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威尔逊定理是以[[英格兰]]数学家[[爱德华·华林]]的学生[[约翰·威尔逊]]命名的，尽管这对师生都未能给出证明。华林于1770年提出该定理，1771年由[[拉格朗日]]首次证明<ref>{{cite journal|author = [[拉格朗日|Joseph Louis Lagrange]]|url = https://books.google.com/books?id=_-U_AAAAYAAJ&pg=PA125#v=onepage&q&f=false|title = Demonstration d'un théorème nouveau concernant les nombres premiers|trans-title = 某條質數新定理的證明|journal = Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres|location = Berlin|volume = 2|pages = 125–137|year = 1771|language = fr|access-date = 2021-11-08|archive-date = 2022-05-11|archive-url = https://web.archive.org/web/20220511225931/https://books.google.com/books?id=_-U_AAAAYAAJ&pg=PA125#v=onepage&q&f=false}}</ref>。

在[[初等数论]]中，'''威尔逊定理'''给出了判定一个[[自然数]]是否为[[質數]]的[[充分必要条件]]。即：[[当且仅当]]<math>p</math>为質數时：

:<math>(p-1)!\ \equiv\ -1\ (\mbox{mod}\ p)</math>

==证明==
===充分性===
如果 <math>p</math> 不是質數，那么它的正因数必然包含在整数 <math>2,3,4,\cdots,p-1</math> 中，因此 <math>\gcd((p-1)!\ ,p)>1</math> ，所以不可能得到 <math>(p-1)!\equiv -1\pmod p</math>。

===必要性===
若<math>p</math>是質數，取集合 <math>A = \left\{1,2,3,...p-1\right\}</math>，
则<math>A</math>构成模<math>p</math>乘法的缩系，即任意 <math>i\in A</math>，存在 <math>j\in A</math>，使得：

:<math> (ij)\ \equiv\ 1 \pmod{p}</math>

這幾乎說明<math>A</math>中的元素恰好两两配对。僅有滿足
:<math>x^2\ \equiv\ 1 \pmod{p}</math>
的元素<math>x</math>是例外。

上式解得
:<math> x\ \equiv\ 1 \pmod{p}</math>
或
:<math> x\ \equiv\ p-1 \pmod{p}</math>

其余两两配对，故而
:<math>(p-1)!\ \equiv\ 1 \times (p-1)\ \equiv\ -1 \pmod{p}. </math>

若<math>p</math>不是質數且大于4，
则易知有<math>d=\gcd[p,(p-1)!]=p,</math>

故而

:<math> (p-1)!\ \equiv\ -1 \pmod{p}.</math>

== 推論 ==
可以藉此推論<math>(p-2)! \equiv 1 \pmod{p}</math>如下：
:<math>(p-2)! \equiv -(p-1)(p-2)! \equiv -(p-1)! \equiv 1 \pmod{p}</math>

== 參考文獻 ==
{{reflist}}

[[Category:素數]]
[[Category:数学定理|W]]
[[Category:同余]]
[[Category:阶乘与二项式主题]]