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[[群論]]中，'''字度量'''是在[[群]]上的一種[[度量]]，就是一個方法去量度群中兩個元素之間的距離。給出群<math>G</math>的[[群的生成集合|生成集]]<math>S</math>，每個元素都可以用<math>S</math>寫成很多個不同的字。例如設<math>G</math>是所有整數組成的群<math>(\mathbb Z,+)</math>，取<math>S=\{\pm 1\}</math>，3就可以寫成1+1+1，或者-1+1+1-1+1+1+1等字。每個字用了多少個<math>S</math>的元素，這就是字的長度，例如1+1+1的長度是3，-1+1+1-1+1+1+1的長度是7。可以用英文字來比喻：英文字的生成集是英文字母，字的長度就是字母的數目，如colour的長度是6，color的長度是5。

兩個元素<math>g, h\in G</math>的'''字度量'''<math>d_S(g,h)</math>定義為<math>g^{-1} h</math>以<math>S</math>表示成的最短的[[字 (群論)|字]]的長度。

兩個元素的字度量，等於[[凱萊圖]]<math>\Gamma(G,S)</math>中這兩個元素的距離。<ref name="GH">É. Ghys and P. de la Harpe (éd.), ''Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov.'' Progress in Mathematics, 83. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1990.</ref>

==例子==
考慮整數群<math>(\mathbb Z,+)</math>。若取生成集合<math>S=\{\pm 1\}</math>，那麼兩個整數<math>m,n</math>之間的字度量是<math>d_S(m,n)=\left|-m+n\right|</math>。

若取另一個生成集合<math>S'=\{\pm 2,\pm 3\}</math>，則<math>m</math>和<math>m+1</math>之間的字度量<math>d_{S'}(m,m+1)=2</math>，因為<math>-m+(m+1)</math>用<math>S'</math>所能表示成的最短的字（3-2或-2+3）的長度為2。

==性質==
從字度量的定義可以看出，群於自身的左乘作用<math>k\cdot g \mapsto kg</math>下，字度量不變：
::<math>d_S(g,h) = d_S(kg,kh)</math>
（因為<math>(kg)^{-1}(kh)=g^{-1}h</math>。）

一個群<math>G</math>給出不同的生成集合，對應的字度量可以不同。不過，如果<math>G</math>是有限生成的，則兩個有限的生成集合<math>S_1,S_2</math>所給出的字度量是[[利普希茨連續|雙利普希茨]]的，即存在常數<math>C>1</math>使得對任何<math>g,h\in G</math>都有
::<math>\frac 1 C d_{S_1}(g,h) \leq d_{S_2}(g,h) \leq C d_{S_1}(g,h)</math>

證明如下：<math>S_1</math>中的各元素用<math>S_2</math>表示成的字，其中最長的長度設為<math>C_1</math>。那麼每個用<math>S_1</math>表示成的字，都可用<math>S_2</math>改寫成不超過<math>C_1</math>倍的長度的字。故此
::<math> d_{S_2}(g,h) \leq C_1 d_{S_1}(g,h)</math>
同樣地，有
::<math> d_{S_1}(g,h) \leq C_2 d_{S_2}(g,h)</math>
取<math>C</math>為<math>C_1</math>和<math>C_2</math>的較大者，得出不等式。

==參考==
{{reflist}}

[[Category:幾何群論]]
[[Category:度量几何]]
[[Category:群的性質]]
[[Category:词语组合]]