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{{Not|完整}}

[[微分几何]]中，一個[[微分流形]]上的[[联络]]的'''完整'''<ref>{{樂詞網|term = holonomy}}</ref>（{{lang-en|holonomy}}，又譯'''和樂'''），描述向量繞閉圈[[平行移动]]一週回到起點後，與原先相異的現象。平聯絡的和樂是一種[[單值性]]現象，其於全域有定義。曲聯絡的和樂則有非平凡的局域和全域特點。

流形上任意一種聯絡，都可由其平行移動映射給出相應的和樂。常見的和樂由具有特定[[對稱]]的聯絡給出，例如[[黎曼几何]]中[[列维-奇维塔联络]]的和樂（稱為'''黎曼和樂'''）。[[向量丛]][[联络 (向量丛)|聯絡]]的和樂、[[嘉当联络]]的和樂，以及[[主丛]][[联络 (主丛)|聯絡]]的和樂。在該些例子中，聯絡的和樂可用一個[[李群]]描述，稱為'''和樂群'''。聯絡的和樂與其曲率密切相關，見[[#安布羅斯－辛格定理|安布羅斯-辛格定理]]。

對黎曼和樂的研究導致了若干重要的發現。其最早由{{harvs|txt|last=Cartan|first=Élie|authorlink = 埃利·嘉当|year=1926}}引入，以用於{{link-en|對稱空間|symmetric space}}的分類上。然而，很久以後，和樂群才用於更一般的黎曼幾何上。1952年， [[乔治·德拉姆]]證明了[[德拉姆分解定理]]：若黎曼流形的[[切丛]]可分解成局域和樂群作用下不變的子空間，則該流形分解為黎曼流形的[[笛卡儿积]]。稍後，於1953年，{{link-en|馬塞爾·伯格|Marcel Berger}} <!--按[[约翰·伯格]]暫譯-->給出所有不可約和樂的分類<ref>{{cite web |author1=Wu, Hongxi |title=On the de Rham decomposition theorem |url=https://dspace.mit.edu/handle/1721.1/11601 |website=DSpace@MIT |accessdate=2020-02-18 |archive-date=2020-02-18 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200218002020/https://dspace.mit.edu/handle/1721.1/11601 |dead-url=no }}</ref>。黎曼和樂的分解和分類適用於物理和[[弦論]]。
== 定义 ==
=== 向量叢聯絡的和樂 ===
設 ''M'' 為[[微分流形|光滑流形]]，''E'' 為其上的 ''k'' 維[[向量丛]]，∇ 為 ''E'' 上的[[联络 (向量丛) |聯絡]]。給定 ''M'' 上一點 ''x'' 和以 ''x'' 為基點的[[分段]]光滑[[環圈]] ''γ'' : [0,1] → ''M'', 該聯絡定義了一個[[平行移动]]映射 ''P''<sub>''γ''</sub> : ''E<sub>x</sub>'' → ''E<sub>x</sub>''. 該映射是可逆線性映射，因此是[[一般线性群]] GL(''E<sub>x</sub>'') 的元素。∇ 以 ''x'' 為基點的'''和樂群'''定義為

:<math>\operatorname{Hol}_x(\nabla) = \{P_\gamma \in \mathrm{GL}(E_x) \mid \gamma \text{ 为 以} \ \ x\text{ 为 基 点 的 环 圈 }\}.</math>

以 ''x'' 為基點的'''限制和樂群'''是由{{link-en|可縮|contractible}}環圈 ''γ'' 給出的子群<math>\operatorname{Hol}^0_x(\nabla)</math>.

若 ''M'' [[连通空间|連通]]，則不同基點 ''x'' 的和樂群 [[Up to|僅相差]] GL(''k'', '''R''') 的[[共轭类|共軛作用]]。更具體說，若 ''γ'' 為 ''M'' 中由 ''x'' 到 ''y'' 的路徑，則

:<math>\operatorname{Hol}_y(\nabla) = P_\gamma \operatorname{Hol}_x(\nabla) P_\gamma^{-1}.</math>

選取 ''E<sub>x</sub>'' 的另一組基（即以另一種方式將 ''E<sub>x</sub>'' 視為與 '''R'''<sup>''k''</sup> 等同）同樣會使和樂群變成 GL(''k'', '''R''') 中另一個共軛子群。非完全嚴格的討論中（下同），可將基點略去，但倘如此行，則和樂群僅在共軛意義下有良好定義。

和樂群的重要性質包括：
* <math>\operatorname{Hol}^0(\nabla)</math> 是 GL(''k'', '''R''') 的連通[[李群|李子群]]。
* <math>\operatorname{Hol}^0(\nabla)</math> 是 <math>\operatorname{Hol}(\nabla)</math> 的{{link-en|單位連通支|identity component}}。 
* 存在自然的[[满射|滿]][[群同態]] <math>\pi_1(M) \to \operatorname{Hol}(\nabla)/ \operatorname{Hol}^0(\nabla),</math> 其中 <math>\pi_1(M)</math> 是 ''M'' 的基本群。該同態將同倫類 <math>[\gamma]</math> 映到[[陪集]] <math>P_{\gamma}\cdot\operatorname{Hol}^0(\nabla).</math>
* 若 ''M'' [[單連通]]，則 <math>\operatorname{Hol}(\nabla) = \operatorname{Hol}^0(\nabla).</math>
* ∇ 為平（即曲率恆零）[[当且仅当]] <math>\operatorname{Hol}^0(\nabla)</math> 為平凡群。

在物理学中，[[威爾森迴圈]]是 tr(''P'')（[[特徵標理論]]的[[跡]]）。

===主叢聯絡的和樂===
主叢聯絡的和樂與向量叢相倣。設 ''G'' 為[[李群]]，''P'' 為[[仿緊空間|仿緊]][[微分流形|光滑流形]] ''M'' 上的[[主丛|主 ''G'' 叢]]。設 ''ω'' 為 ''P'' 上的[[联络形式|聯絡]]。給定 ''M'' 中一點 ''x'', 以 ''x'' 為基點的分段光滑[[環圈]] ''γ'' : [0,1] → ''M'',  以及 ''x'' 纖維上一點 ''p'', 該聯絡定義了唯一的''水平提升'' <math>\tilde\gamma : [0,1] \to P</math> 使得 <math>\tilde\gamma(0) = p.</math> 水平提升的終點 <math>\tilde\gamma(1)</math> 未必是 ''p'', 因為其可為 ''x'' 纖維上的另一點 ''p''·''g''. 若兩點 ''p'' 和 ''q'' 之間有分段光滑的水平提升路徑連接，則稱 ''p'' ~ ''q''. 如此，~ 是 ''P'' 上的[[等價關係]]。

''ω'' 以 ''p'' 為基點的'''和樂群'''定義為

:<math>\operatorname{Hol}_p(\omega) = \{ g \in G \mid p \sim p\cdot g\}.</math>

若在定義中僅允許{{link-en|可縮|contractible}}環圈 ''γ'' 的水平提升，則得到以 ''p'' 為基點的'''受限和樂群''' <math>\operatorname{Hol}^0_p(\omega)</math>. 其為和樂群<math>\operatorname{Hol}_p(\omega)</math> 的子群。

若 ''M'' 和 ''P'' 皆[[连通空间|連通]]，則不同基點 ''p'' 的和樂群僅在 ''G'' 互為共軛。更具體說，若 ''q'' 是另一個基點，則有唯一的 ''g'' ∈ ''G'' 使得 ''q'' ~ ''p''·''g''. 於是，

:<math>\operatorname{Hol}_q(\omega) = g^{-1} \operatorname{Hol}_p(\omega) g.</math>

特別地，

:<math>\operatorname{Hol}_{p\cdot g}(\omega) = g^{-1} \operatorname{Hol}_p(\omega) g,</math>

再者，若 ''p'' ~ ''q'', 則 <math>\operatorname{Hol}_p(\omega) = \operatorname{Hol}_q(\omega).</math> 因此，有時可省略基點不寫，但須留意這會使得和樂群僅在共軛意義下有良好定義。

和樂群的若干性質包括：

*<math>\operatorname{Hol}^0_p(\omega)</math> 是 ''G'' 的連通[[李群|李子群]]。
*<math>\operatorname{Hol}^0_p(\omega)</math> 是 <math>\operatorname{Hol}_p(\omega)</math> 的{{link-en|單位連通支|identity component}}。
*存在自然的[[满射|滿]][[群同態]]<math>\pi_1 (M) \to \operatorname{Hol}_p(\omega)/\operatorname{Hol}^0_p(\omega).</math>
* 若 ''M'' [[單連通]]，則 <math>\operatorname{Hol}_p(\omega) = \operatorname{Hol}^0_p(\omega).</math>
*ω 為平（即曲率恆零）[[当且仅当]] <math>\operatorname{Hol}^0_p(\omega)</math> 為平凡群。

===和樂叢===
同上，設 ''M'' 為連通仿緊流形，''P'' 為其上的主 ''G'' 叢，''ω'' 為 ''P'' 上的聯絡。設 ''p'' ∈ ''P'' 為主叢上的任意一點。以 ''H'' (''p'') 表示 ''P'' 中可與 ''p'' 用水平曲線相連的點的集合。則可證明 ''H'' (''p'') 連同其到 ''M'' 的投影也構成 ''M'' 上的主叢，且具有結構群 <math>\operatorname{Hol}_p(\omega) </math>（即 ''H'' (''p'') 是主 <math>\operatorname{Hol}_p(\omega) </math> 叢）。 此主叢稱為該聯絡 ''ω'' 經過 ''p'' 的'''和樂叢'''。''ω'' 限制到 ''H'' (''p'') 上也是一個聯絡，因為其平行移動映射保持 ''H'' (''p'') 不變。故 ''H'' (''p'') 是該聯絡的[[結構群的約化|約化主叢]]。此外，''H'' (''p'') 任何真子叢都不被平行移動保持，所以其在該類約化主叢之中為最小。<ref>{{harvnb|Kobayashi|Nomizu|1963|loc=§II.7}}</ref>

與和樂群類似，和樂叢在環繞它的主叢 ''P'' 中[[等變映射|等變]]。具體說，若 ''q'' ∈ ''P'' 是另一個基點，則有 ''g'' ∈ ''G'' 使得 ''q'' ~ ''p'' ''g''（按假設，''M'' 是路連通的）。故 ''H'' (''q'') = ''H'' (''p'') ''g''. 於是，兩者在和樂叢上導出的聯絡是相容的，即：兩個聯絡的平行移動映射恰好相差了群元素 ''g''.

===單延拓群===
和樂叢 ''H'' (''p'') 是主 <math>\operatorname{Hol}_p(\omega)</math> 叢，因此受限和樂群 <math>\operatorname{Hol}^0_p(\omega)</math>（作為全個和樂群的正規子群）也作用在 ''H'' (''p'') 上。離散群 <math>\operatorname{Hol}_p(\omega)/\operatorname{Hol}^0_p(\omega)</math> 稱為聯絡的'''{{link-en|單延拓|Monodromy}}群'''。其作用在商叢 <math>H(p)/ \operatorname{Hol}^0_p(\omega)</math> 上。存在滿同態<math>\varphi: \pi_1 \to \operatorname{Hol}_p(\omega)/\operatorname{Hol}^0_p(\omega),</math> 使得 <math>\varphi(\pi_1(M))</math> 作用在 <math>H(p)/ \operatorname{Hol}^0_p(\omega)</math> 上。基本群的這個群作用稱為基本群的'''單延拓表示'''。<ref>{{harvnb|Sharpe|1997|loc=§3.7}}</ref>

===局域及無窮小和樂===
若 π: ''P'' → ''M'' 為主叢，ω 為 ''P'' 的聯絡，則 ω 的和樂可限制到 ''M'' 的開集的纖維上。若 ''U'' 為 ''M'' 的連通開集，則將 ω 限制到 ''U'' 上可得叢 π<sup>−1</sup>''U'' 的聯絡。該叢的和樂群記為 <math>\operatorname{Hol}_p(\omega, U),</math> 而受限和樂群則記為 <math>\operatorname{Hol}^0_p(\omega, U),</math> 其中 ''p'' 為滿足 π(''p'') ∈ ''U'' 的點。

若 ''U'' ⊂ ''V'' 為包含 π(''p'') 的兩個開集，則有[[包含映射|包含關係]]

:<math>\operatorname{Hol}_p^0(\omega, U)\subset\operatorname{Hol}_p^0(\omega, V).</math>

''p'' 點的'''局域和樂群'''定義為

:<math>\operatorname{Hol}_p^*(\omega) = \bigcap_{k=1}^\infty \operatorname{Hol}_p^0(\omega,U_k),</math>

其中 ''U''<sub>''k''</sub> 為任意一族滿足 <math>\bigcap_k U_k = \pi(p)</math> 的遞降（即 <math> U_k \subset U_{k+1} \ \forall k </math> ）連通開集。

局域和樂群有以下性質：

# 其為受限和樂群 <math>\operatorname{Hol}^0_p(\omega)</math> 的連通李子群。
# 每點 ''p'' 都有鄰域 ''V'' 使得 <math>\operatorname{Hol}^*_p(\omega) = \operatorname{Hol}^0_p(\omega, V).</math> 局域和樂群僅取決於 ''p'', 而非序列 ''U''<sub>''k''</sub> 的選取。
# 局域和樂群在結構群 ''G'' 的作用下等變，即對任意 ''g'' ∈ ''G'', <math>\operatorname{Hol}^*_{pg}(\omega) = \operatorname{Ad} (g^{-1}) \operatorname{Hol}^*_p(\omega).</math>（注意由性質 1,  局域和樂群是 ''G'' 的連通李子群，故[[伴隨作用|伴隨]] Ad 有定義。

局域和樂群不一定有全域的良好性質，例如流形的不同點上的局域和樂群不一定具有相同的維數。然而，有以下的定理：

* 若局域和樂群的維數恆定，則局域和樂群與受限和樂群相等，即<math>\operatorname{Hol}^*_p(\omega) = \operatorname{Hol}^0_p(\omega).</math>

==詞源==
英文{{lang|en|Holonomy}}與「[[全纯函数|全純]]」（{{lang|en|Holomorphic}}）相似，"Holomorphic"一詞由[[奧古斯丁·路易·柯西|柯西]]的兩個學生{{link-fr|夏爾·布里奧|Charles Briot}}<!--參[[马克西姆·布里奥]]和[[夏尔·德·弗雷西内]]暫譯-->（1817&ndash;1882）和{{link-fr|讓-克勞迪·波桂|Jean-Claude Bouquet}}<!--參[[卡洛·波桂]]暫譯-->（1819&ndash;1895）引入，來自希臘文{{lang|el|[[wikt:ὅλος|ὅλος]]}}（''holos''）和{{lang|el|[[wikt:μορφή|μορφή]]}}（''morphē''），意思分別是「全」、「形態」。<ref>{{harvnb|Markushevich, A.I.|2005}}</ref>

"{{lang|en|Holonomy}}"與"{{lang|en|holomorphic}}"的前半（''holos''）一樣。至於後半：
<blockquote>
非常難在網絡上找出{{lang|en|holonomic}}（或{{lang|en|holonomy}}）的詞源。我找到（鳴謝[[普林斯顿大学|普林斯頓]]的[[約翰·何頓·康威|約翰·康威]]）：

<blockquote>我相信潘索（{{lang|fr|Louis Poinsot}}）最早在他對剛體運動的分析用到它。這個理論中，若某種意義下，能夠從一個系統的局域資訊得悉其全局資訊，就叫一個和樂的 （"{{lang|en|holonomic}}"）系統，所以它的意思「整體法則」（"{{lang|en|entire-law}}"）很貼切。球在桌上滾動並不和樂，因為沿不同的路徑滾到同一點，可以使球的方向不同。然而，將「和樂」理解成「整體法則」恐怕有點過於簡化。希臘文的"nom"詞根有多層互相交織的意思，可能更多時解「數算」（{{lang|en|counting}}）。它與我們的詞數字"{{lang|en|number}}"來自同一個[[原始印歐語|印歐詞根]]。
</blockquote>

——S.&nbsp;Golwala<ref>{{harvnb|Golwala|2007|pages=65&ndash;66}}</ref>
</blockquote>
參見[[wikt:νόμος|νόμος]]（''nomos''）和[[wikt:-nomy|-nomy]]。

== 安布羅斯－辛格定理 ==
'''安布羅斯－辛格定理'''（得名自{{harvs|txt|first1=Warren|last1=Ambrose|first2=Isadore M.| last2=Singer |authorlink2=艾沙道爾·辛格|year=1953}}）描述[[联络 (主丛)|主叢聯絡]]的和樂與該聯絡的[[曲率形式]]之間的關係。為理解此定理，先考慮較熟知的情況，如[[仿射联络]]、切叢聯絡（或其特例[[列維-奇維塔聯絡|列維－奇維塔聯絡]]）。沿無窮小平行四邊形的邊界走一圈，就會感受到曲率。

引入更多細節，若<math>\sigma : [0, 1]\times [0, 1] \to M</math>是<math>M</math>中某曲面的坐標表示，則向量<math>V</math>可以沿<math>\sigma</math>的邊界平行移動，由原點出發，先沿<math>(x, 0)</math>，再沿<math>(1,y)</math>，再<math>(x, 1)</math>（<math>x</math>反方向，即由<math>1</math>遞減至<math>0</math>），最後<math>(0, y)</math>，回到原點。此為和樂環圈的特例，因為向量<math>V</math>沿該圈平行移動的結果，相當於<math>\sigma</math>邊界的提升，對應的和樂群元素，作用在<math>V</math>上。當平行四邊形縮至無窮小時（即沿更小的平行四邊形圈，對應<math>\sigma</math>坐標中的區域<math>[0, x] \times [0, y]</math>，而<math>x, y</math>趨向於<math>0</math>），就會明確得到曲率。換言之，取平行移動映射於<math>x = y = 0</math>處的導數：

:<math>\frac{D}{dx}\frac{D}{dy}V - \frac{D}{dy}\frac{D}{dx}V = R\left(\frac{\partial\sigma}{\partial x}, \frac{\partial\sigma}{\partial y} \right)V</math>

其中<math>R</math>為[[黎曼曲率張量|曲率張量]]。<ref>{{harvnb|Spivak|1999|p=241}}</ref>所以，粗略而言，曲率給出閉環圈（無窮小平行四邊形）上的無窮小和樂。更嚴格地，曲率是和樂作用於和樂群單位元處的導數。換言之，<math>R(X, Y)</math>是<math>\operatorname{Hol}_p(\omega)</math>的[[李代數]]的元素。

一般來說，考慮結構群為<math>G</math>的主叢<math>P \to M</math>某聯絡的和樂。以<math>\mathfrak g</math>表示<math>G</math>的李代數，則聯絡的[[曲率形式]]是<math>P</math>上的<math>\mathfrak g</math>值2-形式<math>\Omega</math>。安布羅斯－辛格定理斷言：<ref>{{harvnb|Sternberg|1964|loc=Theorem VII.1.2}}</ref>

<blockquote><math>\operatorname{Hol}_p(\omega)</math>的李代數，是由<math>\mathfrak g</math>中所有形如<math>\Omega_q(X,Y)</math>的元素線性張成，其中<math>q</math>取遍所有可以用水平曲線<math>(q \sim p)</math>與<math>p</math>連接的點，而<math>X, Y</math>皆是<math>q</math>處的水平切向量。
</blockquote>

亦可用和樂叢的說法，複述如下：<ref>{{harvnb|Kobayashi|Nomizu|1963|loc=Volume I, §II.8}}</ref>

<blockquote><math>\operatorname{Hol}_p(\omega)</math>的李代數，是<math>\mathfrak g</math>中形如<math>\Omega_q(X, Y)</math>的元素張成的線性子空間，其中<math>q</math>取遍<math>H(p)</math>的元素，而<math>X, Y</math>取遍<math>q</math>處的水平向量。
</blockquote>

==黎曼和樂==
===可約和樂與德拉姆分解===
設<math>x \in M</math>為任意一點，則和樂群<math>\mathrm{Hol}(M)</math>作用在切空間<math>T_x M</math>上。視之為群的[[群表示|表示]]，則可能[[不可約表示|不可約]]，亦可能可約，即可以將<math>T_x M</math>分解成正交子空間的直和
:<math>T_x M = T'_x M \oplus T''_x M,</math>
而兩個子空間皆在<math>\mathrm{Hol}(M)</math>作用下不變。此時亦稱<math>M</math>'''可約'''。

設<math>M</math>為可約流形。上式說明，在每一點<math>x</math>處，切空間可以約化分解成<math> T'_x M </math>和<math>T''_x M</math>，所以當<math>x</math>變動時，就定義出向量叢<math>T' M</math>和<math>T'' M</math>，兩者皆光滑分佈，且是[[弗罗贝尼乌斯定理|弗比尼斯可積]]。兩個分佈的{{link-en|積分流形|integral manifold}}皆為{{le|完全測地|Totally geodesic}}子流形，換言之，子流形的測地線皆為原流形的測地線。所以局部觀察<math>M</math>，是笛卡爾積<math>M' \times M''</math>。重複上述分解，直到切空間完全約化，則得到（局部）德拉姆同構：<ref>{{harvnb|Kobayashi|Nomizu|loc=§IV.5}}</ref>

<blockquote>設<math>M</math>為[[單連通]]黎曼流形，<ref>定理亦可推廣至非單連通流形，但敍述更複雜。</ref>又設在和樂群的作用下，<math>T M = T^{(0)} M \oplus T^{(1)}M \oplus \cdots \oplus T^{(k)} M</math>為切叢的完全約化分解，而和樂群在<math> T^{(0)} M </math>上的作用平凡（恆等映射），則<math>M</math>局部[[等距同構]]於乘積
:<math>V_0\times V_1\times \cdots\times V_k,</math>
其中<math>V_0</math>是[[欧几里得空间|歐氏]]開集，而每個<math>V_i</math>是<math>T^{(i)} M</math>的積分流形。更甚者，<math>\mathrm{Hol}(M)</math>是<math>\mathrm{Hol}(M_i)</math>的直積（<math>M_i</math>是<math>T^{(i)}</math>過某點的極大積分流形）。
</blockquote>

若同時假設<math>M</math>{{link-en|測地完備|geodesically complete}}（每點每個方向的測地線皆可無限延伸），則定理不僅局部成立，而是全域成立，且各<math>M_i</math>本身也是測地完備流形。<ref>{{harvnb|Kobayashi|Nomizu|§IV.6}}</ref>

=== 伯格分类 ===
1955年，{{le|馬塞爾·伯格|Marcel Berger}}將不可約（並非[[局部性質|局部]]等同積空間）、非對稱（並非局部地{{link-en|黎曼對稱空間|Riemannian symmetric space|黎曼對稱}}）、單連通的黎曼流形，可能具有的和樂群，完全分類。'''伯格分類'''表如下：
{| class="wikitable" style="margin: auto;"
! <math>\mathrm{Hol}(g)</math> || <math>\mathrm{dim}(M)</math> || 流形類型 || 備註
|-
| [[正交群]]<math>SO(n)</math> || <math>n</math> || [[可定向性|可定向流形]] || —
|-
| [[酉群]]<math>U(n)</math> || <math>2n</math> || [[凯勒流形]] || 凱勒
|-
| [[特殊酉群]]<math>SU(n)</math> || <math>2n</math> || [[卡拉比–丘流形]] || [[里奇平坦流形|里奇平]]、凱勒
|-
| [[辛群]]<math>\mathrm{Sp}(n)</math> || <math>4n</math> || {{link-en|超凱勒流形|Hyperkähler manifold}} || [[里奇平坦流形|里奇平]]、凱勒
|-
| <math>\mathrm{Sp}(n)\cdot \mathrm{Sp}(1)</math> || <math>4n</math> || {{link-en|四元數凱勒流形|Quaternion-Kähler manifold}} || {{link-en|愛因斯坦流形|Einstein manifold|愛因斯坦}}
|-
| {{link-en|G2 (數學)|G2 (mathematics)|例外單李群}}<math>G_2</math> || <math>7</math> || {{link-en|G2流形|G2 manifold}} || [[里奇平坦流形|里奇平]]
|-
| [[旋量群]]<math>\mathrm{Spin}(7)</math> || <math>8</math> || {{link-en|Spin(7)流形|Spin(7) manifold}} || [[里奇平坦流形|里奇平]]
|}
1965年，{{link-en|愛德蒙·博南|Edmond Bonan}}<!--照[[WP: 外語譯音表/法語]]暫譯-->及{{lang|en|Vivian Yoh Kraines}}同時研究和樂群為<math>\mathrm{Sp}(n)\cdot \mathrm{Sp}(1)</math>的流形，構造出其平行4形式。

{{link-en|愛德蒙·博南|Edmond Bonan}}於1966年最早引入和樂群為<math>G_2</math>或<math>\mathrm{Spin}(7)</math>的流形，他構造出全部平行形式，並證明該些流形皆為里奇平。

伯格原先的表中，未排除<math>\mathrm{Spin}(9)</math>（作為<math>SO(16)</math>的子群）。後來，迪米特里·阿列克謝耶夫斯基（{{lang|ru|Dmitri V. Alekseevsky}}）<!--Алексеевский按[[WP: 外語譯音表/俄語]]暫譯-->一人，與布朗（{{lang|en|Brown}}）、格雷（{{lang|en|Gray}}）二人，分別證明具此和樂群的黎曼流形必然局部對稱，即與{{le|凱萊平面|Cayley plane}}<math>F_4/\mathrm{Spin}(9)</math>局部等距同構，或局部平坦，故上表不列。上表列出的各可能，現已確實知道是某黎曼流形的和樂群。末尾兩個例外情況的流形最難發現，見{{link-en|G2流形|G2 manifold|<math>G_2</math>流形}}和{{link-en|Spin(7)流形|Spin(7) manifold|<math>\mathrm{Spin}(7)</math>流形}}。

注意<math>\mathrm{Sp}(n)\subset SU(2n) \subset U(2n) \subset SO(4n)</math>，故{{link-en|超凱勒流形|hyperkähler manifold}}必為[[卡拉比–丘流形|卡拉比－丘]]，[[卡拉比－丘流形]]必為[[凯勒流形|凱勒]]，而[[凯勒流形]]必[[可定向性|可定向]]。

以上看似奇怪的列表（伯格定理），可由西蒙斯（Simons）的證明解釋。另有一個簡單幾何證明，由卡洛斯·奧爾莫斯（{{lang|es|Carlos E. Olmos}}）於2005年給出。<ref>{{cite journal | last = Olmos | first = Carlos E. | title = A geometric proof of the Berger Holonomy Theorem | url = https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_2005-01_161_1/page/579 |trans-title = 伯格和樂定理的幾何證明 |journal = Annals of Mathematics |volume = 161 | year = 2005 | pages = 579–588 | doi = 10.4007/annals.2005.161.579 |language = en}}</ref>第一步要證，若黎曼流形並非{{link-en|局部對稱空間|locally symmetric space}}，而約化和樂在切空間上的作用不可約，則遞移地作用在單位球面上。但已知有何種[[李群]]遞移作用於球面：上表所列各項，以及兩個額外情況，分別是<math>\mathrm{Spin}(9)</math>（作用於<math>\mathbb R^{16}</math>），以及<math>U(1) \cdot \mathrm{Sp}(m)</math>（作用於<math>\mathbb R^{4m}</math>）。最後，要驗證前者只能作為局部對稱空間（局部同構於的{{link-en|凱萊射影平面|Cayley projective plane}}）的和樂群，而後者則根本不能作為和樂群出現。

伯格的原分類，尚有涵蓋非正定的[[偽黎曼度量]]，其給出非局部對稱和樂的可能列表為：
{| class="wikitable" style="margin: auto;"
! 和樂群 || {{le|度量符號|Metric signature}}  
|-
| <math>SO(p, q)</math> || <math>(p, q)</math> 
|-
| <math>U(p, q)</math> || <math>(2p, 2q)</math>
|-
|<math>SU(p, q)</math> || <math>(2p, 2q)</math>
|-
|<math>\mathrm{Sp}(p, q)</math> ||<math>(4p, 4q)</math>
|-
|<math>\mathrm{Sp}(p, q)\cdot \mathrm{Sp} (1)</math>|| <math>(4p, 4q)</math>
|-
|<math>SO(n, \mathbb C)</math> ||<math>(n, n)</math>
|- 
|<math>SO(n, \mathbb H)</math> ||<math>(2n, 2n)</math>
|-
|分裂<math>G_2</math> ||<math>(4, 3)</math>
|- 
|<math>G_2(\mathbb C)</math> ||<math>(7, 7)</math> 
|-
|<math>\mathrm{Spin}(4, 3)</math> ||<math>(4, 4)</math>
|- 
|<math>\mathrm{Spin}(7, \mathbb C)</math> ||<math>(7, 7)</math>
|-
|<math>(*)\ \mathrm{Spin}(5, 4)</math> ||<math>(8, 8)</math>
|-
|<math>(*)\ \mathrm{Spin}(9, \mathbb C)</math> ||<math>(16, 16)</math>
|}

但是，標<math>(*)</math>的兩種和樂群（分裂<math>\mathrm{Spin}(9)</math>及複化<math>\mathrm{Spin}(9)</math>），如同正定的情況，只能在局部對稱空間出現，故應予刪去。至於複化和樂群<math>SO(n, \mathbb C), G_2(\mathbb C), \mathrm{Spin}(7, \mathbb C)</math>三種，可以將實解析黎曼流形複化得到。而和樂群為<math>SO(n, \mathbb H)</math>子群的流形，R. McLean證明其為局部平。<ref>{{cite chapter | url = https://www.emis.de/journals/SC/1996/1/html/smf_sem-cong_1_93-165.html | series = Séminaires & Congrès | volume = 1 | year = 1996 | title = Actes de la table ronde de Géométrie Différentielle en l'honneur de Marcel Berger | chapter = Classical, exceptional, and exotic holonomies: a status report | editor-first = Arthur L. | editor-last = Basse | last = Bryant | first = Robert L. | language = en | pages = 93–165 | isbn = 2-85629-047-7 | access-date = 2021-10-02 | archive-date = 2020-07-31 | archive-url = https://web.archive.org/web/20200731033808/https://www.emis.de//journals/SC/1996/1/html/smf_sem-cong_1_93-165.html }}</ref> 

對稱黎曼空間，因為局部與[[齊性空間]]<math>G/H</math>同構，其局部和樂群同構於<math>H</math>，經已[[單李群#分類|分類完畢]]。

最後，伯格的論文亦有列舉僅得無撓[[仿射联络]]的流形的可能和樂群，見[[#仿射和樂|下節]]。

===特殊和樂及旋量===
一些流形具特殊的和樂，該性質亦可藉平行[[旋量]]是否存在來刻劃（平行旋量即[[協變導數]]為零的旋量場），<ref name="Lawson">{{harvnb|Lawson|Michelsohn|1989|loc=§IV.9–10}}</ref>尤其有以下各項命題成立：
* <math> \mathrm{Hol}(\omega) \subseteq U(n)</math>，當且僅當<math>M</math>上存在平行的射影純旋量場。
* 若<math>M</math>為{{link-en|旋量結構|spin structure|旋量流形}}，則<math>\mathrm{Hol}(\omega)\subseteq SU(n)</math>，當且僅當<math>M</math>具有至少兩個線性獨立的平行純旋量場。事實上，平行純旋量場足以確定由[[纤维丛#结构群和转移函数|結構群]]到<math>SU(n)</math>的典範歸約。
* 若<math>M</math>是七維旋量流形，則<math>M</math>具有非平凡平行旋量場，當且僅當和樂群是<math>G_2</math>的子群。
* 若<math>M</math>為八維旋量流形，則<math>M</math>具有非平凡平行旋量場，當且僅當和樂群是<math>\mathrm{Spin}(7)</math>的子群。
<!--Anyone know of nice results specific to the hyper-Kaehler and quaternion-Kaehler holonomies?-->

么正與特殊么正和樂經常連帶[[扭量理论]]<ref>{{harvnb|Baum|1991}}</ref>、[[殆复流形]]<ref name="Lawson" />一同研究。

===應用===

====弦論====
具特殊和樂的黎曼流形，對[[弦理論|弦論]][[紧化 (物理学)|緊化]]很重要。<ref>{{citation | author = Gubser, S. | title = Special holonomy in string theory and M-theory | editor=Gubser S.|display-editors=etal}}
+{{citation |  title=Strings, branes and extra dimensions, TASI 2001. Lectures presented at the 2001 TASI school, Boulder, Colorado, USA, 4–29 June 2001.  | place=River Edge, NJ | publisher=World Scientific | isbn=978-981-238-788-2 | pages=197–233 | year=2004 | arxiv=hep-th/0201114 | last1=Gubser | first1=Steven S. }}.</ref>原因是，特殊和樂流形上，存在[[共變和反變|共變]]常值（即平行）[[旋量]]，於是保一部分[[超对称]]。較重要的緊化是在具<math>SU(2)</math>或<math>SU(3)</math>和樂的[[卡拉比–丘流形]]上，以及{{link-en|G2流形|G2 manifold|<math>G_2</math>流形}}上。

====機器學習====
在[[机器学习]]，尤其{{le|流形學習|manifold learning}}方面，曾有人提出，藉計算黎曼流形的和樂，得出數據流形的結構。由於和樂群包含數據流形的全域結構，其適用於判斷數據流形可能如何分解成子流形之積。由於取樣有限，無法完全準確計算出和樂群，但利用來自[[譜圖論]]的思想（類似向量{{le|擴散映射|Diffusion map}}），有可能構造出數值近似。所得的算法「幾何流形分量估計量」（{{lang-en|Geometric Manifold Component Estimator}}，簡寫{{Smallcaps|GeoManCEr}}「[[探地術|探地者]]」），能給出德拉姆分解的數值近似，並應用於現實數據。<ref>{{citation |last1=Pfau |first1=David |last2=Higgins |first2=Irina |last3=Botev |first3=Aleksandar |last4=Racanière |first4=Sébastien |title=Disentangling by Subspace Diffusion |journal=Advances in Neural Information Processing Systems |date=2020 |arxiv=2006.12982}}</ref>

==仿射和樂==
'''仿射和樂群'''（{{lang-en|affine holonomy groups}}），是無撓[[仿射联络]]的和樂群；其中一些不能作為（偽）黎曼和樂群出現，稱為'''非度量和樂群'''（{{lang-en|non-metric holonomy groups}}）。德拉姆分解定理不適用於仿射和樂群，所以離完成分類尚有很遠，但仍可以將不可約的仿射和樂分類。

伯格在證明黎曼和樂分類定理的過程中，發現對於{{link-en|對稱空間|symmetric space|非局部對稱}}的無撓仿射聯絡而言，和樂群的李代數必定符合兩個條件。伯格第一準則（{{lang-en|Berger's first criterion}}）是安布羅斯－辛格定理（即曲率張量生成和樂的李代數，見[[#安布羅斯－辛格定理|前節]]）的後果；而第二準則，來自聯絡非局部對稱的條件。伯格列舉了滿足此兩個準則，且作用不可約的群，可以視之為不可約仿射和樂群的可能情況表。

但伯格的列表，其後證實並未齊全。{{link-en|羅伯特·布萊恩特|Robert Bryant (mathematician)}}（1991）和Q. Chi、S. Merkulov、L. Schwachhöfer（1996）找到未在列表的例子，有時稱為「怪和樂」<!--譯名參考 https://www.google.co.uk/books/edition/%E8%8B%B1%E6%B1%89%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%AF%8D%E6%B1%87/nduYtmyywcUC?hl=en&gbpv=1&pg=PA233&printsec=frontcover&bsq=exotic -->（{{lang|en|exotic holonomies}}）。努力搜索例子之後，最終由Merkulov和Schwachhöfer（1999年）完成不可約仿射和樂群的分類，而反方向的結果則由布萊恩特（2000年）證明，即列表上所有群皆確實能作為仿射和樂群。

觀察到表中的群和{{link-en|埃爾米特對稱空間|hermitian symmetric space}}、{{link-en|四元數凱勒對稱空間|quaternion-Kähler symmetric space}}之間有聯繫之後，Merkulov–Schwachhöfer分類會變得更清晰。此種聯繫在複仿射和樂的情況尤其明確，見於Schwachhöfer（2001）。

設<math>V</math>為有限維複向量空間，<math>H \subseteq \mathrm{Aut}(V)</math>為不可約半單複連通李子群，又設<math>K\subseteq H</math>為極大緊子群。
# 若有不可約埃爾米特對稱空間形如<math>G/(U(1) \cdot K)</math>，則<math>H</math>和<math>\mathbb C^* \cdot H</math>兩者皆為非對稱不可約仿射和樂群，其中<math>V</math>為<math>K</math>的切表示。
# 若有不可約四元數凱勒對稱空間形如<math>G/(\mathrm{Sp}(1) \cdot K)</math>，則<math>H</math>為非對稱不可約仿射和樂群，而當<math>\dim V = 4</math>時，<math>\mathbb C^* \cdot H</math>亦然。此時，<math>\mathrm{Sp}(1) \cdot K</math>的複化切表示是<math>\mathbb C^2 \otimes V</math>，而<math>H</math>保<math>V</math>上某個複[[辛形式]]。

上述兩族已涵蓋大部分非對稱不可約複仿射和樂群，例外僅有：
:<math> \begin{align}
  \mathrm{Sp}(2, \mathbb C) \cdot \mathrm{Sp}(2n, \mathbb C)
                              &\subset \mathrm{Aut}\left(\mathbb C^{2} \otimes\mathbb C^{2n}\right),\\
               G_2(\mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\mathbb C^7\right),\\
  \mathrm{Spin}(7, \mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\mathbb C^8\right).
\end{align}</math>

利用埃爾米特對稱空間的分類，第一族的複仿射和樂群有：
:<math> \begin{align}
  Z_{\mathbb C} \cdot SL(m, \mathbf C) \cdot SL(n, \mathbf C)
                                                   &\subset \mathrm{Aut}\left(\mathbb C^m\otimes\mathbb C^n\right),\\
     Z_{\mathbb C} \cdot SL(n, \mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\wedge^2\mathbb C^n\right),\\
     Z_{\mathbb C} \cdot SL(n, \mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(S^2\mathbb C^n\right),\\
     Z_{\mathbb C} \cdot SO(n, \mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\mathbb C^n\right),\\
  Z_{\mathbb C} \cdot \mathrm{Spin}(10, \mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\Delta_{10}^+\right) \cong \mathrm{Aut}\left(\mathbb C^{16}\right),\\
                Z_{\mathbb C} \cdot E_6(\mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\mathbb C^{27}\right),
\end{align}</math>
其中<math>Z_{\mathbb C}</math>可取平凡群，亦可取為<math>\mathbb C^*</math>。

同樣，用四元數凱勒對稱空間的分類，第二族複辛和樂群有：
:<math> \begin{align}
  \mathrm{Sp}(2, \mathbb C) \cdot SO(n, \mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\mathbb C^2\otimes\mathbb C^n\right),\\
        (Z_{\mathbb C}\,\cdot)\, \mathrm{Sp}(2n, \mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\mathbb C^{2n}\right),\\
               Z_{\mathbb C} \cdot SL(2, \mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(S^3\mathbb C^2\right),\\
                                  \mathrm{Sp}(6, \mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\wedge^3_0\mathbb C^6\right)\cong \mathrm{Aut}\left(\mathbb C^{14}\right),\\
                                  SL(6, \mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\wedge^3\mathbb C^6\right),\\
                               \mathrm{Spin}(12, \mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\Delta_{12}^+\right) \cong \mathrm{Aut}\left(\mathbb C^{32}\right),\\
                                             E_7(\mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\mathbb C^{56}\right).\\
\end{align}</math>
（第二行中，<math>Z_{\mathbb C}</math>必須取為平凡群，除非<math>n = 2</math>，此時可取為<math>\mathbb C^*</math>。）

從以上各列表，可以觀察出一個結論，類似西蒙斯斷言黎曼和樂群遞移作用於球面：複和樂表示皆為{{link-en|預齊性向量空間|prehomogeneous vector space}}。但是，未知此事實的概念性證明。

不可約實仿射和樂的分類，用「實仿射和樂複化成複仿射和樂」此結論，結合上表，仔細分析便得。

== 参见 ==
* [[A-B效应]]

== 脚注 ==
{{Reflist|2}}

== 参考文献 ==

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* {{cite book|last=Spivak|first=Michael|author-link=Michael Spivak|title=A comprehensive introduction to differential geometry, Volume II|trans-title = 微分幾何綜論·卷二 |place=Houston, Texas|publisher=Publish or Perish|year=1999|isbn=978-0-914098-71-3|language = en}}
* {{cite book|last=Sternberg|first=S.|title=Lectures on differential geometry|trans-title = 微分幾何講義|place=New York|publisher=Chelsea|year=1964|isbn=978-0-8284-0316-0|language = en}}

{{曲率}}

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