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{{noteTA
|G1=物理學
}}{{量子力学}}
[[File:QuantumHarmonicOscillatorAnimation.gif|250px|thumb|right|設想經典力學裏的[[諧振子 ]]系統（A-B），一條[[彈簧]]的一端固定不動，另一端有一個帶質量圓球；在[[量子力學]]裏， （C-H）展示出同樣系統的[[薛丁格方程式]]的六個波函數解。橫軸坐標表示位置，豎軸坐標表示[[機率幅]]的實部（藍色）或虛部（紅色）。（C-F）是定態，（G、H）不是定態。定態的能量為[[駐波]]振動頻率與約化普朗克常數的乘積。]]
[[File:StationaryStatesAnimation.gif|250px|thumb|right|描述諧振子的含時薛丁格方程式的三個波函數解。左邊：波函數[[機率幅]]的實部（藍色）或虛部（紅色）。右邊：找到粒子在某位置的機率，這說明了為甚麼機率與時間無關的量子態被稱為「定態」。上面兩個橫排是定態，最下面橫排是疊加態 <math>\psi_N =(\psi_0+\psi_1)/\sqrt{2}</math> 。]]
在[[量子力學]]裏，'''定態'''（stationary state）是一種[[量子態]]，定態的[[機率密度]]與時間無關。以方程式表式，定態的機率密度對於時間的導數為
:<math>\frac{d}{dt}|\Psi(x,\,t)|^2=0</math> ；

其中，<math>\Psi(x,\,t)</math> 是定態的[[波函數]]，<math>x</math> 是位置，<math>t</math> 是時間 。

設定一個量子系統的[[含時薛丁格方程式]]為
:<math> - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi+V\Psi=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi</math> ；

其中，<math>\hbar</math> 是[[約化普朗克常數]]，<math>m</math> 是質量，<math>V(x)</math> 是[[位勢]]。

這個方程式有一個定態的波函數解：
:<math>\Psi(x,\,t)=\psi(x)e^{ - iEt/\hbar}</math> ；

其中，<math>\psi(x)</math> 是 <math>\Psi(x,\,t)</math> 的不含時間部分，<math>E</math> 是能量。

將這定態波函數代入含時薛丁格方程式，則可除去時間關係：
:<math> - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi+V\psi=E\psi</math> 。

這是一個[[不含時薛丁格方程式]]，可以用來求得[[本徵值|本徵能量]] <math>E</math> 與伴隨的[[本徵函數]] <math>\psi_E(x)</math> 。定態的能量都是明確的，是定態薛丁格方程式的本徵能量 <math>E</math> ，波函數 <math>\psi(x)</math> 是定態薛丁格方程式的本徵函數 <math>\psi_E(x)</math> 。

==機率密度與時間無關==
雖然定態 <math>\Psi(x,\,t)</math> 很明顯的含時間。含時間部分是個[[相位因子]]。定態的機率密度不含有相位因子這項目：
:<math>|\Psi(x,\,t)|^2=|\psi(x)|^2</math> 。

所以，定態的機率密度與時間無關。一個直接的後果就是[[期望值 (量子力学)|期望值]]也都與時間無關。例如，位置的期望值 <math>\langle x\rangle</math> 是
:<math>\begin{align}\langle x\rangle & =\int_{ - \infty}^{\infty}\Psi^*(x,\,t)x\Psi(x,\,t)\,dx \\
 & =\int_{ - \infty}^{\infty}\,x|\Psi(x,\,t)|^2\,dx \\
 & =\int_{ - \infty}^{\infty}\,x|\psi(x)|^2\,dx \\
\end{align}</math> <span style="vertical-align:bottom">。</span>

再舉一例，動量的期望值 <math>\langle p\rangle</math> 是
:<math>\begin{align}\langle p\rangle
 & =\int_{ - \infty}^{\infty}\Psi^*(x,\,t)\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\Psi(x,\,t)\,dx \\
 & =\frac{\hbar}{i} \int_{ - \infty}^{\infty}\psi(x)e^{iEt/\hbar} \frac{\partial}{\partial x}(\psi(x)e^{ - iEt/\hbar})\,dx \\
 & =\frac{\hbar}{i}\int_{ - \infty}^{\infty}\,\psi^*(x)\frac{\partial}{\partial x}\psi(x)\,dx \\
\end{align}</math> <span style="vertical-align:bottom">。</span>

所以，<math>\langle x\rangle</math> 和 <math>\langle p\rangle</math> 都與時間無關。一般而言，給予任意一個位置與動量的函數 <math>f(x,\,p)</math> ，期望值 <math>\langle f(x,\,p)\rangle</math> 必然與時間無關。

==參閱==
*[[純態]]
*[[純態|混合態]]
*[[基態]]
*[[激發態]]
*[[束縛態]]
*[[真空態]]
*[[相干態]]
*[[簡併態]]

==參考文獻==
*{{cite book | author=Griffiths, David J.|title=Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) | publisher=Prentice Hall |year=2004 |isbn= 0-13-111892-7}}

[[Category:量子力學|D]]

[[de:Grundzustand]]
[[fr:État fondamental]]
[[pt:Estado fundamental]]
[[sv:Grundtillstånd]]