查看“︁对数正态分布”︁的源代码

{{noteTA
|G1=Math
|1=zh-cn:似然;zh-tw:概似
|2=zh-cn:参数;zh-tw:母數;zh:參數
|3= zh-hans:矩; zh-tw:動差;zh-hant:矩
}}
{{Infobox 機率分佈|
  name       =对数正态分布|
  type       =密度|
   pdf_image  =[[File:Lognormal_distribution_PDF.png|325px|Plot of the Lognormal PMF]]<br /><small>μ=0</small>|
  cdf_image  =[[File:Lognormal_distribution_CDF.png|325px|Plot of the Lognormal CMF]]<br /><small>μ=0</small>|
  parameters =<math>\sigma \ge 0</math><br /><math>-\infty \le \mu \le \infty</math>|
  support    =<math>x \in [0; +\infty)\!</math>|
  pdf        =<math>\frac{1}{x\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{\left[\ln(x)-\mu\right]^2}{2\sigma^2}\right)</math>|
  cdf       =<math>\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \mathrm{erf}\left[\frac{\ln(x)-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right]</math>|
  mean       =<math>e^{\mu+\sigma^2/2}</math>|
  median     =<math>e^{\mu}</math>|
  mode       =<math>e^{\mu-\sigma^2}</math>|
  variance   =<math>(e^{\sigma^2}\!\!-1) e^{2\mu+\sigma^2}</math>|
  skewness   =<math>(e^{\sigma^2}\!\!+2)\sqrt{e^{\sigma^2}\!\!-1}</math>|
  kurtosis   =<math>e^{4\sigma^2}\!\!+2e^{3\sigma^2}\!\!+3e^{2\sigma^2}\!\!-6</math>|
  entropy    =<math>\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ln(2\pi\sigma^2) + \mu</math>|
  mgf        =(参见原始动差文本)|
  char       =<math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(it)^n}{n!}e^{n\mu+n^2\sigma^2/2}</math>is asymptotically divergent but sufficient for numerical purposes|
}}
在[[概率论]]与[[统计学]]中，'''任意[[随机变量]]'''的'''对数'''服从'''正态分布''',则这个随机变量服从的分布称为'''对数正态分布'''。如果 <math>Y</math> 是正态分布的随机变量，则 <math>\exp(Y)</math>（[[指数函数]]）为对数正态分布；同样，如果 <math>X</math> 是对数正态分布，则 <math>\ln X</math>为正态分布。
如果一个变量可以看作是许多很小独立因子的[[乘积]]，则这个变量可以看作是对数正态分布。一个典型的例子是股票投资的长期收益率，它可以看作是每天收益率的乘积。
对于 <math>x>0</math>，对数正态分布的[[概率密度函数]]为

:<math>f(x;\mu,\sigma) = \frac{1}{ x\sigma\sqrt{2 \pi}} e^{-(\ln x - \mu)^2/2\sigma^2}</math>

其中 <math>\mu</math> 与 <math>\sigma</math> 分别是变量[[对数]]的[[平均值]]与[[標準差]]。它的[[期望值]]是

:<math>\mathrm{E}(X) = e^{\mu + \sigma^2/2}</math>

[[方差]]为

:<math>\mathrm{var}(X) = (e^{\sigma^2} - 1) e^{2\mu + \sigma^2}.\,</math>

给定期望值与方差，也可以用这个关系求 <math>\mu</math> 与 <math>\sigma</math>

:<math>\mu = \ln(\mathrm{E}(X))-\frac{1}{2}\ln\left(1+\frac{\mathrm{var}(X)}{\mathrm{E}(X)^2}\right),</math>

:<math>\sigma^2 = \ln\left(1+\frac{\mathrm{var}(X)}{\mathrm{E}(X)^2}\right).</math>

== 与几何平均值和几何标准差的关系 ==

对数正态分布、[[几何平均数]]与[[几何標準差]]是相互关联的。在这种情况下，几何平均值等于 <math>\exp(\mu)</math>，几何標準差等于 <math>\exp(\sigma)</math>。

如果采样数据来自于对数正态分布，则几何平均值与几何标准差可以用于估计置信区间，就像用[[算术平均数]]与标准差估计正态分布的置信区间一样。

{| class="wikitable"
!置信区间界
!对数空间
!几何
|-
|3σ 下界
|<math>\mu - 3\sigma</math>
|<math>\mu_\mathrm{geo} / \sigma_\mathrm{geo}^3</math>
|-
|2σ 下界
|<math>\mu - 2\sigma</math>
|<math>\mu_\mathrm{geo} / \sigma_\mathrm{geo}^2</math>
|-
|1σ 下界
|<math>\mu - \sigma</math>
|<math>\mu_\mathrm{geo} / \sigma_\mathrm{geo}</math>
|-
|1σ 上界
|<math>\mu + \sigma</math>
|<math>\mu_\mathrm{geo} \sigma_\mathrm{geo}</math>
|-
|2σ 上界
|<math>\mu + 2\sigma</math>
|<math>\mu_\mathrm{geo} \sigma_\mathrm{geo}^2</math>
|-
|3σ 上界
|<math>\mu + 3\sigma</math>
|<math>\mu_\mathrm{geo} \sigma_\mathrm{geo}^3</math>
|}

其中几何平均数 <math>\mu_\mathrm{geo} = \exp(\mu)</math>，几何標準差 <math>\sigma_\mathrm{geo} = \exp(\sigma)</math>

== 矩 ==

原始[[矩 (數學)|矩]]为：

:<math>\mu_1=e^{\mu+\sigma^2/2}</math>
:<math>\mu_2=e^{2\mu+4\sigma^2/2}</math>
:<math>\mu_3=e^{3\mu+9\sigma^2/2}</math>
:<math>\mu_4=e^{4\mu+16\sigma^2/2}</math>

或者更为一般的矩

:<math>\mu_k=e^{k\mu+k^2\sigma^2/2}.</math>

== 局部期望 ==

随机变量 <math>X</math> 在阈值 <math>k</math> 上的局部期望定义为

:<math>g(k)=\int_k^\infty (x-k) f(x)\, dx</math>

其中 <math>f(x)</math> 是概率密度。对于对数正态概率密度，这个定义可以表示为

:<math>g(k)=\exp(\mu+\sigma^2/2)\Phi\left(\frac{-\ln(k)+\mu+\sigma^2}{\sigma}\right)-k \Phi\left(\frac{-\ln(k)+\mu}{\sigma}\right)</math>

其中 <math>\Phi</math> 是标准正态部分的[[累积分布函数]]。对数正态分布的局部期望在[[保险业]]及经济领域都有应用，著名的Black-Scholes期权定价公式便可由此推导出。

== 参数的最大似然估计 ==
为了确定对数正态分布参数 <math>\mu</math> 与 <math>\sigma</math> 的[[最大似然估计]]，我们可以采用与[[正态分布]]参数最大似然估计同样的方法。我们来看

: <math>f_L (x;\mu, \sigma) = \frac 1 x \, f_N (\ln x; \mu, \sigma)</math>

其中用 <math>f_L (\cdot)</math> 表示对数正态分布的概率密度函数，用 <math>f_N (\cdot)</math>— 表示正态分布。因此，用与正态分布同样的指数，我们可以得到对数最大似然函数：

: <math>\begin{matrix}
  \ell_L (\mu,\sigma | x_1, x_2, ..., x_n)
  & = & - \sum _k \ln x_k + \ell_N (\mu, \sigma | \ln x_1, \ln x_2, \dots, \ln x_n) = \\  \\
\ & = & \operatorname {constant} + \ell_N (\mu, \sigma | \ln x_1, \ln x_2, \dots, \ln x_n).
\end{matrix}</math>

由于第一项相对于 <math>\mu</math> 与 <math>\sigma</math> 来说是常数，两个对数最大似然函数 <math>\ell_L</math> 与 <math>\ell_N</math> 在同样的 <math>\mu</math> 与 <math>\sigma</math> 处有最大值。因此，根据正态分布最大似然参数估计器的公式以及上面的方程，我们可以推导出对数正态分布参数的最大似然估计
: <math>\widehat \mu = \frac {\sum_k \ln x_k} n, \ 
        \widehat \sigma^2 = \frac {\sum_k {\left( \ln x_k - \widehat \mu \right)^2}} n.</math>

== 相关分布 ==

* 如果 <math>Y = \ln(X)</math> 与 <math>X \sim \operatorname{Log-N}(\mu, \sigma^2)</math>，则 <math>Y \sim N(\mu, \sigma^2)</math> 是[[正态分布]]。
* 如果 <math>X_m \sim \operatorname {Log-N} (\mu, \sigma_m^2), \ m = \overline {1 ... n}</math> 是有同样 <math>\mu</math> 参数、而 <math>\sigma</math> 可能不同的[[統計獨立性|统计独立]]对数正态分布变量 ，并且 <math>Y = \prod_{m=1}^n X_m</math>，则 <math>Y</math> 也是对数正态分布变量：<math>Y \sim \operatorname {Log-N} \left( n\mu, \sum _{m=1}^n \sigma_m^2 \right)</math>。

== 进一步的阅读资料 ==
* Robert Brooks, Jon Corson 以及 [[Jimbo Wales|J. Donal Wales]] 的 [http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=5735 "The Pricing of Index Options When the Underlying Assets All Follow a Lognormal Diffusion"] {{Wayback|url=http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=5735 |date=20080622152431 }}, in ''Advances in Futures and Options Research'', volume 7, 1994.

== 参考文献 ==

* ''对数正态分布'', Aitchison, J. and Brown, J.A.C. (1957)
* ''[http://stat.ethz.ch/~stahel/lognormal/bioscience.pdf Log-normal Distributions across the Sciences: Keys and Clues] {{Wayback|url=http://stat.ethz.ch/~stahel/lognormal/bioscience.pdf |date=20080419043220 }}'', E. Limpert, W. Stahel and M. Abbt,. BioScience, 51 (5), p. 341–352 (2001).
* ''[https://web.archive.org/web/20070205011222/http://www.rotman.utoronto.ca/~hull/Technical%20Notes/TechnicalNote2.pdf 对数正态分布特性]'', [[John Hull]], in ''Options, Futures, and Other Derivatives'' 6E (2005). {{ISBN|0-13-149908-4}}
* [[Eric W. Weisstein]] et al. [http://mathworld.wolfram.com/LogNormalDistribution.html 对数正态分布] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/LogNormalDistribution.html |date=20080712013506 }} at [[MathWorld]]. Electronic document, 2006年10月26日造訪.

== 参见 ==
* [[几何平均数]]
* [[几何标准差]]
* [[误差函数]]

{{概率分布类型列表|对数正态分布}}

[[Category:连续分布]]
[[Category:对数]]