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[[歐氏平面幾何]]中，'''婆羅摩笈多公式'''是用以計算[[圓內接四邊形]]的[[面積]]的公式，以印度數學家[[婆羅摩笈多]]之名命名。一般四邊形的面積公式請見[[布雷特施奈德公式]]。

== 基本形式 ==

婆羅摩笈多公式的最簡單易記的形式，是圓內接四邊形面積計算。若圓內接四邊形的四邊長為<math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>d</math>，則其面積為：

: <math>\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}</math>

其中<math>s</math>為[[周长|半周長]]：

: <math>s=\frac{a+b+c+d}{2}</math>

== 证明 ==
[[File:Brahmaguptas formula.svg|frame|right|]]

圆内接四边形的面积 = <math>\triangle ADB</math>的面积 + <math>\triangle BDC</math>的面积

:<math>= \frac{1}{2}pq\sin A + \frac{1}{2}rs\sin C.</math>

但由于<math>ABCD</math>是圆内接四边形，因此<math>\angle DAB = 180^\circ - \angle DCB </math>。故<math>\sin A = \sin C </math>。所以：

:<math>\mbox{Area} = \frac{1}{2}pq\sin A + \frac{1}{2}rs\sin A</math>

:<math>(\mbox{Area})^2 = \frac{1}{4}\sin^2 A (pq + rs)^2</math>

:<math>4(\mbox{Area})^2 = (1 - \cos^2 A)(pq + rs)^2 \,</math>

:<math>4(\mbox{Area})^2 = (pq + rs)^2 - cos^2 A (pq + rs)^2. \,</math>

对<math>\triangle ADB</math>和<math>\triangle BDC</math>利用[[余弦定理]]，我们有：

:<math>DB^2 = p^2 + q^2 - 2pq\cos A = r^2 + s^2 - 2rs\cos C. \,</math>

代入<math>\cos C = -\cos A</math>（这是由于<math>A</math>和<math>C</math>是[[互补角]]），并整理，得：

:<math>2\cos A (pq + rs) = p^2 + q^2 - r^2 - s^2. \,</math>

把这个等式代入面积的公式中，得：

:<math>4(\mbox{Area})^2 = (pq + rs)^2 - \frac{1}{4}(p^2 + q^2 - r^2 - s^2)^2</math>

:<math>16(\mbox{Area})^2 = 4(pq + rs)^2 - (p^2 + q^2 - r^2 - s^2)^2, \,</math>

它是<math>a^2-b^2</math>的形式，因此可以写成<math>(a+b)(a-b)</math>的形式：

:<math>(2(pq + rs) + p^2 + q^2 -r^2 - s^2)(2(pq + rs) - p^2 - q^2 + r^2 +s^2) \,</math>

:<math>= [ (p+q)^2 - (r-s)^2 ][ (r+s)^2 - (p-q)^2 ] \,</math>

:<math>= (p+q+r-s)(p+q+s-r)(p+r+s-q)(q+r+s-p). \,</math>

引入<math>T = \frac{p+q+r+s}{2} </math>，

:<math>16(\mbox{Area})^2 = 16(T-p)(T-q)(T-r)(T-s). \,</math>

两边开平方，得：

:<math>\mbox{Area} = \sqrt{(T-p)(T-q)(T-r)(T-s)}.</math>

证毕。

== 更特殊情況 ==

若圓<math>O</math>的圆內接四邊形的四邊長為<math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>d</math>，且外切于圆<math>C</math>，則其面積為：

: <math>\sqrt{abcd}</math>

=== 证明 ===

由于四边形内接于圆<math>O</math>，所以：
: <math>S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}</math>

其中''p''為半周長：

: <math>p=\frac{a+b+c+d}{2}</math>

又因为四边形外切圆<math>C</math>，所以：

: <math>a+c=b+d</math>

则：

: <math>p-a=\frac{b+c+d-a}{2}=\frac{a+c+c-a}{2}=c</math>

同理:

<math>p-b=d</math>， 
<math>p-c=a</math>，
<math>p-d=b</math>

综上：

<math>S=\sqrt{abcd}</math>

证毕。

== 一般情況 ==

=== 布雷特施奈德公式 ===
對一般四邊形的面積有[[布雷特施奈德公式]]，其敘述如下：

: <math>\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-a b c d \cos^2\theta}</math>

其中 <math>\theta</math> 是四邊形一對對角和的一半。

注意到不論取到哪一對對角 <math>\cos^2 \theta</math> 的值都一樣，因為四邊形的內角和是 <math>2\pi</math>，故如果選取到的是另一對角，其對角和的一半是 <math>\pi-\theta</math>。而 <math>\cos(\pi-\theta)=-\cos\,\theta</math>，所以有 <math>\cos^2(\pi-\theta)=\cos^2\theta</math>。

假設此時四邊形恰好四頂點共圓，由於圓內接四邊形的對角和為 <math>\pi</math>，因此 <math>\theta={\pi\over2}</math>，而且由 <math>\cos\,{\pi\over 2}=0</math>，可推得此時 <math>abcd\cos^2\theta=0</math>，布雷特施奈德公式恰好退化回婆羅摩笈多公式。

=== 柯立芝公式 ===
另一個由[[朱利安·柯立芝|柯立芝]]所證明的公式如下<ref>J. L. Coolidge, "A Historically Interesting Formula for the Area of a Quadrilateral", ''American Mathematical Monthly'', '''46''' (1939) pp. 345-347.</ref>：

: <math>K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\textstyle{1\over4}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}\,</math>

其中<math>p</math>及<math>q</math>為四邊形對角線之長。在圓內接四邊形中，根據[[托勒密定理]]我們有<math>pq=ac+bd</math>，此公式退化回為婆羅摩笈多公式。

== 相關定理 ==

[[海倫公式]]給出[[三角形]]的面積。它是婆羅摩笈多公式取<math>d=0</math>的特殊情形。

婆羅摩笈多公式的基本形式和擴充形式，就像由[[勾股定理]]擴充至[[餘弦定理]]一般。

[[Category:四邊形]]
[[Category:数学公式]]
[[Category:面积]]