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在數學上，一個'''對偶小波'''（{{lang-en|dual wavelet}}）為小波的對偶。一般情形下，在里斯表示定理(Riesz representation theorem)中，由平方可積函數(square integral function)產生的小波級數(wavelet series)具有對偶級數。然而，
對偶級數一般並不是由平方可積函數本身表示。

==定義==
給一個平方可積函數 <math>\psi\in L^2(\mathbb{R})</math>, 定義級數 <math>\{\psi_{jk}\}</math> 由

:<math>\psi_{jk}(x) = 2^{j/2}\psi(2^jx-k)</math>

給整數 <math>j,k\in \mathbb{Z}</math>.

這種函數稱為R函數(R-function)，假如<math>\{\psi_{jk}\}</math>的線性展延在<math>L^2(\mathbb{R})</math>上,且假如存在一個正的常數''A'', ''B''，其中<math>0<A\leq B < \infty</math> 如下式

:<math>A \Vert c_{jk} \Vert^2_{l^2} \leq 
\bigg\Vert \sum_{jk=-\infty}^\infty c_{jk}\psi_{jk}\bigg\Vert^2_{L^2} \leq 
B \Vert c_{jk} \Vert^2_{l^2}\,</math>

對於所有雙無限平方累加(bi-infinite square summable)級數 <math>\{c_{jk}\}</math>. 在這裡, <math>\Vert \cdot \Vert_{l^2}</math> 代表平方和範數:

:<math>\Vert c_{jk} \Vert^2_{l^2} = \sum_{jk=-\infty}^\infty \vert c_{jk}\vert^2</math>

而 <math>\Vert \cdot\Vert_{L^2}</math> 代表在 <math>L^2(\mathbb{R})</math>的通常範數(usual norm):

:<math>\Vert f\Vert^2_{L^2}= \int_{-\infty}^\infty \vert f(x)\vert^2 dx</math>

由里斯表示定理(Riesz representation theorem)，存在一個獨特的對偶基底(dual basis) <math>\psi^{jk}</math> 如下式

:<math>\langle \psi^{jk} \vert \psi_{lm} \rangle = \delta_{jl} \delta_{km}</math>

<math>\delta_{jk}</math>為克羅內克函數(Kronecker delta)，而 <math>\langle f\vert g \rangle</math>為在<math>L^2(\mathbb{R})</math>的內積(inner produce)。確實，這裡存在一個對於平方可積函數 ''f'' 表示基底的特殊級數表示:

:<math>f(x) = \sum_{jk} \langle \psi^{jk} \vert f \rangle \psi_{jk}(x)</math>

假如這裡存在一個函數 <math>\tilde{\psi} \in L^2(\mathbb{R})</math> 如下式

:<math>\tilde{\psi}_{jk} = \psi^{jk}</math>

<math>\tilde{\psi}</math> 稱為對偶小波(dual wavelet)或是小波對偶至&psi;(wavelet dual to &psi;). 一般來說，對於一些R函數(R-function)&psi;,對偶不一定存在。在特別情況 <math>\psi = \tilde{\psi}</math>中,這個小波稱為正交小波(orthogonal wavelet)。

要舉一個沒有對偶的R函數(R-function)很簡單。讓<math>\phi</math> 為一個正交小波。然後定義 <math>\psi(x) = \phi(x) + z\phi(2x)</math>，''z'' 為複數.如此一來可以很簡單的表明 &psi; 沒有對偶小波。

==其他相關==
* [[Multiresolution analysis]]

==文獻==
* Charles K. Chui, ''An Introduction to Wavelets (Wavelet Analysis & Its Applications)'', (1992), Academic Press, San Diego, ISBN 0-12-174584-8

[[Category:小波分析]]
[[Category:对偶理论]]