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{{NoteTA |G1=Math
|T= zh-cn: 完全性 (统计学);zh-tw:完備性 (統計學)
|1= zh-cn: 完全性 ;zh-tw:完備性;
|2= zh-cn: 参数;zh-tw:母數;zh-hant:參數;
}}

在[[统计学]]中， '''完全性'''，又称'''-{zh-cn:完备性;zh-tw:完全性}-'''是[[统计量]]的一个性质。 从本质上讲，它确保不同的参数值对应的分布是不同的。一个具有完全性的统计量称为'''完全统计量'''。

==定义 ==
考虑一个[[随机变量]] <math>X</math> ，其概率分布 <math>P_\theta</math> 以 <math>\theta</math> 为参数。称一个统计量 <math>s</math> 是'''完全的'''，若对任意[[可测函数]] <math>g</math>，<ref>Young, G. A. and Smith, R. L. (2005). Essentials of Statistical Inference. (p. 94). Cambridge University  Press.</ref>
: 如果对所有 <math>\theta</math> 都有 <math>E(g(s(X)))=0</math>，则 <math>P_\theta (g(s(X))=0)=1</math> 对所有 <math>\theta</math> 都成立。
若对上述函数 <math>g</math> 加上有界的条件，则称该统计量为'''有界完全的'''。

== 例子 ==
若<math>X_1, X_2, \dots, X_n</math>是来自参数为<math>p</math>的[[伯努利分布]]的独立随机样本，其中<math>p\in(0,1)</math>。统计量<math>T=\sum_{i=1}^bX_i</math>是<math>p</math>的完全统计量。注意到<math>T</math>服从参数为<math>n</math>和<math>p</math>的[[二項分佈|二项分布]]。若有某个<math>g</math>，使得<math>E_p(g(T))=0</math>对<math>p\in(0,1)</math>都成立，则

<math>0=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}p^i(1-p)^{n-i}g(i)=(1-p)^n\sum_{i=0}^ng(i)\binom{n}{i}\left(\frac p{1-p}\right)^i, p\in(0,1).</math>

令<math>r=p/(1-p)\in\mathbb R</math>，则多项式<math>\sum_{i=0}^ng(i)\binom{n}{i}r^i</math>在<math>\mathbb R</math>上恒为0。可知其每一项系数都为0，进而得到<math>g=0</math>。由定义，<math>T=\sum_{i=1}^bX_i</math>是<math>p</math>的完全统计量。

==完全性的重要性 ==

===巴苏定理 ===
{{main|巴苏定理}}
<span>有</span>界完全性出现在[[巴苏定理]]中，<ref>Casella, G. and Berger, R. L. (2001). Statistical Inference. (pp. 287). Duxbury Press.</ref> 它指出任何有界完全且[[充分统计量|充分的]]统计量与任何辅助统计量独立。

===Bahadur定理 ===
有界完全性也出现在Bahadur定理中。 定理指出，当至少存在一个最小充分统计量时，如果一个统计量是充分的并且有界完全的，则它是一个最小充分统计量。

== 注释 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Cite book|title=Statistical information and likelihood : A collection of critical essays by Dr.&nbsp;D.&nbsp;Basu|last=Basu|first=D.|authorlink=Deb. Basu|publisher=Springer|year=1988|isbn=0-387-96751-6|editor-last=J. K. Ghosh|series=Lecture Notes in Statistics|volume=45|mr=953081|ref=harv}}
* {{Cite book|title=Mathematical statistics, Volume&nbsp;1: Basic and selected topics|last=Bickel|first=Peter J.|authorlink=Peter J. Bickel|last2=Doksum|first2=Kjell A.|publisher=Pearson Prentice–Hall|year=2001|isbn=0-13-850363-X|edition=Second (updated printing 2007) of the Holden-Day&nbsp;1976|mr=443141|ref=harv}}
* {{Cite book|url=http://www.springerlink.com/content/978-0-387-98864-1#section=545952&page=1|title=Testing statistical hypotheses|last=E. L.|first=Lehmann|authorlink=Erich Leo Lehmann|last2=Romano|first2=Joseph P.|publisher=Springer|year=2005|isbn=0-387-98864-5|edition=Third|series=Springer Texts in Statistics|location=New York|pages=xiv+784|mr=2135927|ref=harv|access-date=2017-12-25|archive-date=2013-02-02|archive-url=https://archive.today/20130202234913/http://www.springerlink.com/content/978-0-387-98864-1%23section=545952&page=1#section=545952&page=1|dead-url=yes}}
* {{Cite journal|title=Completeness, similar regions, and unbiased estimation. I.|last=Lehmann|first=E.L. <!-- <nowiki>|</nowiki>authorlink=Erich Leo Lehmann -->|last2=Scheffé|first2=H.|authorlink2=Henry Scheffé|journal=[[Sankhya (journal)|Sankhyā: the Indian Journal of Statistics]]|issue=4|year=1950|volume=10|pages=305–340|jstor=25048038|mr=39201}}
* {{Cite journal|title=Completeness, similar regions, and unbiased estimation. II|last=Lehmann|first=E.L. <!-- <nowiki>|</nowiki>authorlink=Erich Leo Lehmann -->|last2=Scheffé|first2=H.|authorlink2=Henry Scheffé|journal=Sankhyā: the Indian Journal of Statistics|issue=3|year=1955|volume=15|pages=219–236|jstor=25048243|mr=72410}}
[[Category:統計理論]]