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{{Unr|time=2025-01-06}}
在[[数学]]中，'''对勾函数'''，又名'''双勾函数'''、'''[[耐克]]函数'''、'''对号函数'''，表示形为<math>f(x)=ax+\frac{b}{x}</math>的函数，其中<math>ab\ge 0</math>。函数定义域为<math>(-\infty,0)\cup(0,+\infty)</math>，值域为<math>(-\infty,-2\sqrt{ab} ] \cup [ 2\sqrt{ab},\infty)</math>。其图像是分别以<math>y</math>轴和<math>y=ax</math>为渐近线的两支双曲线。当<math>a\ge 0,b\ge 0</math>时，其图像在第一象限形状就是个像耐克的品牌徽标一样，因此得名耐克函数。

== 图像 ==

以下是對勾函数<math>f(x)=x+\frac{1}{x}</math>的图像

[[File:耐克函数图像.JPG|800px]]

==函数单调性==
*a、b同'''正'''，在<math>\left(-\infty,-\sqrt{\frac{b}{a}}\right]</math>单调递'''增'''，在<math>\left[-\sqrt{\frac{b}{a}},0\right)</math>单调递'''减'''，在<math>\left(0,\sqrt{\frac{b}{a}}\right]</math>单调递'''减'''，在<math>\left[\sqrt{\frac{b}{a}},+\infty\right)</math>单调递'''增'''。
*a、b同'''负'''，在<math>\left(-\infty,-\sqrt{\frac{b}{a}}\right]</math>单调递'''减'''，在<math>\left[-\sqrt{\frac{b}{a}},0\right)</math>单调递'''增'''，在<math>\left(0,\sqrt{\frac{b}{a}}\right]</math>单调递'''增'''，在<math>\left[\sqrt{\frac{b}{a}},+\infty\right)</math>单调递'''减'''。
===函数单调性的证明===
对<math>f(x)=x+{\frac{a}{x}}(a>0)</math>，任取<math>0<x_1<x_2\leq \sqrt{a}</math>，则有<math>
\begin{cases}
x_1-x_2<0\\
x_1\cdot x_2>0\\
0<x_1\cdot x_2<a\\
\end{cases}</math><br/>
<math>\therefore f(x_1)-f(x_2)=x_1+{\frac{a}{x_1}}-x_2-{\frac{a}{x_2}}={\frac{(x_1-x_2)(x_1{\cdot}x_2-a)}{x_1{\cdot}x_2}}>0</math>，即<math>f(x_1)>f(x_2)</math><br/>
<math>\therefore f(x)</math>在<math>(0,\sqrt{a}]</math>上单调递减。同理，<math>f(x)</math>在<math>[\sqrt{a},+\infty)</math>上单调递增；在<math>(-\infty,-\sqrt{a}]</math>上单调递增；在<math>\left[-\sqrt{a},0\right)</math>上单调递减。
{{Math-stub}}
[[Category:函数]]