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{{multiple image
|footer=安德里卡猜想對最初(a)100個、(b)200個和(c)500個質數的圖像化證明。猜想的內容指稱，<math>A_n</math>總小於一。
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|image1=Andrica's Conjecture.svg
|caption1=(a) <math>A_n</math>對最初100個質數的值
|image2=Andrica's Conjecture2.svg
|caption2=(b) <math>A_n</math>對最初200個質數的值
|image3=Andrica's Conjecture3.svg
|caption3=(c) <math>A_n</math>對最初500個質數的值
}}
'''安德里卡猜想'''（Andrica's conjecture）是關於[[質數]]間的[[質數間隙|間隙]]的猜想<ref>{{cite journal | first=D. | last=Andrica | title=Note on a conjecture in prime number theory | journal=Studia Univ. Babes–Bolyai Math. | volume=31 | year=1986 | number=4 | pages=44–48 | zbl=0623.10030 | issn=0252-1938 }}</ref>，以罗马尼亚数学家{{link-es|多林·安德里卡|Dorin Andrica}}的名字命名。

該猜想認為，對於任意的<math>n</math>，下述不等式成立：
:<math>\sqrt{p_{n+1}} - \sqrt{p_n} < 1 </math>
其中<math>p_n</math>是第<math>n</math>個質數。若<math>g_n = p_{n+1} - p_n</math>是第<math>n</math>個[[質數間隙]]，那麼安德里卡猜想可表述如下：
:<math>g_n < 2\sqrt{p_n} + 1</math>

==實證證據==
伊姆兰·戈里（Imran Ghory）用了大質數間隙的資料，證實了該猜想對大到<math>1.3002\times 10^{16}</math>的<math>n</math>都成立。<ref>''Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math'', John Wiley & Sons, Inc., 2005, p.&nbsp;13.</ref>利用最大質數間隙（maximal gap）和質數間隙不等式，可將此結果推廣到大到<math>4\times 10^{18}</math>的<math>n</math>之上。

離散方城<math>A_n = \sqrt{p_{n+1}}-\sqrt{p_n}</math>呈遞減，其中<math>A_n</math>的「高水位」標記，出現在<math>n=1,2,4</math>之處，其中<math>A_4\sim0.670873...</math>，而對於最初的<math>10^5</math>個質數而言，沒有比這更大的值。由於<math>A_n</math>該方程對<math>n</math>呈現非病態遞減之故，因此若要在<math>n</math>不斷變大的情況下使得這個差變大，一個不斷增長的質數間隙是必要的。故該猜想非常可能是正確的，但目前還沒有證明。

==推廣==
[[File:Generalized Andrica's conjecture.svg|300px|thumb|廣義安德里卡猜想對最初100個質數的{{mvar|x}}的值，並標出{{mvar|x}}的最小可能解<math>x_{min}</math>的推測位置。]]
安德里卡猜想的推廣會論及以下等式：
:<math> p _ {n+1} ^ x - p_ n ^ x = 1, </math>
其中<math>p_n</math>是第<math>n</math>個質數，而{{mvar|x}}是任意正實數。

易證{{mvar|x}}的最大可能解出現於<math>n=1</math>處，在此處，<math>x_{max}=1</math>；而有猜想認為，{{mvar|x}}的最小可能解出現於<math>n=30</math>處，在此處，<math>x_{min}\sim0.567148...</math>。{{OEIS|id=A038458}}

該猜想也可以不等式表述，因此廣義安德里卡猜想可表述如下：
:對於<math>x < x_{\min}</math>而言，<math> p _ {n+1} ^ x - p_ n ^ x < 1 </math>

==參見==
* [[克拉梅爾猜想]]
* [[勒讓德猜想]]
* [[菲鲁兹巴赫特猜想]]

==參考和註解==
{{reflist}}
* {{cite book |last=Guy | first=Richard K. | author-link=Richard K. Guy | title=Unsolved problems in number theory |url=https://archive.org/details/unsolvedproblems0003guyr | publisher=[[Springer-Verlag]] |edition=3rd | year=2004 |isbn=978-0-387-20860-2 | zbl=1058.11001 }}

==外部連結==
* [https://web.archive.org/web/20070711030648/http://planetmath.org/encyclopedia/AndricasConjecture.html ''Andrica's Conjecture''] at [[PlanetMath]]
* [http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=9636 ''Generalized Andrica conjecture''] {{Wayback|url=http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=9636 |date=20191227225934 }} at [[PlanetMath]]
* {{MathWorld|urlname=AndricasConjecture|title=Andrica's Conjecture}}

{{質數猜想}}
[[Category:素數猜想]]
[[Category:數論未解决問題]]