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{{NoteTA|G1=Math}}{{需要专家关注|subject=數學}}
在[[数学]]，特别是[[点集拓扑学]]中，[[拓扑空间]]的子集<math>S</math>的'''导集'''（'''导出集合'''）是<math>S</math>的所有[[极限点]]的集合。它通常記为 <math>S'</math>。 

这个概念是[[格奥尔格·康托尔]]在1872年引入的，他开发[[集合论]]很大程度上就是为了研究在[[实直线]]上的导出集合。

== 导集公理 ==
导集是[[拓扑学]]的基础概念之一，可以用来定义[[拓扑空间]]。
给定集合<math>X</math>，考慮一個定義在<math>X</math>的[[冪集]]<math>\mathcal{P}(X)</math>上的运算<math>d: \mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(X)</math>，若<math>d</math>满足以下'''导集公理'''，則稱<math>d</math>為'''導集運算'''：
* '''D<sub>1</sub>'''：<math>d(\empty) = \empty</math>
* '''D<sub>2</sub>'''：<math>d(d(A)) \subseteq d(A) \cup A</math>
* '''D<sub>3</sub>'''：<math>\forall x \in X,\ d(A) = d(A - \{x\})</math>
* '''D<sub>4</sub>'''：<math>d(A\cup B) = d(A)\cup d(B)</math>
<math>d(A)</math>稱為<math>A</math>的'''導來集'''。

从导集出发可以定义各种拓扑的基础概念：
* [[闭集]]：<math>X</math>的子集<math>A</math>是闭集，当且仅当<math>d(A) \subseteq A</math>。（从此处可以看到和闭集公理的等价性，从而可以等价地定义拓扑空间。）
* [[同胚]]：拓扑空间<math>T_1(X_1,\tau_1)</math>、<math>T_1(X_2,\tau_2)</math>同胚，当且仅当存在[[双射]]<math>f: \mathcal{P}(X_1) \to \mathcal{P}(X_2)</math>，使得<math>\forall A \subseteq X_1,\ f(d(A)) = d(f(A))</math>。

== 相关概念 ==
;聚点
:<math>d(A)</math>中的点称为<math>A</math>的'''聚点'''。

== 性质 ==
* <math>S,T\subseteq X</math>，若<math>S\cap T=\empty</math>，<math>S\cap d(T)=\empty</math>，<math>d(S)\cap T=\empty</math>。则称<math>S</math>和<math>T</math>是[[分离集合|分离]]的。（注意：<math>d(S)\cap d(T)</math>不一定为<math>\empty</math>）。
*集合<math>S</math>被定义为'''[[完美集合|完美]]'''的，如果<math>S=d(S)</math>。等价地说，完美集合是没有[[孤点]]的[[闭集]]。完美集合又称为完备集合。
*'''[[Cantor-Bendixson定理]]'''声称任何[[波兰空间]]都可以写为可数集合和完美集合的并集。因为任何波兰空间的<math>G_\delta</math>子集都再次是波兰空间，这个定理还证明了任何波兰空间的<math>G_\delta</math>子集都是可数集合和完美集合的并集。
* 拓扑空间<math>X</math>是[[T1空间|T<sub>1</sub> 空间]]，当且仅当<math>\forall x\in X,\ d(\{x\}) = \empty</math>。

== 引用 ==
* {{cite book|author = Kechris, A. | title = Classical Descriptive Set Theory | edition = [[Graduate Texts in Mathematics]] 156 | publisher = Springer | year = 1995 | id = ISBN 0-387-94374-9 ISBN 3-540-94374-9 |language =en}}
* [[瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基|Sierpiński, Wacław F.]]; translated by [[Cecilia Krieger|Krieger, C. Cecilia]] (1952). ''General Topology''. [[University of Toronto]] Press.

==参见==
*[[极限点]]
*[[导出代数]]

[[Category:点集拓扑学|D]]