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{{unreferenced|time=2018-10-23T15:10:25+00:00}}
在[[数学]]中，有许多'''[[对数]][[恒等式]]'''。

== 代数恒等式 ==
=== 简化计算 ===
对数可以用来简化计算。例如，两个数可以只通过查表和相加而得到乘积。
{|class=wikitable
|<math>\,\log_\theta xy=\log_{\theta}x+\log_{\theta}y</math>
|rowspan=5|對應到||<math>\,\theta^x\theta^y=\theta^{x+y}</math>
|-
|<math>\log_\theta\frac{x}{y}= \log_{\theta}x-\log_{\theta}y</math>
|<math>\frac{\theta^x}{\theta^y}=\theta^{x-y}</math>
|-
|<math>\,\log_\theta x^y=y\log_\theta x</math>
|<math>\,({\theta^x})^y=\theta^{xy}</math>
|-
|<math>\log_\theta\sqrt[y]{x}=\frac{\log_{\theta}x}{y}</math>
|<math>\sqrt[y]{x}=x^\frac{1}{y}</math>
|-
|<math>\,\log_\theta-x=\log_\theta x+\pi i\log_\theta e</math>
|[[歐拉恆等式]]：<math>\,e^{\pi i}+1=0</math>
|}

=== 消去指数 ===
同底的对数和指数会彼此消去。这是因为对数和指数是互逆运算（就像乘法和除法那样）。
{| cellpadding=3
| <math> b^{\log_b(x)} = x </math> || 因为 || <math> \mathrm{antilog}_b(\log_b(x)) = x \!\, </math>
|-
| <math> \log_b(b^x) = x \!\, </math> || 因为 || <math> \log_b(\mathrm{antilog}_b(x)) = x \!\, </math>
|}

=== 换底公式 ===
:<math>\log_\theta x=\frac{\log_\phi x}{\log_\phi\theta}</math>

在计算器上计算对数时需要用到这个公式。例如，大多数计算器有{{key press|ln}}和{{key press|log<sub>10</sub>}}的按钮，但却没有<math>\log_{2}</math>的。要计算<math>\log_2(3)</math>，只有计算<math>\frac{\log_{10}(3)}{\log_{10}(2)}</math>{{notetag|或<math>\frac{\ln(3)}{\ln(2)}</math>，两者结果一样}}。


这个公式有许多推论：

1.倒數公式
:<math> \log_a b = \frac {1} {\log_b a} </math>

2.底數<math>n</math>次 對數<math>\frac{1}{n}</math>倍
:<math> \log_{a^n} b =  {{\log_a b} \over n} </math>

3.上下對調公式
:<math> a^{\log_b c} = c^{\log_b a} </math>
<!---分隔線--->

=== 和/差公式 ===
下面的和/差规则对概率论中的对数化概率的计算非常有用：
:<math>\log_\theta(\Chi\pm\Upsilon)=\log_\theta\Chi+\log_\theta\left(1\pm\frac{\Upsilon}{\Chi}\right)</math>{{notetag|在使用时如果<math>\,\Chi<\Upsilon</math>，等式右边的<math>\,\Chi</math>和<math>\,\Upsilon</math>必须互换。在<math>\,\Chi=\Upsilon</math>时，因为0的对数无定义，所以此时减法等式无定义。}}

=== 普通恒等式 ===
{| cellpadding=3
| <math> \log_b(1) = 0 \!\, </math> || 因为 || <math> b^0 = 1\!\, </math>
|-
| <math> \log_b(b) = 1 \!\, </math> || 因为 || <math> b^1 = b\!\, </math>
|}

注意<math> \log_b(0) \!\, </math>无定义，因为没有一个数<math> x \!\, </math>使<math> b^x = 0 \!\, </math>成立。

== 微积分恒等式 ==
=== [[极限_(数学)|极限]] ===
:<math>\lim_{x \to 0^+} \log_a x = -\infty \quad \mbox{if } a > 1</math>

:<math>\lim_{x \to 0^+} \log_a x =  \infty \quad \mbox{if } a < 1</math>

:<math>\lim_{x \to \infty} \log_a x =   \infty \quad \mbox{if } a > 1</math>

:<math>\lim_{x \to \infty} \log_a x =  -\infty \quad \mbox{if } a < 1</math>

:<math>\lim_{x \to 0^+} x^b \log_a x = 0</math>

:<math>\lim_{x \to \infty} {1 \over x^b} \log_a x = 0</math> 

最后一个极限经常被总结为“<math>x</math>的对数增长得比<math>x</math>的任何次方或方根都慢”。{{notetag|说函数的极限“等于无穷大”是不严密的，因为“无穷大”不是数。上面右边是无穷大的等式的意思是，函数可以无限制的增加/减少。}}

=== 对数函数的[[导数]] ===
:<math>{d \over dx} \ln x = {1 \over x } = {\ln e \over x }</math>

=== 积分定义 ===
:<math>\ln x = \int_1^x \frac {1}{t} dt </math>

=== 对数函数的[[积分]] ===
: <math>\int \log_a x \, dx = x(\log_a x - \log_a e) + C</math>

为了记忆积分，可以方便的定义：
:<math>x^{\left [n \right]} = x^{n}(\log(x) - H_n)</math>
:<math>x^{\left [ 0 \right ]} = \log x</math>
:<math>x^{\left [ 1 \right ]} = x \log(x) - x</math>
:<math>x^{\left [ 2 \right ]} = x^2 \log(x) - \begin{matrix} \frac{3}{2} \end{matrix} \, x^2</math>
:<math>x^{\left [ 3 \right ]} = x^3 \log(x) - \begin{matrix} \frac{11}{6} \end{matrix} \, x^3</math>

于是，
:<math>\frac {d}{dx} \, x^{\left [ n \right ]} = n \, x^{\left [ n-1 \right ]}</math>
:<math>\int x^{\left [ n \right ]}\,dx = \frac {x^{\left [ n+1 \right ]}} {n+1} + C</math>

== 求大数的近似数 ==

对数恒等式可以用来求大数的近似数。
假设我们要得到第44个[[梅森质数]]<math>2^{32582657}-1</math>的近似值。先取对数（<math>-1</math>被忽略），<math>2^{32582657}</math>以10为底的对数等于 32,582,657 与<math>\log_{10}(2)</math>的乘积，计算得到<math>9808357.09543=9808357+0.09543</math>。再取指数消去对数，得到最后结果为 <math>10^{9808357}\times10^{0.09543}\approx 1.25\times 10^{9808357}</math>.

类似地，[[阶乘]]的结果可以用每项的对数之和来近似。

==注释==
{{notefoot}}

[[Category:对数]]
[[Category:数学恒等式]]