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[[Image:Fourier Series.svg|thumb|200px|[[方波]]的[[傅立葉級數]]的前四項。傅立葉級數是實分析的一項重要工具]]

'''實分析'''，也称为'''實數分析'''、'''实变函数论'''（{{lang-en|Real analysis}}、{{lang-en|Theory of functions of a real variable}}），是處理[[實數]]及[[实函数]]的[[數學分析]]。專門研究實數[[函數]]及[[數列]]的解析特性，包括實數數列的[[極限 (數列)|極限]]，實函數的[[微分]]及[[積分]]、[[連續性]]、[[光滑函数|光滑性]]以及其他相關性質。

實分析常以基礎[[集合論]]，函數概念定義等等開始。

==內容==
===實數的構造===
{{Main article|實數的構造}}
有許多種將[[實數]]定義為[[有序域]]的方式。合成的作法會提供許多實數的[[公理]]，將實數變成完備有序[[域 (數學)|域]]。在一般[[集合论]]的公理下，可以證明這些公理都是[[范畴论|明確的]]，也就是說有一個公理的[[模型论|模型]]，任兩個模型都是[[同构]]的。這些模型中需要有一個有明確的定義，而大部份的模型都可以用實數為有序域時的基本性質來得到。

===實數的有序性===
實數有許多重要的特性是和數學中[[格_(数学)|格]]的定義有關，這些性質也是複數所沒有的。其中最重要的是，實數形成[[有序域]]<!--，其中加法及乘法會維持positivity-->，實數的有序滿足反對稱性、傳遞性及完全性，屬於[[全序关系]]，而且實數有[[最小上界性]]。實數中的[[偏序关系]]帶來了實變分析中許多重要的定理，例如[[单调收敛定理]]、[[介值定理]]及[[中值定理]]。

在實變分析中這些定理只針對實數，不過許多的結果可以應用在其他的[[数学对象]]。特別是許多[[泛函分析]]及[[算子理論]]中的概念是來自實數中概念的擴展，這類的擴展包括{{le|里斯空間|Riesz space}}及{{le|正算子|positive operator}}的理論。也有數學家考慮複數數列的實部及虛部，例如[[算子]]數列的{{le|強算子拓撲|strong operator topology|逐點評估}}。

===序列===
{{Main article|序列|数列}}
序列是一個[[定義域]]為[[可數]][[全序关系|全序]]集合的[[函数]]，多半會讓定義域是[[自然數]]或是所有整數<ref name="Gaughan">{{cite book|title=Introduction to Analysis |last=Gaughan |first=Edward |publisher=AMS (2009)|ISBN=0-8218-4787-2|chapter=1.1 Sequences and Convergence}}</ref>。例如，一個實數的序列為以下定義的映射<math>a:\mathbb{N}\to\mathbb{R},\ n\mapsto a_n</math>，常會表示為<math>(a_n)=(a_n)_{n\in\mathbb{N}}=(a_1, a_2, a_3, \cdots)</math>。若一序列會慢慢的接近一個[[极限 (数学)|极限]]（也就是存在<math display="inline">\lim_{n\to\infty}a_n</math> ），稱此序列為'''收斂'''，否則則稱此序列為'''發散'''。

===極限===
{{Main article|极限 (数学)}}
極限是指[[函数]]或[[序列]]在其輸入接近一定值時，其輸出數值所接近的特定定值<ref>{{cite book|last=Stewart|first=James|title=Calculus: Early Transcendentals|publisher=Brooks/Cole|edition=6th|year=2008|isbn =0-495-01166-5}}</ref>。極限是[[微积分学]]及廣義[[数学分析]]的基礎，[[連續函數 (拓撲學)|連續函數]]、[[导数]]及[[积分]]也是利用極限來定義。

===連續函數===
{{Main article|連續函數 (拓撲學)}}
若[[函数]]的輸入及輸出值都是[[实数]]，可以表示成[[笛卡儿坐标系]]上的[[函数图形|图形]]。粗略來說，若函数图形是一條連續未分割的[[曲线]]，其中沒有「洞」或是「斷點」，函數即為連續函數。

針對上述粗略的定義，在數學上有許多嚴謹的定義。這些定義彼此是[[等价关系|等价]]的，因此會用最簡單而方便的定義來確認一個函數是否是連續，在以下的定義中
:<math>f\colon I \rightarrow \mathbf R.</math>
是一個定義在實數<math>\boldsymbol{R}</math>以內[[子集]]的函數，子集<math>I</math>稱為函數<math>f</math>的定義域。子集<math>I</math>的一些可能選擇包括<math>I=\boldsymbol{R}</math>（所有實數）、以下的[[開區間]]
:<math>I = (a, b) = \{x \in \mathbf R \,|\, a < x < b \}, </math>
或[[閉區間]]
:<math>I = [a, b] = \{x \in \mathbf R \,|\, a \leq x \leq b \}. </math>
因此<math>a</math>及<math>b</math>是實數。

一致连续是連續函數中，比連續函數更強的性質。若''X''和''Y''是[[實數]]子集，函數<math>f:X\rightarrow Y</math>為[[一致连续]]的條件是針對所有大於0的實數<math>\varepsilon</math>，存在一實數<math>\delta >0</math>，使得針對所有的<math>x,y\in X,\left \vert x-y \right \vert <\delta</math>即表示<math>\implies \left \vert f(x)-f(y) \right \vert <\varepsilon</math>。

一致连续和每一點連续的差異在一致连续時，<math>\delta</math>值只和<math>\varepsilon</math>值有關，和該值在定義域中的位置無關。一般情況下，連續不意味著均勻連續。

===級數===
{{Main article|級數}}
給定一無窮[[序列]] <math>(a_n)</math>，即可定義相關的級數為<math display="inline">a_1+a_2+a_3+\cdots=\sum_{n\in\mathbb{N}}a_n</math>，有時會簡稱為<math display="inline">\sum a_n</math>。級數的部份和<math display="inline">\sum a_n</math>為<math display="inline">s_n=\sum_{j=1}^n a_j</math>。級數<math display="inline">\sum a_n</math>收斂的條件是部份和的數列<math>(s_n)</math>收斂，否則級數即稱為發散。收斂級數的和<math display="inline">s=\sum_{n=1}^\infty a_n</math>定義為<math display="inline">s=\lim_{n\to\infty}s_n</math>.  

[[等比数列]]的和就是一個收斂級數，也是[[芝诺悖论]]的基礎：

:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} = \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+\cdots=1</math>. 

以下的[[調和級數]]即為發散級數：

:<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots=\infty</math>.

（此處“<math>=\infty</math>”不是嚴謹的表示方式，只是表示部份和會無限制地増長）

===微分===
{{Main article|微分}}
函數<math>f</math>在<math>a</math>位置的[[導數]]為以下的[[函數極限]]

:<math>f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}</math>

若導數在所有位置都存在，稱函數為可微分，可以再繼續計算函數的高階導數。

也可以將函數依其微分分類來區分。分類<math>C^0</math>包括所有連續函數，分類<math>C^1</math>包括所有導數連續的[[可微函数]]，這類函數稱為「連續可微」。分類<math>C^1</math>是指其導數在分類<math>C^1</math>中的函數。一般來說，分類<math>C^k</math>可以用[[递归]]方式定義，定義方式是宣告分類<math>C^0</math>是所有的連續函數，而分類''<math>C^k</math>''（<math>k</math>為正整數）是所有可微，而且其導數為<math>C^{k-1}</math>的函數。而分類''<math>C^k</math>''包括在分類<math>C^{k-1}</math>中，對所有的正整數''<math>k</math>''都成立<!--and there are examples to show that this containment is strict.-->。分類<math>C^\infty</math>是所有''<math>C^k</math>''的交集，其中''<math>k</math>''為所有的非負整數。<math>C^\omega</math>包括所有的[[解析函数]]，是分類<math>C^\infty</math>的嚴格子集。

===積分===
====黎曼積分====
{{Main article|黎曼積分}}
黎曼積分定義函數的[[黎曼和]]，對應為一個區間內的標記分區（tagged partitions）。令<math>[a,b]</math>為實數下的封閉[[區間]]，則在區間<math>[a,b]</math>內的標記分區為有限數列

:<math> a = x_0 \le t_1 \le x_1 \le t_2 \le x_2 \le \cdots \le x_{n-1} \le t_n \le x_n = b . \,\!</math>

將區間<math>[a,b]</math>分隔為<math>n</math>個下標為<math>i</math>子區間<math>[x_{i-1},x_i]</math>，每一個用不同的點<math>t_i\in [x_{i-1},x_i]</math>來標記。函數f對應標記分區的黎曼和定義為

:<math>\sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta_i ; </math>

則和的每一項都是長方形的面積，其高為函數在給定子區間內，標示點的數值，寬和子區間的寬相等。令<math>\Delta_i=x_i-x_{i-1}</math>為子區間''<math>i</math>''的寬，則標記分區的網格為長子區間中最寬區間的寬度<math>\mathrm{max}_{i=1\ldots n}\Delta_i</math>。函數<math>f</math>在區間<math>[a,b]</math>內的黎曼積分等於<math>S</math>若：

:對所有<math>\varepsilon >0</math>，存在<math>\delta>0</math>使得，對於任何有標示，且網格小於<math>\delta</math>的區間<math>[a,b]</math>，以下的式子成立
::<math>\left| S - \sum_{i=1}^{n} f(t_i)\Delta_i \right| < \varepsilon.</math>
若選定的標示都是每個區間內函數的最大值（或最小值），黎曼積分就會成為上（或下）[[达布积分|达布和]]，因此黎曼積分和[[达布积分]]有緊密的關係。
====勒貝格積分====
{{Main article|勒貝格積分}}
勒貝格積分是一種積分概念，可以將積分延伸到更大範圍的函數，同時也拓展函數的[[定义域]]。
===分布===
{{Main article|分布 (数学分析)}}
分布或是[[广义函数]]是一種將[[函数]]擴展後產生的概念。透過分布可以針對一些在傳統定義下其導數不存在的函數進行[[微分]]（例如[[单位阶跃函数]]）。而任何[[局部可积函数]]都一定會有广义函数下的導數。

===和複變分析的關係===
实变函数论是[[数学分析]]的一部份，探討像數列及其極限、連續性、函數的[[导数]]及[[积分]]。實變分析專注在[[实数]]，多半會包括正負[[無窮大]]以形成[[擴展實軸]]。實變分析和研究[[复数 (数学)|复数]]對應性質的[[複分析]]緊密相關。在複分析中，很自然的會對[[全純函數]]定義[[导数]]，全純函數有許多有用的性質，包括多次可微、可以用[[幂级数]]表示，而且滿足[[柯西積分公式]]。

實變分析中也很自然的去考慮[[可微]]、[[光滑函數]]或[[调和函数]]，這些也常常用到，不過仍少了一些複變中全純函數中有力的性質。而且[[代数基本定理]]若以複數表示時會比較簡單。

複變中[[解析函数]]理論的技巧也可以用在實變分析，例如應用[[留数定理]]來計算實變函數的[[定積分]]。

==重要結果==
實分析的重要結果包括[[波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理]]、[[海涅－博雷尔定理]]、[[介值定理]]、[[中值定理]]、[[微积分基本定理]]及[[单调收敛定理]]。

實分析的許多概念可以擴展到廣義的[[度量空间]]，包括[[巴拿赫空间]]及[[希尔伯特空间]]。

==相關條目==
*{{le|實分析主題列表|List of real analysis topics}}
*[[时标微积分]]
*{{le|多實變數函數|Function of several real variables}}
*{{le|實坐標空間|Real coordinate space}}
*[[複分析]]

==参考资料==
{{Reflist}}
{{数学领域}}
[[Category:实分析| ]]