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{{noteTA|G1=物理學}}
在[[經典力學]]裏，對於一個[[動力系統]]，隨著時間的演進，所有保持不變的[[物理量]]都稱為'''守恆量'''（{{lang|en|conserved quantity}}），又稱為[[運動常數]]。<ref>{{cite book
  | last = Morin
  | first =David
  | title = Introduction to classical mechanics: with problems and solutions
  | url = https://archive.org/details/introductiontocl00mori_611
  | publisher = Cambridge University Press
  | year = 2008
  | pages = [https://archive.org/details/introductiontocl00mori_611/page/n157 138]
  | isbn = 9780521876223}}</ref>由於很多物理定律會表達某種守恆行為，對應的守恆量時常會出現於真實系統。例如，假設在某系統內涉及的[[作用力]]是[[保守力]]，則此系統的[[能量]]是守恆量。假設涉及的作用力是[[連心力]]，則此系統的[[角動量]]是守恆量。

==動量==
根據[[動量守恆定律]]，假若一個粒子所感受到的外力，其總向量和為零，則這粒子的動量保持不變，是一個守恆量。在這狀況下，粒子會呈[[勻速運動]]或著靜止不變。<ref name="Herb1980">{{citation|last=Goldstein|first=Herbert|authorlink=:en:Herbert Goldstein |title=Classical Mechanics|year=1980| location=United States of America | publisher=Addison Wesley| edition= 3rd| isbn=0201657023 | language=en| pages=pp. 2-5, 61, 312-324}}</ref>以方程式表達，假設粒子感受到的淨外力為零：
:<math>\mathbf{F}=0</math> 。

根據牛頓第二定律，淨外力與動量 <math>\mathbf{p}</math> 的關係式為
:<math>\mathbf{F}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}</math> 。

所以，動量是一個常數，是一個守恆量。

==角動量==
根據[[角動量守恒定律]]，假若一個粒子所感受到的外[[力矩]]，其其總向量和為零，則這粒子的角動量保持不變，是一個守恆量。在這狀況下，粒子會呈勻角運動或直線運動。<ref name="Herb1980"/>以方程式表達，假設粒子感受到的淨外力矩 <math>\boldsymbol{\tau}</math> 為零：
:<math>\boldsymbol{\tau}=0</math> 。

淨外力矩與角動量 <math>\boldsymbol{\ell}</math> 的關係式為
:<math>\boldsymbol{\tau}=\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}}{\mathrm{d}t}</math> 。

所以，角動量是一個常數，是一個守恆量。

==能量==
在經典力學裏，粒子的能量定義為[[動能]]與[[勢能]]的代數和。根據'''能量守恒定律'''，假若一個粒子所感受到的外力都是[[保守力]]，則這粒子的能量保持不變，是一個守恆量。<ref name="Herb1980"/>以方程式表達，能量 <math>E</math> 為動能 <math>T</math> 與勢能 <math>V</math> 的代數和
:<math>E=T+V</math> 。

粒子的動能與運動[[速度]] <math>\mathbf{v}</math> 的關係為
:<math>T=mv^2/2</math> ；

其中，<math>m</math> 是粒子的[[質量]]。

而對於保守系統，勢能與淨保守力 <math>\mathbf{F}</math> 的關係為
:<math>\mathbf{F}=-\nabla V</math> ；

能量對於時間的導數為
:<math>\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=m\mathbf{v}\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t}+\mathbf{v}\cdot \nabla V=\mathbf{v}\cdot(m\mathbf{a}-\mathbf{F})=0</math> 。

所以，能量是一個常數，是一個守恆量。

==能量函數==<!--link 拉格朗日量-->
思考一個物理系統，其[[拉格朗日量]]是动能 <math>T</math> 与势能 <math>V</math> 的差值：
:<math>\mathcal{L}=T - V</math> 。

通常，動能的參數為[[廣義速度]] <math>\dot q_1,\dot q_2,\dot q_3, \dots,\dot q_N</math> （符號上方的點號表示對於時間 <math>t</math> 的[[全導數]]），而勢能的參數為[[廣義坐標]] <math>q_1,q_2,q_3, \dots, q_N; t</math> ，所以，拉格朗日量的參數為 <math>q_1,q_2,q_3, \dots, q_N;\dot q_1,\dot q_2,\dot q_3, \dots,\dot q_N;t</math> 。

這物理系統的運動軌道，以拉格朗日方程式表示為
:<math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}\right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i}=0</math>；

其中，<math>t</math> 是时间。

拉格朗日量對於時間的全導數為
:<math>\frac{d\mathcal{L}}{dt}=\sum_i\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i}\dot{q}_i+\sum_i\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}\ddot{q}_i+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}</math> 。

將拉格朗日方程式代入，可以得到
:<math>\begin{align}\frac{d\mathcal{L}}{dt} & =\sum_i \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}\right)\dot{q}_i+\sum_i\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}\ddot{q}_i+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} \\
 &=\sum_i \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}\dot{q}_i\right)+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} \\
\end{align}</math><span style="vertical-align:bottom">。</span>

定義「能量函數」 <math>\mathit{h}(q_1,q_2,q_3, \dots; \dot q_1,\dot q_2,\dot q_3, \dots;t)</math> 為
:<math>\mathit{h}\ \stackrel{def}{=}\ \sum_i \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}\dot{q}_i - \mathcal{L}</math> ，

則能量函數與拉格朗日量的關係為
:<math>\frac{d\mathit{h}}{dt}= - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}</math> 。

假若拉格朗日量顯性地與時間無關，<math>\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}=0</math> ，<math>\mathcal{L}=\mathcal{L}(q_1,q_2,q_3, \dots, q_N;\dot q_1,\dot q_2,\dot q_3, \dots,\dot q_N)</math> ，則能量函數是一個常數，是一個守恆量。設定 <math>\mathit{h}=E</math> ，這常數 <math>E</math> 可以稱為這物理系統的能量。因此，這物理系統的[[能量守恆]]。

==參閱==
* [[李亞普諾夫函數]]
* [[哈密頓系統]]
* [[守恆定律]]

==參考文獻==
{{reflist|2}}

{{DEFAULTSORT:S}}
[[Category:微分方程]]
[[Category:变分法]]