查看“︁实函数”︁的源代码

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{{NoteTA
|G1 = Math
}}
'''实函数'''（Real function），指[[定义域]]和[[值域]]均为[[实数|实数集]]的[[子集]]的[[函数]]。實函數的特性之一是可以在[[坐標系|坐標平面]]上畫出圖形。

== 定義 ==
一個實函數 ''{{Math|f}}'' 是一個把實數（一般以 ''{{Math|x}}'' 表示）映射到另一實數（函數的值，一般以 {{Math|''f''(''x'')}} 表示）的函數。換句話說，實函數是一個函數 <math>f:X \to \R</math>，當中 <math>X</math> 是 <math>\R</math> 一個包含至少一個[[开集|開集]]的子集（可以等於 <math>\R</math>）。

定義於所有[[非负数|非負實數]]的[[平方根]]函數便是一個例子：<math>f:X\to\R</math>，當中 <math>X=\{x\in\R:x\ge0\}
</math> 是所有非負實數的集合及對所有 <math>x\in X</math>，<math>f(x)=\sqrt x</math>。

=== 定義域 ===
一個實函數的定義域未必總是明確寫出。對任一定義域為 ''{{Math|X}}'' 的實函數 ''{{Math|f}}'' 和任一 ''{{Math|X}}'' 的子集 ''{{Math|Y}}''，可定義 {{Math|''f''}} 對 {{Math|''Y''}} 的限制函數 {{Math|''f''{{!}}<sub>''Y''</sub>}}。其定義域為 {{Math|''Y''}} 而對所有 {{Math|''Y''}} 的[[元素 (數學)|元素]]，函數的取值維持不變。若 {{Math|''Y''}} 是 ''{{Math|X}}'' 的真子集，這兩個函數理論上並不相同，但往往可將兩者視為等同。

相反，有時函數的定義域可透過[[解析延拓]]或利用函數的連續性擴大。由此可見，明確指出實函數的未必有明顯價值。

=== 像與值域 ===
函數 ''{{Math|f}}'' 的值域是指當 ''{{Math|x}}'' 可取定義域內任何值時，{{Math|''f''(''x'')}} 所有可能取值的集合。若 ''{{Math|f}}'' 是[[连续函数|連續]]實函數而其定義域是一個[[區間]]，那麼它的值域也會是一個區間（除非 ''{{Math|f}}'' 是[[常數函數]]，此時其值域將是一點）。

對任何實數 {{Math|''y''}}，方程式 {{Math|''y''{{=}}''f''(''x'')}} 所有實數解的集合稱為 {{Math|''y''}} 的[[原像]]。

=== 代數結構 ===
實函數之間的運算可如下定義：
* 對任意實數 {{Math|''r''}} 及實函數 {{Math|''f''}}，可定義兩者的積 <math>rf:x\mapsto rf(x)</math>。若 {{Math|''r''}} 不等於 0，則此函數的定義域與 {{Math|''f''}} 相同。
* 對任何兩個實函數 {{Math|''f''}} 和 {{Math|''g''}}，可定義兩者的和 <math>f+g:x\mapsto f(x)+g(x)</math> 及積 <math>fg:x\mapsto f(x)g(x)</math>。兩者的定義域均為 {{Math|''f''}} 和 {{Math|''g''}} 的定義域的[[交集]]。
由此，所有定義於全部實數和所有定義於某一特定區間的實函數分別組成 <math>\R</math> 上的[[結合代數]]（也因此組成一個[[向量空间|向量空間]]），其中加法和乘法單位元分別為常數函數 <math>0_f:x\mapsto0</math> 及 <math>1_f:x\mapsto1</math>。

雖然對任意實函數 {{Math|''f''}} 可定義 <math>1/f:x\mapsto1/f(x)</math>，但由於此函數的定義域不包含所有使得 {{Math|1=''f''(''x'')=0}} 的 ''{{Math|x}}'' 值，它不一定等於 {{Math|''f''}} 的定義域，所以上述[[代数结构|代數結構]]不構成一個[[域 (數學)|體]]。

== 參見 ==
* [[實分析]]
[[category:函数|S]]