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[[数学]]中，[[域 (数学)|域]]<math>\mathbb{K}</math>上的'''对偶系统'''或'''对偶对'''是指三元组<math>(X, Y, b)</math>，包含<math>\mathbb{K}</math>上的2个[[向量空间]]''X''、''Y''，以及非[[退化双线性形式|退化]][[双线性映射]]<math>b : X \times Y \to \mathbb{K}</math>。

'''对偶理论'''是对对偶系统的研究，在[[泛函分析]]中占有重要地位，并通过[[希尔伯特空间]]广泛应用于[[量子力学]]中。

==定义、记号与惯例==
===配对===
域<math>\mathbb{K}</math>上的'''配对'''（pairing或pair）是一个三元组<math>(X, Y, b)</math>，也可以用<math>b(X, Y)</math>表示， 包含<math>\mathbb{K}</math>上的两个向量空间''X''、''Y''及[[双线性映射]]<math>b : X \times Y \to \mathbb{K}</math>，称作与配对关联的双线性映射{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}，或配对的映射，或其[[双线性形式]]。简单起见，本文只涉及<math>\mathbb{K}</math>是[[实数]]<math>\R</math>或[[复数 (数学)|复数]]<math>\Complex</math>的例子。

<math>\forall x \subseteq X</math>，定义
<math display="block">\begin{alignat}{4}
b(x, \,\cdot\,) : \,& Y && \to     &&\, \mathbb{K} \\
                    & y && \mapsto &&\, b(x, y)
\end{alignat}</math>
<math>\forall y \subseteq Y</math>，定义
<math display="block">\begin{alignat}{4}
b(\,\cdot\,, y) : \,& X && \to     &&\, \mathbb{K} \\
                    & x && \mapsto &&\, b(x, y).
\end{alignat}</math>
<math>\forall b(x, \,\cdot\,)</math>是''Y''上的[[线性泛函]]，<math>\forall b(\,\cdot\,, y)</math>是''X''上的线性泛函。令
<math display="block">b(X, \,\cdot\,) := \{ b(x, \,\cdot\,) : x \in X \} \qquad \text{ and } \qquad b(\,\cdot\,, Y) := \{ b(\,\cdot\,, y) : y \in Y \}</math>
其中每个集合构成一个线性泛函的向量空间。

通常记<math>\langle x, y \rangle</math>而非<math>b(x, y)</math>，这样配对不必写成<math>(X, Y, \langle \cdot, \cdot \rangle)</math>，而可以写成<math>\left\langle X, Y \right\rangle</math>。不过，本文将用<math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math>表示[[初拓扑|求值映射]]（定义见下），以避免混淆。

===对偶对===
若[[双线性形式]]''b''是非[[退化双线性形式|退化]]的，则称配对<math>(X, Y, b)</math>是<math>\mathbb{K}</math>上的'''对偶系统'''或'''对偶对'''{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|pp=122–128}} ，满足下面两条分离公理：
# ''Y''分离（区分）''X''的点：若<math>x \in X</math>使得<math>b(x, \,\cdot\,) = 0</math>，则<math>x = 0</math>；等价地，对所有非零的<math>x \in X</math>，映射<math>b(x, \,\cdot\,) : Y \to \mathbb{K}</math>不等同于<math>0</math>（即<math>\exists y \in Y</math>使得<math>\forall x \in X,\ b(x, y) \neq 0</math>）；
# ''X''分离（区分）''Y''的点：若<math>y \in Y</math>使得<math>b(\,\cdot\,, y) = 0</math>，则<math>y = 0</math>；等价地，对所有非零的<math>y \in Y</math>，映射<math>b(\,\cdot\,, y) : X \to \mathbb{K}</math>不等同于<math>0</math>（即<math>\exists x \in X</math>使得<math>\forall y \in Y,\ b(x, y) \neq 0</math>）。

这样''b''是非退化的，可以说''b''将''X''、''Y''置于（分离）对偶中（places in (separated) duality），''b''是三元组<math>(X, Y, b)</math>的对偶配对（duality pairing）。{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|pp=122–128}}
===全子集===
若<math>\forall x \in X</math>, <math display="block">b(x, s) = 0 \quad \forall s \in S</math>能推出<math>x = 0</math>，则称<math>S\in Y</math>为全集。
''X''的全子集定义相似（见脚注）。<ref group="note">子集<math>S\in X</math>，若<math>\forall y \in Y</math>，<math display="block">b(s, y) = 0 \quad \forall s \in S</math>推出<math>y = 0</math>，则称''S''为全子集。</ref>因此，当且仅当''X''是''X''的全子集，''X''分离''Y''中所有点，对''Y''亦然。

===正交性===
若<math>b(x, y) = 0</math>，称向量''x''、''y''[[正交]]，记作<math>x \perp y</math>。若<math>b(R, S) = \{ 0 \}</math>，称两子集<math>R \subseteq X</math>、<math>S \subseteq Y</math>正交，记作<math>R \perp S</math>；即<math>\forall r \in R</math>、<math>s \in S</math>，<math>b(r, s) = 0</math>。子集正交于向量的定义与之类似。

子集<math>R \subseteq X</math>的'''[[正交补]]'''或'''[[零化子]]'''是
<math display="block">R^{\perp} := \{ y \in Y : R \perp y \} := \{ y \in Y : b(R, y) = \{ 0 \} \}</math>.
于是，当且仅当<math>R^\perp=\{0\}</math>，''R''是''X''的全子集。

===极集===
{{Main|极集}}
给定在<math>\mathbb{K}</math>上定义了对偶对的三元组<math>(X, Y, b)</math>，子集<math>A\subseteq X</math>的'''绝对极集'''或'''极集'''是集合<math display="block">A^{\circ} := \left\{ y \in Y : \sup_{x \in A} |b(x, y)| \leq 1 \right\}.</math>对称地，子集<math>B\subseteq Y</math>的绝对极集或极集记作<math>B^{\circ}</math>，定义为
<math display="block">B^{\circ} := \left\{ x \in X : \sup_{y \in B} |b(x, y)| \leq 1 \right\}.</math>


为了使用有助于跟踪对偶性两侧不对称的标记，子集<math>B\subseteq B</math>的绝对极也可以称为''B''的'''绝对预极'''（absolute prepolar）或'''预极'''（prepolar），可表为<math>{}^{\circ} B</math>。{{sfn|Trèves|2006|p=195}}

极<math>B^{\circ}</math>必然是凸集，包含<math>0 \in Y</math>，若''B''平衡，则<math>B^{\circ}</math>也平衡；若''B''是''X''的向量子空间，则<math>B^{\circ}</math>是''Y''的向量子空间。{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|pp=123–128}}

若''A''是''X''的向量子空间，则<math>A^{\circ} = A^{\perp}</math>，还等于''A''的实极。若<math>A \subseteq X</math>，则''A''的'''双极'''（bipolar，记作<math>A^{\circ\circ}</math>）是''A''正交补的极，即集<math>{}^{\circ}\left(A^{\perp}\right)</math>。相似地，若<math>B \subseteq Y</math>，则''B''的双极是<math>B^{\circ\circ} := \left({}^{\circ}B\right)^{\circ}</math>。

===对偶的定义与结果===
给定对<math>(X, Y, b)</math>，定义新对<math>(Y, X, d)</math>，其中<math>\forall x \in X,\ \forall y \in Y,\ d(y, x) := b(x, y)</math>。{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}
对偶理论有个一贯的主题：任何对<math>(X, Y, b)</math>都有相应的对偶对<math>(Y, X, d)</math>。
:{{em|约定与定义}}：给定配对<math>(X, Y, b)</math>的任何定义，将其应用于配对<math>(Y, X, d)</math>，就能得到对偶定义。这约定也适用于定理。

例如，若''X''分离''Y''的点（或者说''S''是''Y''的全子集）定义如上，则此约定立即产生了对偶定义：''Y''分离''X''的点（或者说''S''是''X''的全子集）。
下面的写法几乎无处不在，可让我们不用为''d''指定符号。

:{{em|约定与记号}}：若配对<math>(X, Y, b)</math>的定义及其记号取决于''X''和''Y''的顺序（例如，''X''上的[[麦奇拓扑]]<math>\tau(X, Y, b)</math>），那么交换''X''、''Y''顺序就意味着定义适用于<math>(Y, X, d)</math>（接上例，拓扑<math>\tau(Y, X, b)</math>实际上是拓扑<math>\tau(Y, X, d)</math>）。

再比如，一旦定义了''X''上的弱拓扑<math>\sigma(X, Y, b)</math>，则此对偶定义就会自动应用到配对<math>(Y, X, d)</math>，从而得到''Y''上弱拓扑的定义——<math>\sigma(Y, X, b)</math>而非<math>\sigma(Y, X, d)</math>。

==== <math>(X, Y)</math>及<math>(Y, X)</math>的识别 ====
虽然从技术上将这是不正确的，也是对符号的滥用，但本文将遵守几乎普遍的管理，及将配对<math>(X, Y, b)</math>与<math>(Y, X, d)</math>互换处理，并用<math>(Y, X, b)</math>表示<math>(Y, X, d)</math>。

==例子==
===配对的限制===
设<math>(X, Y, b)</math>是配对，''M''是''X''的向量子空间，''N''是''Y''的向量子空间。则，<math>(X, Y, b)</math>对<math>M \times N</math>的限制就是配对<math>\left(M, N, b\big\vert_{M \times N}\right)</math>。若<math>(X, Y, b)</math>是对偶，则限制就有可能不对偶（如，若<math>Y \neq \{ 0 \}</math>、<math>N = \{ 0 \}</math>）。

本文将使用通常做法，用<math>(M, N, b)</math>表示限制<math>\left(M, N, b\big\vert_{M \times N}\right)</math>。

===向量空间上的规范对偶===
设''X''是向量空间，令<math>X^{\#}</math>表示''X''的[[对偶空间#代數对偶空间|代数对偶空间]]（即，''X''上所有线性泛函的空间）。则有规范对偶<math>\left(X, X^{\#}, c\right)</math>，其中<math>c\left(x, x^{\prime}\right) = \left\langle x, x^{\prime} \right\rangle = x^{\prime}(x)</math>，称之为<math>X \times X^{\#}</math>上的'''求值映射'''或'''自然/规范'''双线性泛函。

注意<math>\forall x^{\prime} \in X^{\#}</math>，<math>c\left(\,\cdot\,, x^{\prime}\right)</math>只是表示<math>x^{\prime}</math>的另一种方式，即<math>c\left(\,\cdot\,, x^{\prime}\right) = x^{\prime}(\,\cdot\,) = x^{\prime}.</math>

若''N''是<math>X^{\#}</math>的一个向量子空间，则<math>\left(X, X^{\#}, c\right)</math>对<math>X \times N</math>的限制称作'''规范配对'''。若此配对是对偶，则称为'''规范对偶'''。显然''X''总是分离''N''的点，因此当且仅当''N''分离''X''中的点，规范配对是对偶系统。
下列记号现在在对偶理论中几乎无处不在。

求值映射记作<math>\left\langle x, x^{\prime} \right\rangle = x^{\prime}(x)</math>（而非''c''），将<math>(X, N, c)</math>改为<math>\langle X, N \rangle</math>。

:'''假设'''：按惯例，若''X''是向量空间，''N''是''X''上线性泛函的向量空间，则除非另有说明，否则将假定它们同规范配对<math>\langle X, N \rangle</math>相关联。

若''N''是<math>X^{\#}</math>的向量子空间，则当且仅当''N''分离''X''的点（或等价地，''N''是全的，<math>\forall n \in N,\ n(x) = 0</math>能推出<math>x = 0</math>），''X''分离''N''的点（或等价地，<math>(X, N, c)</math>是对偶），{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}

===拓扑向量空间上的规范对偶===
设''X''是[[拓扑向量空间]]，有连续对偶空间<math>X^{\prime}</math>。
则，规范对偶<math>\left(X, X^{\#}, c\right)</math>对<math>X\times X^{\prime}</math>的限制确定了配对<math>\left(X, X^{\prime}, c\big\vert_{X \times X^{\prime}}\right)</math>，其中''X''分离<math>X^{\prime}</math>的点。
若<math>X^{\prime}</math>分离''X''的点（例如，若''X''是豪斯多夫局部凸空间，则恒为真），则此配对形成了对偶。{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|pp=122–128}}

:'''假设'''：正如通常所作，只要''X''是拓扑向量空间，则除非另有说明，否则将假定其与规范配对<math>\left\langle X, X^{\prime} \right\rangle</math>相关联，无需注释。

===拓扑向量空间的极与对偶===
下列结果表明，拓扑向量空间上的连续线性泛函恰是在原点邻域上有界的线性泛函。

{{Math theorem|name=定理{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}|math_statement=
令''X''是拓扑向量空间，有代数对偶
<math>X^{\#}</math>，并令<math>\mathcal{N}</math>为''X''在原点邻域的基。
在规范对偶<math>\left\langle X, X^{\#} \right\rangle</math>下，''X''是连续对偶空间是所有<math>N^{\circ}</math>的并，因为''N''的范围是<math>\mathcal{N}</math>（其中极位于<math>X^{\#}</math>）。}}

===内积空间与复共轭空间===
预希尔伯特空间<math>(H, \langle \cdot, \cdot \rangle)</math>，当且仅当''H''是<math>\R</math>上的向量空间，或''H''是0维，<math>(H, \langle \cdot, \cdot \rangle)</math>是对偶对。这里假定[[半双线性形式]]<math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math>在第二坐标上是共轭齐次的，在第一坐标上是齐次的。
# 若<math>(H, \langle \cdot, \cdot \rangle)</math>是实[[希尔伯特空间]]，则<math>(H, H, \langle \cdot, \cdot \rangle)</math>形成对偶系统。
# 若<math>(H, \langle \cdot, \cdot \rangle)</math>是复[[希尔伯特空间]]，则当且仅当<math>\operatorname{dim} H = 0</math>，<math>(H, H, \langle \cdot, \cdot \rangle)</math>形成对偶系统。若''H''非平凡，则<math>(H, H, \langle \cdot, \cdot \rangle)</math>甚至不是配对，因为内积是半双线性的，而非双线性的。{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}

设<math>(H, \langle \cdot, \cdot \rangle)</math>是复预希尔伯特空间，标量乘法用并列或<math>\cdot</math>表示。
定义映射
<math display="block">\,\cdot\, \perp \,\cdot\, : \Complex \times H \to H \quad \text{ by } \quad c \perp x := \overline{c} x,</math>
其中右式使用了''H''的标量乘法。令<math>\overline{H}</math>表示''H''的[[复共轭向量空间]]，其中<math>\overline{H}</math>表示加群<math>(H, +)</math>（所以<math>\overline{H}</math>中的向量加法与''H''中的相同），但<math>\overline{H}</math>中的标量乘法是映射<math>\,\cdot\, \perp \,\cdot\,</math>（而非''H''被赋予的标量乘法）。

映射<math>b : H \times \overline{H} \to \Complex</math>定义为<math>b(x, y) := \langle x, y \rangle</math>，在两个坐标中都是线性的<ref group="note">''b''在第一坐标中线性显然。设''c''是标量，则<math>b(x, c \perp y) = b\left(x, \overline{c} y\right) = \langle x, \overline{c} y \rangle = c \langle x, y \rangle = c b(x, y)</math>，说明''b''在第二坐标中也线性。</ref>，因此<math>\left(H, \overline{H}, \langle \cdot, \cdot \rangle\right)</math>形成对偶对。

===其他例子===
# 设<math>X = \R^2,\ Y = \R^3,\ \forall\left(x_1, y_1\right) \in X \text{ and } \left(x_2, y_2, z_2\right) \in Y,</math>令<math display=block>b\left(\left(x_1, y_1\right), \left(x_2, y_2, z_2\right)\right) := x_1 x_2 + y_1 y_2.</math>则<math>(X, Y, b)</math>是配对，使''X''区分''Y''的点，但''Y''不区分''X''的点。此外，<math>X^{\perp} := \{y \in Y : X \perp y\} = \{(0, 0, z) : z \in \R\}.</math></li>
# 令<math>0 < p < \infty,\ X := L^p(\mu),\ Y := L^q(\mu)</math>（其中''q''满足<math>\tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = 1</math>），<math>b(f, g) := \int f g \, \mathrm{d}\mu.</math>则<math>(X, Y, b)</math>是对偶系统。
# 令''X''、''Y''是同一域<math>\mathbb{K}</math>上的向量空间，则双线性形式<math>b\left(x \otimes y, x^* \otimes y^*\right) = \left\langle x^{\prime}, x \right\rangle \left\langle y^{\prime}, y \right\rangle</math>使<math>X \times Y</math>与<math>X^{\#} \times Y^{\#}</math>对偶。{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|pp=122–128}}
# [[序列空间]]''X''及其[[Beta-对偶空间]]<math>Y := X^{\beta}</math>，双线性映射定义为<math>\forall x \in X,\ y \in X^{\beta},\ \langle x, y \rangle := \sum_{i=1}^{\infty} x_i y_i</math>形成对偶系统。

==弱拓扑==
{{Main|弱拓扑|弱-*拓扑}}
设<math>(X, Y, b)</math>是<math>\mathbb{K}</math>上一对向量空间。若<math>S \subseteq Y</math>，则'''''X''上由''S''（和''b''）诱导的弱拓扑'''是''X''上最弱的拓扑向量空间拓扑，记作<math>\sigma(X, S, b)</math>或<math>\sigma(X, S)</math>，使''y''在''S''上取值时所有映射<math>b(\,\cdot\,, y) : X \to \mathbb{K}</math>连续。{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}若''S''在语境中不明确，则应假定是''Y''的全部，这时称之为''X''上（由''Y''诱导的）的弱拓扑。
<math>X_{\sigma(X, S, b)},\ X_{\sigma(X, S)},</math>或（若无混淆）<math>X_{\sigma}</math>用于表示赋有弱拓扑<math>\sigma(X, S, b)</math>的''X''。
重要的是，弱拓扑完全取决于函数''b''、<math>\Complex</math>上的通常拓扑与''X''上的向量空间结构，而与''Y''的代数结构无关。
同样，若<math>R \subseteq X</math>，则'''''Y''上由''R''（和''b''）诱导的弱拓扑'''的对偶定义记作<math>\sigma(Y, R, b)</math>或<math>\sigma(Y, R)</math>（细节见脚注）。<ref group="note">''Y''上的弱拓扑是''Y''上使所有映射<math>b(x, \,\cdot\,) : Y \to \mathbb{K}</math>连续的最弱的拓扑向量空间拓扑（''x''在''R''上取值）。<math>(Y, \sigma(Y, R, b)),\ (Y, \sigma(Y, R)),</math>或<math>(Y, \sigma)</math>的对偶定义也可用来表示赋有弱拓扑<math>\sigma(Y, R, b)</math>的''Y''。若''R''在语境中不明确，则应假定是''X''的全部，这时称之为''Y''上（由''X''诱导）的弱拓扑。</ref>

:{{em|定义与符号}}：若<math>\sigma(X, Y, b)</math>附在一个拓扑定义上（如<math>\sigma(X, Y, b)</math>-收敛、<math>\sigma(X, Y, b)</math>-有界、<math>\operatorname{cl}_{\sigma(X, Y, b)}(S)</math>等等），则就意味着当定义的第一个空间（即''X''）携带<math>\sigma(X, Y, b)</math>拓扑。若无混淆，可以不提及''b''甚至''X''、''Y''。例如，若''Y''中序列<math>\left(a_i\right)_{i=1}^{\infty}</math>“<math>\sigma</math>-收敛”或“弱收敛”，这意味着它收敛于<math>(Y, \sigma(Y, X, b))</math>，而若它是''X''中的序列，则意味着它收敛于<math>(X, \sigma(X, Y, b))</math>）。

拓扑<math>\sigma(X, Y, b)</math>是[[局部凸]]的，因为它由<math>p_y(x) := |b(x, y)|</math>定义的半范数族<math>p_y : X \to \R</math>确定，其中''y''在''Y''上取值。{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}
若<math>x \in X,\ \left(x_i\right)_{i \in I}</math>是''X''中的[[网 (数学)|网]]，则若<math>\left(x_i\right)_{i \in I}</math>在<math>(X, \sigma(X, Y, b))</math>中收敛到''x''，<math>\left(x_i\right)_{i \in I}</math>'''<math>\sigma(X, Y, b)</math>-收敛'''于''x''。{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}网<math>\left(x_i\right)_{i \in I}</math>，当且仅当<math>\forall y \in Y,\ b\left(x_i, y\right)</math>收敛到<math>b(x, y)</math>，<math>\sigma(X, Y, b)</math>-收敛到''x''。

若<math>\left(x_i\right)_{i=1}^{\infty}</math>是希尔伯特空间中的[[正交规范性|正交规范]]向量列，则<math>\left(x_i\right)_{i=1}^{\infty}</math>弱收敛到0，但不会规范收敛（norm-convergence）到0（或任意向量）。{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}

若<math>(X, Y, b)</math>是配对，''N''是''Y''的一个适当的向量子空间，使得<math>(X, N, b)</math>是对偶对，则<math>\sigma(X, N, b)</math>比<math>\sigma(X, Y, b)</math>严格[[拓扑比较|粗]]。{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}

===有界子集===
子集<math>S\subseteq X</math>，当且仅当<math display="block">\sup_{} |b(S, y)| < \infty \quad \text{ for all } y \in Y,</math>，其中<math>|b(S, y)| := \{ b(s, y) : s \in S \}</math>，称''S''<math>\sigma(X, Y, b)</math>-有界。

===豪斯多夫性===
若<math>(X, Y, b)</math>是配对，则下列条件等价：
# ''X''分离''Y''的点；
# 映射<math>y \mapsto b(\,\cdot\,, y)</math>定义了''Y''到''X''的代数对偶空间的[[单射]]；{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}
# <math>\sigma(Y, X, b)</math>是[[豪斯多夫空间]]。{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}

===弱表示定理===
下列定理对对偶理论至关重要，因为它完全表征了<math>(X, \sigma(X, Y, b))</math>的连续对偶空间。

{{Math theorem|name=弱表示定理{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}|math_statement=
令<math>(X, Y, b)</math>是域<math>\mathbb{K}</math>上的配对，则<math>(X, \sigma(X, Y, b))</math>的[[对偶空间#連續對偶空間|连续对偶空间]]是<math display=block>b(\,\cdot\,, Y) := \{b(\,\cdot\,, y) : y \in Y\}.</math>另外，
# 若''f''是<math>(X, \sigma(X, Y, b))</math>上的连续线性泛函，则<math>\exists y \in Y</math>使<math>f = b(\,\cdot\,, y)</math>；若这样的''y''存在，则当且仅当''X''分离''Y''的点时，这样的''y''是唯一的。
* 注意，''X''是否分离''Y''中的点并不取决于''y''的特定选择。
# <math>(X, \sigma(X, Y, b))</math>的连续对偶空间可以视作商空间<math>Y / X^{\perp}</math>，其中<math>X^{\perp} := \{y \in Y : b(x, y) = 0 \ \ \forall x \in X\}</math>。
* 无论''X''是否分离''Y''的点，或''Y''是否分离''X''中的点，这都是正确的。}}

因此，<math>(X, \sigma(X, Y, b))</math>的连续对偶空间是
<math display=block>(X, \sigma(X, Y, b))^{\prime} = b(\,\cdot\,, Y) := \left\{ b(\,\cdot\,, y) : y \in Y \right\}.</math>

关于规范配对，若''X''是拓扑向量空间，其连续对偶空间<math>X^{\prime}</math>分离''X''的点（即使<math>\left(X, \sigma\left(X, X^{\prime}\right)\right)</math>豪斯多夫，这可推出''X''也必豪斯多夫），则<math>\left(X^{\prime}, \sigma\left(X^{\prime}, X\right)\right)</math>的连续对偶空间等于''x''在''X''中取值时所有“点''x''处得值”的映射集合（即将<math>x^{\prime} \in X^{\prime}</math>送到<math>x^{\prime}(x)</math>的映射）。
通常写成
<math display=block>\left(X^{\prime}, \sigma\left(X^{\prime}, X\right)\right)^{\prime} = X \qquad \text{ or } \qquad \left(X^{\prime}_{\sigma}\right)^{\prime} = X.</math>
这一重要事实就是为什么连续对偶空间上极拓扑的成果（如<math>X^{\prime}</math>上的[[强对偶拓扑]]<math>\beta\left(X^{\prime}, X\right)</math>）能应用到原拓扑向量空间''X''的。例如，将''X''视作<math>\left(X^{\prime}_{\sigma}\right)^{\prime}</math>意味着<math>\left(X^{\prime}_{\sigma}\right)^{\prime}</math>上的拓扑<math>\beta\left(\left(X^{\prime}_{\sigma}\right)^{\prime}, X^{\prime}_{\sigma}\right)</math>可被视作''X''上的拓扑。
此外，若<math>X^{\prime}</math>被赋予比<math>\sigma\left(X^{\prime}, X\right)</math>更细的拓扑，那么<math>X^{\prime}</math>的连续对偶空间必然包含<math>\left(X^{\prime}_{\sigma}\right)^{\prime}</math>（作为子集）。
例如，<math>X^{\prime}</math>被赋予强对偶拓扑（于是记作<math>X^{\prime}_{\beta}</math>），则
<math display=block>\left(X^{\prime}_{\beta}\right)^{\prime} ~\supseteq~ \left(X^{\prime}_{\sigma}\right)^{\prime} ~=~ X</math>

这允许''X''被赋予由强对偶拓扑<math>\beta\left(\left(X^{\prime}_{\beta}\right)^{\prime}, X^{\prime}_{\beta}\right)</math>在''X''上诱导的子空间拓扑（此拓扑也称作强双对偶拓扑，见于[[自反空间]]理论：豪斯多夫局部凸拓扑向量空间''X''，若<math>\left(X^{\prime}_{\beta}\right)^{\prime} = X</math>则称其是[[半自反空间]]，若在此之外，其在''X''上的强双对偶拓扑<math>\beta\left(\left(X^{\prime}_{\beta}\right)^{\prime}, X^{\prime}_{\beta}\right)</math>还等于''X''的原/初拓扑，则称其是[[自反空间]]。
===正交、商与子空间===
若<math>(X, Y, b)</math>是配对，则对''X''的任意子集''S''：

# <math>S^{\perp} = (\operatorname{span} S)^{\perp} = \left(\operatorname{cl}_{\sigma(Y, X, b)} \operatorname{span} S\right)^{\perp} = S^{\perp\perp\perp}</math>，且此集合是<math>\sigma(Y, X, b)</math>-闭的；{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}
# <math>S \subseteq S^{\perp\perp} = \left(\operatorname{cl}_{\sigma(X, Y, b)} \operatorname{span} S\right)</math>；{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}
* 因此，若''S''是''X''的<math>\sigma(X, Y, b)</math>-闭向量子空间，则<math>S \subseteq S^{\perp\perp}.</math>
# 若<math>\left(S_i\right)_{i \in I}</math>是''X''的<math>\sigma(X, Y, b)</math>-闭向量子空间族，则
<math display="block">\left(\bigcap_{i \in I} S_i\right)^{\perp} = \operatorname{cl}_{\sigma(Y, X, b)} \left(\operatorname{span} \left(\bigcup_{i \in I} S_i^{\perp}\right)\right).</math>{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}
# 若<math>\left(S_i\right)_{i \in I}</math>是''X''的子集族，则
<math>\left(\bigcup_{i \in I} S_i\right)^{\perp} = \bigcap_{i \in I} S_i^{\perp}.</math>{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}

若''X''是赋范空间，则根据规范对偶性，<math>S^{\perp}</math>在<math>X^{\prime}</math>中对范是封闭的，<math>S^{\perp\perp}</math>在''X''中对范是封闭的。{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}

===子空间===
设''M''是''X''的向量子空间，并令<math>(M, Y, b)</math>表示<math>(X, Y, b)</math>对<math>M \times Y</math>的限制。
''M''上的弱拓扑<math>\sigma(M, Y, b)</math>与''M''从<math>(X, \sigma(X, Y, b))</math>继承的[[子空间拓扑]]相同。

另外，<math>\left(M, Y / M^{\perp}, b\big\vert_M\right)</math>是配对空间（paired space）（其中<math>Y / M^{\perp}</math>是<math>Y / \left(M^{\perp}\right)</math>），其中<math>b\big\vert_M : M \times Y / M^{\perp} \to \mathbb{K}</math>定义为
<math display="block">\left(m, y + M^{\perp}\right) \mapsto b(m, y).</math>

拓扑<math>\sigma\left(M, Y / M^{\perp}, b\big\vert_M\right)</math>等于''M''继承自<math>(X, \sigma(X, Y, b))</math>的[[子空间拓扑]]。{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=260-264}} 
此外，若<math>(X, \sigma(X, Y, b))</math>是对偶系统，则<math>\left(M, Y / M^{\perp}, b\big\vert_M\right)</math>也是。{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=260-264}}

===商===
设''M''是''X''的向量子空间，则<math>\left(X / M, M^{\perp}, b / M\right)</math>是配对空间，其中<math>b / M : X / M \times M^{\perp} \to \mathbb{K}</math>定义为
<math display="block">(x + M, y) \mapsto b(x, y).</math>

拓扑<math>\sigma\left(X / M, M^{\perp}\right)</math>等同于<math>(X, \sigma(X, Y, b))</math>在<math>X / M</math>上诱导的一般的[[商拓扑]]。{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=260-264}}

===极与弱拓扑===
弱''X''是局部凸空间，且若''H''是连续对偶空间<math>X^{\prime}</math>的子集，则当且仅当对''X''中某[[桶 (数学)|桶]]''B''，有<math>H \subseteq B^{\circ}</math>时，''H''是<math>\sigma\left(X^{\prime}, X\right)</math>-有界的。{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}

下列结果对定义极拓扑非常重要。
若<math>(X, Y, b)</math>是配对，<math>A \subseteq X,</math>则{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}

# ''A''的极<math>A^{\circ}</math>是<math>(Y, \sigma(Y, X, b))</math>的闭子集。

# 下列集合的极相同：(a) ''A''；(b) ''A''的凸壳；(c) ''A''的[[平衡集|平衡壳]]；(d) ''A''的<math>\sigma(X, Y, b)</math>-闭合；(e) ''A''的[[绝对凸集|凸平衡壳]]的<math>\sigma(X, Y, b)</math>-闭合。

# [[双极定理]]：''A''的双极<math>A^{\circ\circ}</math>等于''A''的凸平衡壳的<math>\sigma(X, Y, b)</math>-闭合。
* [[双极定理]]“是处理对偶性时不可或缺的工具”。{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|pp=123–128}}
# 当且仅当<math>A^{\circ}</math>[[吸收集|吸收]]于''Y''时，''A''是<math>\sigma(X, Y, b)</math>-有界的。
# 若''Y''还分离''X''的点，则当且仅当''A''是<math>\sigma(X, Y, b)</math>-[[全有界空间|全有界]]时，''A''是<math>\sigma(X, Y, b)</math>-[[有界集|有界]]的。

若<math>(X, Y, b)</math>是配对，<math>\tau</math>是''X''上与对偶一致的局部凸拓扑，则当且仅当''B''是''Y''的某<math>\sigma(Y, X, b)</math>-有界子集的[[极集|极]]时，<math>B\subseteq X</math>是<math>(X, \tau)</math>中的[[桶 (数学)|桶]]。{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=251-253}}

==转置==
=== 线性映射关于配对的转置 ===
{{See also|线性映射的转置|转置}}
令<math>(X, Y, b)</math>和<math>(W, Z, c)</math>是<math>\mathbb{K}</math>上的配对，并令<math>F : X \to W</math>是线性映射。

<math>\forall z \in Z,</math>令<math>c(F(\,\cdot\,), z) : X \to \mathbb{K}</math>是由<math>x \mapsto c(F(x), z)</math>定义的映射。
若满足以下条件，就可以说''F''的转置或伴随是良定的（well-defined）：

# ''X''分离''Y''中的点（或等价地，从''Y''抵达代数对偶<math>X^{\#}</math>的映射<math>y \mapsto b(\,\cdot\,, y)</math>是[[单射]]），且
# <math>c(F(\,\cdot\,), Z) \subseteq b(\,\cdot\,, Y),</math>其中<math>c(F(\,\cdot\,), Z) := \{ c(F(\,\cdot\,), z) : z \in Z \},\ b(\,\cdot\,, Y) := \{ b(\,\cdot\,, y) : y \in Y \}.</math>

这样，<math>\forall z \in Z</math>存在（由条件2）唯一的（由条件1）<math>y \in Y</math>，使<math>c(F(\,\cdot\,), z) = b(\,\cdot\,, y)</math>，其中''Y''的这个元素将表为<math>{}^t F(z)</math>。这定义了线性映射
<math display="block">{}^t F : Z \to Y</math>

称作''F''的转置或关于<math>(X, Y, b)</math>和<math>(W, Z, c)</math>的伴随（注意不要与[[厄米伴随]]混淆）。不难看出，上述两个条件（即“转置良定义”）也是<math>{}^t F</math>良定的必要条件。
<math>\forall z \in Z</math>，<math>{}^t F(z)</math>的定义条件是
<math display="block">c(F(\,\cdot\,), z) = b\left(\,\cdot\,, {}^t F(z)\right),</math> 
即，
<math display="block">\forall x \in X,\ c(F(x), z) = b\left(x, {}^t F(z)\right).</math>

根据本文开头提到的约定，这也定义了形式为<math>Z \to Y,</math><ref group="note">若<math>G : Z \to Y</math>是线性映射，则当且仅当''Z''分离''W''的点、<math>b(X, G(\,\cdot\,)) \subseteq c(W, \,\cdot\,)</math>时，''G''的转置<math>{}^t G : X \to W</math>是良定的。这时，<math>\forall x \in X</math>，<math>{}^t G(x)</math>的定义条件是：<math>c(x, G(\,\cdot\,)) = c\left({}^t G(x), \,\cdot\,\right).</math>
</ref> 
<math>X \to Z,</math><ref group="note">若<math>H : X \to Z</math>是线性映射，则当且仅当''X''分离''Y''的点、<math>c(W, H(\,\cdot\,)) \subseteq b(\,\cdot\,, Y)</math>时，''H''的转置<math>{}^t H : W \to Y,</math>是良定的。这时，<math>\forall w \in W</math>，<math>{}^t H(w)</math>的定义条件是：<math>c(w, H(\,\cdot\,)) = b\left(\,\cdot\,, {}^t H(w)\right).</math></ref> 
<math>W \to Y,</math><ref group="note">若<math>H : W \to Y</math>是线性映射，则当且仅当''W''分离''Z''的点、<math>b(X, H(\,\cdot\,)) \subseteq c(\,\cdot\,, Z)</math>时，''H''的转置<math>{}^t H : X \to Q,</math>是良定的。这时<math>\forall x \in X</math>，<math>{}^t H(x)</math>的定义条件是：<math>c(x, H(\,\cdot\,)) = b\left(\,\cdot\,, {}^t H(x)\right).</math></ref> 
<math>Y \to W,</math><ref group="note">若<math>H : Y \to W</math>是线性映射，则当且仅当''Y''分离''X''的点、<math>c(H(\,\cdot\,), Z) \subseteq b(X, \,\cdot\,)</math>时，''H''的转置<math>{}^t H : Z \to X,</math>是良定的。这时，<math>\forall z \in Z</math>，<math>{}^t H(z)</math>的定义条件是：<math>c(H(\,\cdot\,), z) = b\left({}^t H(z), \,\cdot\,\right)</math></ref>等的线性映射的转置（见脚注）。

===转置的性质===
<math>(X, Y, b)</math>和<math>(W, Z, c)</math>是<math>\mathbb{K}</math>上的配对，<math>F : X \to W</math>是线性映射，其转置<math>{}^t F : Z \to Y</math>是良定义的。

* 当且仅当''F''的范围在<math>\left(W, \sigma\left(W, Z, c\right)\right)</math>中稠密时，<math>{}^t F : Z \to Y</math>是[[单射]]（即<math>\operatorname{ker} {}^t F = \{ 0 \}</math>）。{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}
* 若除了<math>{}^t F</math>良定义外，<math>{}^t F</math>的转置也良定义，则<math>{}^{tt} F = F</math>。
* 设<math>(U, V, a)</math>是<math>\mathbb{K}</math>上的配对，<math>E : U \to X</math>是线性映射，其转置<math>{}^t E : Y \to V</math>是良定义的，则<math>F \circ E : U \to W</math>的转置<math>{}^t (F \circ E) : Z \to V</math>也是良定义的，且<math>{}^t (F \circ E) = {}^t E \circ {}^t F.</math>
* 若<math>F : X \to W</math>是向量空间同构，则<math>{}^t F : Z \to Y</math>是双射，<math>F^{-1} : W \to X</math>的转置<math>{}^t \left(F^{-1}\right) : Y \to Z</math>是良定义的，且<math>{}^t \left(F^{-1}\right) = \left({}^t F\right)^{-1}</math>{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}
* 令<math>S \subseteq X</math>，<math>S^{\circ}</math>表示''A''的[[极集|绝对极]]，则{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}
*# <math>[F(S)]^{\circ} = \left({}^t F\right)^{-1}\left(S^{\circ}\right)</math>；
*# 若<math>\forall T \subseteq W,\ F(S) \subseteq T</math>，则<math>{}^t F\left(T^{\circ}\right) \subseteq S^{\circ}</math>；
*# 若<math>T \subseteq W</math>使得<math>{}^t F\left(T^{\circ}\right) \subseteq S^{\circ}</math>，则<math>F(S) \subseteq T^{\circ\circ}</math>；
*# 若<math>T \subseteq W</math>，<math>S \subseteq X</math>是弱闭圆盘，则当且仅当<math>F(S) \subseteq T</math>时，<math>{}^t F\left(T^{\circ}\right) \subseteq S^{\circ}</math>；
*# <math>\operatorname{ker} {}^t F = [ F(X) ]^{\perp}.</math>
: 将绝对极换成实极，这些结果不变。

若''X''、''Y''是规范对偶下的赋范空间、<math>F : X \to Y</math>是连续线性映射，则<math>\|F\| = \left\|{}^t F\right\|</math>。{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}

====弱连续性====
线性映射<math>F : X \to W</math>，若<math>F : (X, \sigma(X, Y, b)) \to (W, (W, Z, c))</math>连续，则称其（关于<math>(X, Y, b)</math>和<math>(W, Z, c)</math>）'''弱连续'''。

下面的结果表明，转置映射的存在与弱拓扑密切相关。

{{Math theorem|name=命题|math_statement=
设''X''分离''Y''的点，<math>F : X \to W</math>是线性映射。
则下列条件等价：
# ''F''是弱连续的（即<math>F : (X, \sigma(X, Y, b)) \to (W, (W, Z, c))</math>连续）；
# <math>c(F(\,\cdot\,), Z) \subseteq b(\,\cdot\,, Y)</math>；
# ''F''的转置是良定义的。
若''F''是弱连续的，则
* <math>{}^t F : Z \to Y</math>是弱连续的，即<math>{}^t F : (Z, \sigma(Z, W, c)) \to (Y, (Y, X, b))</math>连续；
* 当且仅当''Z''分离''W''的点，转置<math>{}^t F</math>良定义，这时<math>{}^{tt} F = F</math>。
}}

===弱拓扑与规范对偶===
设''X''是向量空间，<math>X^{\#}</math>是其代数对偶。则''X''的所有<math>\sigma\left(X, X^{\#}\right)</math>-有界子集包含于有限维向量子空间，''X''的所有向量子空间是<math>\sigma\left(X, X^{\#}\right)</math>-闭的。{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}

====弱完备性====
若<math>(X, \sigma(X, Y, b))</math>是[[完备拓扑向量空间]]，例如''X''是<math>\sigma(X, Y, b)</math>-完备或（若无歧义）弱完备的情形。
存在不弱完备的[[巴拿赫空间]]（尽管在其范拓扑中是完备的）。{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}

若''X''是向量空间，则在规范对偶下，<math>\left(X^{\#}, \sigma\left(X^{\#}, X\right)\right)</math>是完备的。{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}} 
相反，若''Z''是豪斯多夫[[局部凸]]拓扑向量空间，且有连续对偶空间<math>Z^{\prime}</math>，则当且仅当<math>Z = \left(Z^{\prime}\right)^{\#}</math>时，<math>\left(Z, \sigma\left(Z, Z^{\prime}\right)\right)</math>是完备的；即，当且仅当将<math>z \in Z</math>发送到''z''处求值映射（即<math>z^{\prime} \mapsto z^{\prime}(z)</math>）的映射<math>Z \to \left(Z^{\prime}\right)^{\#}</math>是双射。{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}

特别地，就规范对偶而言，若''Y''是<math>X^{\#}</math>的向量子空间，使''Y''分离''X''中的点，则当且仅当<math>Y = X^{\#}</math>，<math>(Y, \sigma(Y, X))</math>是完备的。
换句话说，<math>X^{\#}</math>不存在紧合向量子空间<math>Y \neq X^{\#}</math>使得<math>(X, \sigma(X, Y))</math>是豪斯多夫空间，且''Y''在[[弱-*拓扑]]（即逐点收敛的拓扑）中完备。
因此，若[[豪斯多夫空间|豪斯多夫]][[局部凸拓扑向量空间]]''X''的连续对偶空间<math>X^{\prime}</math> 被赋以[[弱*-拓扑]]，当且仅当<math>X^{\prime} = X^{\#}</math>（即''X''上所有线性泛函都连续）时，<math>X^{\prime}_{\sigma}</math>是完备的。

====''Y''与代数对偶的子空间的等同====
若''X''分离''Y''的点、''Z''表示单射<math>y \mapsto b(\,\cdot\,, y)</math>的范围，则''Z''是''X''的代数对偶空间的向量子空间，且配对<math>(X, Y, b)</math>与规范配对<math>\langle X, Z \rangle</math>（其中<math>\left\langle x, x^{\prime} \right\rangle := x^{\prime}(x)</math>是自然求值映射）是规范等同（canonically identify）的。
特别地，这时我们将[[不失一般性]]地假设''Y''是''X''代数对偶的向量子空间，而''b''是求值映射。

:{{em|约定}}：通常，只要<math>y \mapsto b(\,\cdot\,, y)</math>是单射（尤其当<math>(X, Y, b)</math>形成对偶对），通常[[不失一般性]]地假设''Y''是''X''的代数对偶空间的向量子空间，且''b''是自然求值映射，''Y''还可记作<math>X^{\prime}</math>。

完全类似的是，若''Y''分离''X''中的点，则''X''就有可能等同于''Y''的代数对偶空间的向量子空间。{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|pp=122–128}}

====代数伴随====
在对偶是规范对偶<math>\left\langle X, X^{\#} \right\rangle</math>和<math>\left\langle W, W^{\#} \right\rangle</math>的特例下，线性映射<math>F : X \to W</math>的转置总是良定义的。
此转置称作''F''的'''代数伴随'''，记作<math>F^{\#}</math>；
即<math>F^{\#} = {}^t F : W^{\#} \to X^{\#}.</math> 
这样，<math>\forall w^{\prime} \in W^{\#},\ F^{\#}\left(w^{\prime}\right) = w^{\prime} \circ F</math>{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|pp=128–130}}其中<math>F^{\#}\left(w^{\prime}\right)</math>的定义条件是
<math display="block">\left\langle x, F^{\#}\left(w^{\prime}\right) \right\rangle = \left\langle F(x), w^{\prime} \right\rangle \quad \forall >x \in X,</math> 
或等价地<math>F^{\#}\left(w^{\prime}\right)(x) = w^{\prime}(F(x)) \quad \forall x \in X.</math>

若对整数''n''，<math>X = Y = \mathbb{K}^n</math>，<math>\mathcal{E} = \left\{ e_1, \ldots, e_n\right\}</math>是''X''的基，其[[对偶基]]<math>\mathcal{E}^{\prime} = \left\{ e_1^{\prime}, \ldots, e_n^{\prime} \right\},\ F : \mathbb{K}^n \to \mathbb{K}^n</math>是线性算子，''F''关于<math>\mathcal{E}</math>的矩阵表示是<math>M := \left(f_{i,j}\right)</math>，则''M''的转置是<math>F^{\#}</math>关于<math>\mathcal{E}^{\prime}</math>的矩阵表示。

====弱连续性与开性====
设<math>\left\langle X, Y \right\rangle</math>，<math>\langle W, Z \rangle</math>是对偶系统的规范配对（所以<math>Y \subseteq X^{\#},\ Z \subseteq W^{\#}</math>），并令<math>F : X \to W</math>是线性映射。则当且仅当<math>F : X \to W</math>满足下列等价条件之一，''F''是弱连续的：{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}} 
# <math>F : (X, \sigma(X, Y)) \to (W, \sigma(W, Z))</math>连续；
# <math>F^{\#}(Z) \subseteq Y</math>
# ''F''的转置<math>{}^t F : Z \to Y</math>相对于<math>\left\langle X, Y \right\rangle</math>和<math>\langle W, Z \rangle</math>是良定义的。
若''F''是弱连续的，则<math>{}^t F : : (Z, \sigma(Z, W)) \to (Y, \sigma(Y, X))</math>是连续的，于是<math>{}^{tt} F = F</math>{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|pp=128–130}}

拓扑空间之间的映射<math>g : A \to B</math>，若<math>g : A \to \operatorname{Im} g</math>是[[开映射]]（<math>\operatorname{Im} g</math>是''g''的范围），则称之是'''相对开'''的。{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}

设<math>\langle X, Y \rangle,\ \langle W, Z \rangle</math>是对偶系统，<math>F : X \to W</math>是弱连续线性映射。则下列条件等价：{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}
# <math>F : (X, \sigma(X, Y)) \to (W, \sigma(W, Z))</math>是相对开的；
# <math>{}^t F</math>的范围在''Y''中<math>\sigma(Y, X)</math>-闭；
# <math>\operatorname{Im} {}^t F = (\operatorname{ker} F)^{\perp}</math>
此外
* 当且仅当<math>{}^t F</math>是满射（或双射），<math>F : X \to W</math>是单射（或双射）；
* 当且仅当<math>{}^t F : : (Z, \sigma(Z, W)) \to (Y, \sigma(Y, X))</math>是相对开单射，<math>F : X \to W</math>是满射。

=====拓扑向量空间之间映射的转置=====
当且仅当''F''是弱连续的，两拓扑向量空间之间映射的转置才被定义。

设<math>F : X \to Y</math>是两豪斯多夫局部凸拓扑向量空间之间的线性映射，则{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}
* 若''F''连续，则其是弱连续的，且<math>{}^t F</math>是麦基连续的，也是强连续的；
* 若''F''是弱连续的，则其是麦基连续的，也是强连续的（定义见下）。
* 若''F''是弱连续的，则当且仅当<math>{}^t F : ^{\prime} \to X^{\prime}</math>将<math>Y^{\prime}</math>的[[等度连续]]子集映射到<math>X^{\prime}</math>的等度连续子集时，''F''才是连续的。
* 若''X''和''Y''是赋范空间，则当且仅当''F''是弱连续的（这时<math>\|F\| = \left\|{}^t F\right\|</math>），''F''连续。
* 若''F''连续，则当且仅当<math>F : X \to Y</math>是弱相对开的（即<math>F : \left(X, \sigma\left(X, X^{\prime}\right)\right) \to \left(Y, \sigma\left(Y, Y^{\prime}\right)\right)</math>是相对开的）、且<math>\operatorname{Im} {}^t F = {}^t F\left(Y^{\prime}\right)</math>的等度连续子集都是<math>Y^{\prime}</math>的某等度连续子集的像时，''F''是相对开的。
* 若''F''是连续单射，则当且仅当<math>X^{\prime}</math>的等度连续子集都是<math>Y^{\prime}</math>的某等度连续子集的像，<math>F : X \to Y</math>是拓扑向量空间嵌入（或等价的[[拓扑嵌入]]）。

====可度量化性与可分性====
令''X''是[[局部凸]]空间，有连续对偶空间<math>X^{\prime}</math>，并令<math>K \subseteq X^{\prime}</math>。{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}  
# 若''K''是[[等度连续]]或<math>\sigma\left(X^{\prime}, X\right)</math>-紧的，且<math>D \subseteq X^{\prime}</math>使得<math>\operatorname{span} D</math>在''X''中稠密，则''K''从<math>\left(X^{\prime}, \sigma\left(X^{\prime}, D\right)\right)</math>继承的子空间拓扑等同于''K''从<math>\left(X^{\prime}, \sigma\left(X^{\prime}, X\right)\right)</math>继承的子空间拓扑。
# 若''X''是[[可分空间|可分的]]、''K''是等度连续的，则''K''被赋予由<math>\left(X^{\prime}, \sigma\left(X^{\prime}, X\right)\right)</math>诱导的子空间拓扑后是[[可度量化]]的。
# 若''X''是可分、可度量化的，则<math>\left(X^{\prime}, \sigma\left(X^{\prime}, X\right)\right)</math>是可分的。
# 若''X''是赋范空间，则当且仅当给定由<math>\left(X^{\prime}, \sigma\left(X^{\prime}, X\right)\right)</math>诱导的子空间拓扑，''X''的连续对偶空间的封闭单元（''X''的连续对偶空间）可度量时，''X''是可分的。
# 若''X''是赋范空间，其连续对偶空间可分（给定通常的范拓扑）时，''X''可分。

==极拓扑与同配对相容的拓扑==
{{Main|极拓扑}}
从弱拓扑开始，[[极基]]的使用会产生一系列局部凸拓扑。这样的拓扑称作[[极拓扑]]，弱拓扑是其中最弱的。

<math>(X, Y, b)</math>将是<math>\mathbb{K}</math>上的配对，<math>\mathcal{G}</math>将是''X''的<math>\sigma(X, Y, b)</math>-有界子集的非空集合。

===极拓扑===
{{Main|极拓扑}}
给定''X''子集的集合<math>\mathcal{G}</math>，''Y''上由<math>\mathcal{G}</math>（与''b''）定义的[[极拓扑]]（或''Y''上的<math>\mathcal{G}</math>-拓扑）是''Y''上唯一的[[拓扑向量空间]]拓扑，其中
<math display="block">\left\{ r G^{\circ} : G \in \mathcal{G}, r > 0 \right\}</math>
形成了原点邻域的[[子基]]。{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}} 
''Y''被赋予这<math>\mathcal{G}</math>-拓扑时，就表示为<math>Y_{\mathcal{G}}</math>。极拓扑都需要是局部凸的。{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}} 
<math>\mathcal{G}</math>是关于子集包含的[[有向集合]]时（即若<math>\forall G, K \in \mathcal{G}</math>，<math>\exists K \in \mathcal{G}</math>使得<math>G \cup H \subseteq K</math>），则此0处的邻域子基实际上形成了0处的[[邻域系#邻域基|邻域基]]。{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}

下面列出了一些较重要的极拓扑。

:{{em|符号}}：若<math>\Delta(X, Y, b)</math>表示''Y''上的极拓扑，则呗赋予此拓扑的''Y''将记作<math>Y_{\Delta(Y, X, b)},\ Y_{\Delta(Y, X)}</math>或<math>Y_{\Delta}</math>（如对<math>\sigma(Y, X, b)</math>我们有<math>\Delta = \sigma</math>，这样<math>Y_{\sigma(Y, X, b)},\ Y_{\sigma(Y, X)}</math>和<math>Y_{\sigma}</math>都表示赋予了<math>\sigma(X, Y, b)</math>的''Y''）。

{| class="wikitable"
|-
! <math>\mathcal{G} \subseteq \mathcal{P}X</math> <br/>（“…上一致收敛的拓扑”）
! 记作
! 名称（“…的拓扑”）
! 又称
|-
| ''X''的有限子集<br/>（或''X''有限子集的<math>\sigma(X, Y, b)</math>-闭[[绝对凸集|圆盘化壳]]）
| <math>\sigma(X, Y, b)</math><br/><math>s(X, Y, b)</math>
| 逐点/简单收敛
| [[弱拓扑|弱/弱-*拓扑]]
|- 
| <math>\sigma(X, Y, b)</math>-紧[[绝对凸集|圆盘]]
| <math>\tau(X, Y, b)</math>
| 
| [[麦基拓扑]]
|- 
| <math>\sigma(X, Y, b)</math>-紧凸子集
| <math>\gamma(X, Y, b)</math>
| 紧凸收敛
| 
|- 
| <math>\sigma(X, Y, b)</math>-紧子集<br/>（或平衡<math>\sigma(X, Y, b)</math>-紧子集）
| <math>c(X, Y, b)</math>
| 紧收敛
| 
|- 
| <math>\sigma(X, Y, b)</math>-有界子集
| <math>b(X, Y, b)</math><br/><math>\beta(X, Y, b)</math>
| 有界收敛
| 强拓扑<br/>最强的极拓扑
|}

====与极拓扑有关的定义====
'''连续性'''
若<math>F : (X, \tau(X, Y, b)) \to (W, \tau(W, Z, c))</math>连续，则线性映射<math>F : X \to W</math>是（关于<math>(X, Y, b)</math>和<math>(W, Z, c)</math>）'''麦基连续'''的。{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}

若<math>F : (X, \beta(X, Y, b)) \to (W, \beta(W, Z, c))</math>是连续的，则线性映射<math>F : X \to W</math>是（关于<math>(X, Y, b)</math>和<math>(W, Z, c)</math>）强连续的。{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}

===有界子集===
''X''的子集，若在<math>(X, \sigma(X, Y, b))</math>（或<math>(X, \tau(X, Y, b))</math>、<math>(X, \beta(X, Y, b))</math>）中有界，则称''X''是'''弱有界'''（或'''麦基有界'''、'''强有界'''）。

===同配对相容的拓扑===
弱<math>(X, Y, b)</math>是<math>\mathbb{K}</math>上的配对，<math>\mathcal{T}</math>是''X''上的向量拓扑，则<math>\mathcal{T}</math>是配对的拓扑，且若其局部凸、<math>\left(X, \mathcal{T}\right)</math>的连续对偶空间<math> = b(\,\cdot\,, Y)</math>，则称之与配对<math>(X, Y, b)</math>相容或一致。<ref group="note">当然，''Y''上拓扑也有“与配对相容”的类似定义，但本文只讨论''X''上的拓扑。</ref> 
若''X''分离''Y''的点，则''Y''可视作''X''的代数对偶的向量子空间，定义条件变为<math>\left(X, \mathcal{T}\right)^{\prime} = Y.</math>{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}有人（如[Trèves 2006]、[Schaefer 1999]）要求配对的拓扑也要是豪斯多夫的，{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|pp=122–128}}{{sfn|Trèves|2006|pp=368–377}}若''Y''分离''X''的点（这些学者假设），则必须是豪斯多夫的。

弱拓扑<math>\sigma(X, Y, b)</math>同配对<math>(X, Y, b)</math>相容（如弱表示定理所示），事实上是最弱的拓扑。还有一种与这种配对相容的最强拓扑，即[[麦基拓扑]]。
若''N''是非[[自反空间|自反]]的赋范空间，则其连续对偶空间上通常的范拓扑同对偶<math>\left(N^{\prime}, N\right)</math>不相容。{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}

====麦基–阿伦定理====
{{Main|麦基–阿伦定理|麦基拓扑|麦基空间}}
下面是对偶理论中最重要的定理之一。

{{Math theorem|name=[[麦基–阿伦定理]] I{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}|math_statement=
令<math>(X, Y, b)</math>是配对，使''X''分离''Y''的点，并令<math>\mathcal{T}</math>是''X''上的局部凸拓扑（不必豪斯多夫）。
则，当且仅当<math>\mathcal{T}</math>是由某覆盖了''Y''的<ref group=note>集合''S''与其子集的集合<math>\mathcal{S}</math>，若''S''的点都包含于<math>\mathcal{S}</math>中的某集合，称<math>\mathcal{S}</math>'''覆盖'''了''S''。</ref><math>\sigma(Y, X, b)</math>-紧[[绝对凸集|圆盘]]集合<math>\mathcal{G}</math>确定的极拓扑时，称<math>\mathcal{T}</math>与配对<math>(X, Y, b)</math>相容。}}

由此可见，麦基拓扑<math>\tau(X, Y, b)</math>是由''Y''中所有<math>\sigma(X, Y, b)</math>-紧圆盘生成的极拓扑，是''X''上与配对 <math>(X, Y, b)</math>相容的最强局部凸拓扑。
给定拓扑与麦基拓扑相同的局部凸空间称作[[麦基空间]]。
上述麦基-阿伦定理的一下结果也称作麦基-阿伦定理。

{{Math theorem|name=麦基–阿伦定理 II{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}|math_statement=
令<math>(X, Y, b)</math>是配对，使得''X''分离''Y''的点，并且<math>\mathcal{T}</math>是''X''上的局部凸拓扑。则，当且仅当<math>\sigma(X, Y, b) \subseteq \mathcal{T} \subseteq \tau(X, Y, b)</math>，<math>\mathcal{T}</math>与配对相容。}}

===麦基定理、桶与闭凸集===
若''X''是（<math>\Reals</math>或<math>\Complex</math>上的）拓扑向量空间，则'''半空间'''（half-space）是形式为<math>\{ x \in X : f(x) \leq r \}</math>的集合。（''r''是实数，''f''是''X''上的连续实值线性泛函）

{{Math theorem|math_statement=
若''X''是（<math>\Reals</math>或<math>\Complex</math>上的）局部凸空间、''C''是''X''的非空闭凸子集，则<math>C</math>等于包含它的所有闭半空间的交。{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|p=200}}}}

上述定理说明，局部凸空间的闭子集和凸子集完全取决于连续对偶空间。于是，在任何与配对相容的拓扑中，闭子集和凸子集都相同；即，若<math>\mathcal{T}</math>、<math>\mathcal{L}</math>是''X''上的任意局部凸拓扑，且有同样的连续对偶空间，则当且仅当''X''的凸子集在<math>\mathcal{L}</math>拓扑中封闭，，此子集也在<math>\mathcal{T}</math>拓扑中封闭。
这说明，''X''任意凸子集的<math>\mathcal{T}</math>-闭等同于其<math>\mathcal{L}</math>-闭，对''X''中任意<math>\mathcal{T}</math>-闭圆盘''A''，<math>A = A^{\circ\circ}</math>。{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}} 
特别地，若''B''是''X''的一个子集，则当且仅当''B''是<math>(X, \mathcal{L})</math>中的桶时，''B''也是<math>(X, \mathcal{L})</math>中的[[桶 (数学)|桶]]。{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}

下面的定理说明，[[桶 (数学)|桶]]（即闭[[吸收集|吸收]]圆盘）恰是弱有界子集的极。

{{Math theorem|name=定理{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}|math_statement=
令<math>(X, Y, b)</math>是配对，使得''X''分离''Y''的点，并令<math>\mathcal{T}</math>为配对的某拓扑。
则当且仅当''X''的子集等于''Y''的某<math>\sigma(Y, X, b)</math>-有界子集的极时，此子集是''X''中的桶。}}

若''X''是拓扑向量空间，则{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}{{sfn|Trèves|2006|pp=371–372}} 
# ''X''的闭[[吸收集|吸收]][[平衡集|平衡]]子集''B''吸收''X''的所有凸紧子集（即存在正实数''r''使得<math>r B</math>包含此集）。
# 若''X''是豪斯多夫局部凸的，则''X''中每个桶都吸收''X''的每个凸有界完备子集。

所有这些都引出了麦基定理，这是对偶系统理论的核心定理之一。简言之，定理支出，对符合相同对偶性的两豪斯多夫局部凸拓扑，有界子集是相同的。

{{Math theorem|name=麦基定理{{sfn|Trèves|2006|pp=371–372}}{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}|math_statement=
设<math>(X, \mathcal{L})</math>是豪斯多夫局部凸空间，有连续对偶空间<math>X^{\prime}</math>，并考虑规范对偶<math>\left\langle X, X^{\prime} \right\rangle</math>。
若<math>\mathcal{L}</math>是''X''上任意与对偶<math>\left\langle X, X^{\prime} \right\rangle</math>相容的拓扑，则<math>(X, \mathcal{L})</math>的有界子集与<math>(X, \mathcal{L})</math>的有界子集相同。}}

===有限序列空间===
令''X''表示标量<math>r_{\bull} = \left(r_i\right)_{i=1}^{\infty}</math>的所有序列的空间，且对所有足够大的''i''都有<math>r_i = 0</math>。
令<math>Y = X</math>，定义双线性映射<math>b : X \times X \to \mathbb{K}</math>为
<math display="block">b\left(r_{\bull}, s_{\bull}\right) := \sum_{i=1}^{\infty} r_i s_i.</math> 
则<math>\sigma(X, X, b) = \tau(X, X, b)</math>。{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}} 
此外，当且仅当存在正实数序列<math>m_{\bull} = \left(m_i\right)_{i=1}^{\infty}</math>，使得<math>\left|t_i\right| \leq m_i,\ \forall t_{\bull} = \left(t_i\right)_{i=1}^{\infty} \in T</math>、及所有指标''i''（或还有<math>m_{\bull} \in X</math>）时，子集<math>T \subseteq X</math>是<math>\sigma(X, X, b)</math>-有界（或<math>\beta(X, X, b)</math>-有界）的。{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}} 

由此可见，''X''的子集中有弱有界（即<math>\sigma(X, X, b)</math>-有界）的，但没有强有界（即无<math>\beta(X, X, b)</math>-有界）的。

==另见==
* [[Beta对偶空间]]
* [[双正交系统]]
* [[对偶空间]]
* [[对偶拓扑]]
* [[对偶 (数学)]]
* [[内积]]
* [[L半内积]]
* [[配对 (数学)]]
* [[极集]]
* [[极拓扑]]
* [[约化对偶对]]
* [[强对偶空间]]
* [[线性映射空间泛函]]
* [[弱拓扑]]

==注释==
{{reflist|group=note}}

==参考文献==
{{reflist}}

==书目==
* {{cite book
    | last=Narici
    | first=Lawrence
    | last2=Beckenstein
    | first2=Edward
    | title=Topological Vector Spaces
    | edition=Second
    | publisher=CRC Press
    | location=Boca Raton, FL
    | year=2011
    | series=Pure and applied mathematics
    | isbn=978-1584888666
    | oclc=144216834
    }} <!-- {{sfn|Narici|Beckenstein|2011|p=}} -->
* Michael Reed and Barry Simon, ''Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1, Functional Analysis,'' Section III.3. Academic Press, San Diego, 1980. {{ISBN|0-12-585050-6}}.
*  {{cite book
       | last=Rudin
       | first=Walter
       | author-link=Walter Rudin
       | title=Functional Analysis
       | edition=Second
       | publisher=[[McGraw-Hill Science/Engineering/Math]]
       | location=New York, NY
       | series=International Series in Pure and Applied Mathematics
       | isbn=978-0-07-054236-5
       | oclc=21163277
       | url=https://archive.org/details/functionalanalys00rudi
       }}<!-- {{sfn|Rudin|1991|p=}} -->
* {{cite book
       | last=Schaefer 
       | first=Helmut H.
       | author-link=Helmut H. Schaefer
       | last2=Wolff 
       | first2=Manfred P.
       | title=Topological Vector Spaces
       | edition=Second
       | publisher=Springer New York Imprint Springer
       | location=New York, NY
       | year=1999
       | series=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]]
       | isbn=978-1-4612-7155-0
       | oclc=840278135
       }}<!-- {{sfn|Schaefer|Wolff|1999|p=}} -->
* {{cite journal|last1 = Schmitt|first1 = Lothar M|year = 1992|title = An Equivariant Version of the Hahn–Banach Theorem|url = http://www.math.uh.edu/~hjm/vol18-3.html|journal = Houston J. Of Math.|volume = 18|pages = 429–447|access-date = 2024-04-03|archive-date = 2022-01-24|archive-url = https://web.archive.org/web/20220124223241/https://www.math.uh.edu/~hjm/vol18-3.html|dead-url = no}}
* {{cite book
       | last=Trèves
       | first=François
       | author-link=François Trèves
       | title=Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels
       | publisher=Dover Publications
       | location=Mineola, N.Y.
       | orig-year=1967
       | isbn=978-0-486-45352-1
       | oclc=853623322
       }}<!-- {{sfn|Trèves|2006|p=}} -->

==外部链接==
* [https://www.math.ksu.edu/~nagy/func-an-2007-2008/dt-1.pdf Duality Theory]

{{泛函分析}}
{{凸分析与变分分析}}

[[Category:泛函分析]]
[[Category:对偶理论]]
[[Category:拓扑向量空间]]