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{{Unreferenced|time=2021-11-03T10:49:53+00:00}}
'''对偶范数'''是[[数学]]中[[泛函分析]]里的概念。考虑一个[[赋范向量空间]]的[[对偶空间]]时，常常需要给对偶空间赋以合适的几何架构。对偶范数是一种自然的赋范方式。

==定义==
===对偶空间===
{{main|对偶空间}}
给定一个系数[[体 (数学)|域]]为<math>\mathbb{F}</math>赋范向量空间（比如说一个[[巴拿赫空间]]）{{math|''E''}}（其中<math>\mathbb{F}</math>通常是[[实数]]域<math>\mathbb{R}</math>或复数域<math>\mathbb{C}</math>），所有从{{math|''E''}}到<math>\mathbb{F}</math>上的[[连续函数|连续]][[线性映射]]（也称为连续[[线性泛函]]）的[[集合 (数学)|集合]]称为{{math|''E''}}的（连续）对偶空间，记作：{{math|''E' ''}}.
===对偶范数===
可以证明，{{math|''E′''}}是一个向量空间。其上可以装备不同的范数。对偶范数（<math>\| \cdot \|'</math>）是一种自然的范数定义方式，定义为：
:<math>\forall f \in E', \; \; \| f \|' = \sup \left\{ |f(x)| ; \; \|x\| \leqslant 1 \right\} = \sup \left\{ \frac{|f(x)|}{\|x\|} ; x \neq 0\right\} </math>
由于{{math|''E′''}}中的元素的是连续线性泛函，所以按照以上定义的范数必然存在，是一个有限正实数。引进了对偶范数後，{{math|''E′''}}成为一个赋范线性空间。可以证明，{{math|''E′''}}在对偶范数下必然是[[完备空间|完备]]的，所以{{math|''E′''}}是巴拿赫空间。

<div style="margin-left:20px; margin-top:10px; padding-left:16px; padding-bottom:10px; padding-right:16px; padding-top:10px; background:#e8ffc4; width:90%;">
<div style="font-size:105%;">'''证明'''：
</div>
<div style="margin-left:6px;margin-top:6px;font-size:90%;">
给定一个由{{math|''E′''}}中元素构成的[[柯西序列]]：<math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>，其中每一个<math>f_n</math>都是{{math|''E''}}-线性泛函。由柯西序列的定义可知，
:<math>\forall \epsilon > 0 ,\; \; \exists N \in \mathbb{N},</math> 使得<math>\forall n, m > N, \; \; \|f_n - f_m \|' < \epsilon.</math>
所以对{{math|''E''}}中任何元素{{math|''x''}}，都有：
:<math>\forall n, m > N, \; \; |f_n(x) - f_m(x)| = |(f_n - f_m)(x)| \leqslant \|f_n - f_m \|' \| x \| < \epsilon \| x \|.</math>
这说明<math>\left( f_n(x) \right)_{n\in\mathbb{N}}</math>是柯西数列，因而收敛：数列的[[極限 (數列)|极限]]存在。定义函数<math>f : \; \; E \rightarrow \mathbb{F}</math>如下：
:<math>f(x) = \lim_{n\to\infty} f_n(x).</math>
这样定义的函数{{math|''f''}} 是连续线性泛函，属于{{math|''E′''}}。事实上：
#{{math|''f''}} 是线性映射：
#:<math>\forall \alpha , \beta \in \mathbb{F}, \; \; x , y \in E , </math>
#:<math> f(\alpha x + \beta y) = \lim_{n\to\infty} f_n (\alpha x + \beta y) = \lim_{n\to\infty} \left[ \alpha f_n (x ) + \beta f_n(y) \right] = \alpha \lim_{n\to\infty} f_n (x ) + \beta \lim_{n\to\infty} f_n(y) =  \alpha  f(x ) + \beta f(y).</math>
#{{math|''f''}} 是连续映射：
#:将<math>\epsilon</math>定为1，则存在<math>N_1 \in \mathbb{N}</math>，使得<math>\forall n > N_1</math>，都有<math>\|f_n - f_{N_1}\|' < 1</math>，这说明：
#:<math>\forall n > N_1, \; \; \|f_n \|' \leqslant \|f_{N_1}\|' + 1.</math> 因此，<math>\forall n > N_1, \; \; x \in E, \; \; \|x\| < 1,</math>  都有<math>|f_n(x)| \leqslant \|f_n\|' \|x\| \leqslant \|f_n \|' \leqslant \|f_{N_1}\|' + 1.</math> 
#:当<math>n</math>趋向无穷大时，就有：<math>|f(x)| \leqslant \|f_{N_1}\|' + 1 </math>。这说明{{math|''f''}} 是连续映射。
最后证明{{math|''f''}} 是序列<math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>在对偶范数下的极限：
:给定<math>\epsilon > 0 </math>，总能找到<math>N\in\mathbb{N}</math>，使得：
:<math>\forall n, m > N, \; \;  \| f_n - f_m \|' < \epsilon,</math> 所以，<math>\forall x\in E, \; \; \|x\| \leqslant 1,</math>
:<math>|f_n(x) - f_m(x) | \leqslant \| f_n - f_m \|' \|x\| \leqslant  \| f_n - f_m \|' < \epsilon. </math>
:当<math>m</math>趋向无穷大时，就有：<math>|f_n(x) - f(x) | \leqslant \epsilon.</math>
:因此，<math>\forall n > N, \; \; \| f_n - f \|' = \sup \{|f_n(x) - f(x) | ; \; \|x\| \leqslant 1 \} \leqslant \epsilon. </math>
这说明序列<math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>在对偶范数下收敛到{{math|''f''}}。所以{{math|''E′''}}是完备空间。
</div>
</div>

==例子==
给定两个大于1的实数{{math|''p''}}和{{math|''q''}}。如果两者满足：<math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>，那么序列空间<math>\ell^p</math>和<math>\ell^q</math>互相是对偶空间（在[[同构]]的意义上）。<math>\ell^p</math>装备的是序列p-范数之时，它的对偶空间装备的对偶范数可以和装备了序列q-范数的<math>\ell^q</math>建立[[等距同构]]。当<math>p = q = 2</math>时，以上性质说明，<math>\ell^2</math>和自身对偶。
==参见==

==参考来源==
{{reflist}}

[[Category:泛函分析]]
[[Category:对偶理论]]