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在[[表示论]]中，[[群]] <math>G</math> 在[[域 (數學)|域]] <math>F</math> 上的[[向量空間]] <math>V</math> 上的'''射影表示'''指从<math>G</math>到[[射影线性群]]<math>PGL</math>的一個群同態

: <math>G \to \mathrm{PGL}(V) := \mathrm{GL}(V)/F^*</math>

其中 <math>\mathrm{GL}(V)</math> 表示在域<math>F</math>上向量空間 <math>V</math> 的可逆线性变换构成的[[一般线性群]]，而 <math>F^*</math> 視為純量積映射 <math>v \mapsto cv</math>，其中 <math>c \in F^*</math>。

若 <math>V</math> 維度有限，選定基底後可將 <math>\mathrm{PGL}(V)</math> 理解為 <math>\mathrm{PGL}(n,F)</math>，即 <math>n \times n</math> 階[[可逆矩陣]]對[[正規子群]] <math>F^* \cdot \mathrm{id}_V</math> 之商群。

對於給定的群表示 <math>\rho: G \to \mathrm{GL}(V)</math>，與商映射 <math>p: \mathrm{GL}(V) \to \mathrm{PGL}(V)</math> 合成後可得到一個射影表示。較常探討的是逆向的問題：如何將一個射影表示 <math>\bar{\rho}: G \to \mathrm{PGL}(V)</math> 提升至一個表示 <math>\rho: G \to \mathrm{GL}(V)</math>，使得 <math>p \circ \rho = \bar{\rho}</math>？

對於提升問題，通常採取如下進路：取同態 <math>\bar{\rho}: G \to \mathrm{PGL}(V)</math> 與 <math>p: \mathrm{GL}(V) \to \mathrm{PGL}(V)</math> 的[[纖維積]]，得到一個[[中心擴張]]
: <math>1 \to F^* \to \tilde{G} \to \mathrm{GL}(V) \to 1</math>
其中 <math>\tilde{G} = \{ (g,M) \in G \times \mathrm{GL}(V) | p(M)=\rho(g) \} </math>。

這類擴張由[[群上同調]] <math>H^2(\mathrm{GL}(V), F^*)</math> 分類。若此擴張是平凡的，則 <math>\bar{\rho}</math> 可提升至 <math>G</math> 的表示。即使此表示無法提升，仍可退而求其次，藉群上同調研究擴張的性質，例如：擴張對應的上同調類 <math>\alpha \in H^2(\mathrm{GL}(V), F^*)</math> 滿足 <math>n\alpha=0</math> 若且唯若 <math>\bar{\rho}</math> 可提昇為某個中心擴張 <math>1 \to \mathbf{\mu}_n \to \hat{G} \to \mathrm{GL}(V) \to 1</math> 的 <math>\hat{G}</math> 的表示。

==參見==
*[[表示論]]
*[[群作用]]

[[Category:表示论|S]]
[[Category:群表示论|S]]
[[Category:群论|S]]
[[Category:同调代数|S]]