调函数|遞增]]凸函數<math>\exp</math>及<math>\log\circ f</math>（依定義是凸函數）的[[复合函数]]。但凸函數和對數的复合函数不一定都是凸函數。像<math>g: x\mapsto x^2</math>是凸函數，但<math>{\log}\circ g: x\mapsto \log x^2 = 2 \log |x|</math>不是凸函數，因此<math>g</math>不是對數凸函數。另一方面，<math>x\mapsto e^{x^2}</math>是對數凸函數，因為<math>x\mapsto \log e^{x^2} = x^2</math>是凸函數。

==例子==
* <math>f(x) = \exp(|x|^p)</math>是對數凸函數，若<math>p \ge 1</math>，若<math>p > 1</math>，函數是嚴格對數凸函數。
* <math>f(x) = \frac{1}{x^p}</math>，針對所有的<math>p>0.</math>，在<math>(0,\infty)</math>範圍內，是嚴格對數凸函數。  
* [[正數]]上的[[Γ函数]]是對數凸函數。（參見{{le|波爾-莫勒魯普定理|Bohr–Mollerup theorem}}）。
== 註解 ==
<references group="註解"/>

==參考資料==
{{Reflist}}
* John B. Conway. ''Functions of One Complex Variable I'', second edition. Springer-Verlag, 1995. ISBN 0-387-90328-3.
* Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe. ''Convex Optimization''. Cambridge University Press, 2004. ISBN 9780521833783.
* {{citation
 | last1 = Niculescu
 | first1 = Constantin
 | last2 = Persson
 | first2 = Lars-Erik
 | title = Convex Functions and their Applications - A Contemporary Approach
 | publisher = Springer
 | year = 2006
 | edition = 1st
 | language = English
 | doi = 10.1007/0-387-31077-0
 | isbn = 978-0-387-24300-9
 | issn = 1613-5237
}}.
* {{citation
 | last1 = Montel
 | first1 = Paul
 | title = Sur les fonctions convexes et les fonctions sousharmoniques
 | journal = Journal de Mathématiques Pures et Appliquées
 | year = 1928
 | language = French
 | pages = 29–60
 | volume = 7
}}.

==相關條目==
*{{le|對數凹函數|logarithmically concave function}}
==外部連結==
*{{PlanetMath|id=5664|title=logarithmically convex function}}

[[Category:实分析]]