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'''奥尔－索末菲方程'''（{{lang-en|Orr–Sommerfeld equation}}）是[[流体力学]]中的一个[[特征值]]方程，用以描述[[黏性]]平行流动的二维线性扰动模态。当平行[[层流]]满足特定条件时，相应的[[纳维-斯托克斯方程]]的解会变得不稳定，此时可使用奥尔－索末菲方程判断[[流体动力稳定性]]的条件。

奥尔－索末菲方程以{{le|威廉·迈克法登·奥尔|William McFadden Orr}}与[[阿诺德·索末菲]]命名。

== 公式 ==
[[Image:OS schematic.svg|thumb|right|300px|图中所示为管道流动中的基流。]]
假设经扰动后的流速为
:<math>\mathbf{u} = \left(U(z)+u'(x,z,t), 0 ,w'(x,z,t)\right)</math>,
其中<math>(U(z), 0, 0)</math>为未经扰动的基流。扰动速度有类波解<math>\mathbf{u}' \propto \exp(i \alpha (x - c t))</math>。使用{{le|流函数|Stream function
}}表示流动，由线性纳维-斯托克斯方程可以得到有量纲的奥尔－索末菲方程：
:<math>\frac{\mu}{i\alpha\rho} \left({d^2 \over d z^2} - \alpha^2\right)^2 \varphi = (U - c)\left({d^2 \over d z^2} - \alpha^2\right) \varphi -  U'' \varphi</math>,

其中<math>\mu</math>为流体的[[动力黏度]]，<math>\rho</math>为流体[[密度]]，<math>\varphi</math>为流函数或速度势函数。如不考虑黏性影响，该方程可简化为{{le|瑞利方程|Rayleigh's equation (fluid dynamics)}}。

无量纲形式的奥尔－索末菲方程为：
:<math>{1 \over i \alpha \, Re} \left({d^2 \over d z^2} - \alpha^2\right)^2 \varphi = (U - c)\left({d^2 \over d z^2} - \alpha^2\right) \varphi - U'' \varphi</math>,

其中<math>Re=\frac{\rho U_0 h}{\mu}</math>为基流的[[雷诺数]]（<math>U_0</math>为特征速度，<math>h</math>为管道高度）。壁面（<math>z = z_1</math>与<math>z = z_2</math>）的无滑移边界条件为：
:<math>\alpha \varphi = {d \varphi \over d z} = 0</math>（<math>\varphi</math>为势函数）
或
:<math>\alpha \varphi = {d \varphi \over d x} = 0</math>（<math>\varphi</math>为流函数）。

方程的特征值为<math>c</math>，对应的特征向量为<math>\varphi</math>。当波速<math>c</math>的虚部为正时基流不稳定，微小扰动会以指数形式放大。

== 参考文献 ==
*{{Cite journal
 | last=Orr
 | first=W. M'F.
 | year=1907
 | title=The stability or instability of the steady motions of a liquid. Part I
 | journal=Proceedings of the Royal Irish Academy
 | series=A
 | volume=27
 | pages=9–68
 }}
*{{Cite journal| last=Orr
 | first=W. M'F.
 | year=1907
 | title=The stability or instability of the steady motions of a liquid. Part II
 | journal=Proceedings of the Royal Irish Academy
 | series=A
 | volume=27
 | pages=69–138
 }}
*{{Cite book
 | last=Sommerfeld
 | first=A.
 | year=1908
 | chapter=Ein Beitrag zur hydrodynamische Erklärung der turbulenten Flüssigkeitsbewegungen
 | title=Proceedings of the 4th International Congress of Mathematicians
 | location=Rome
 | volume=III
 | pages=116–124
 }}

{{DEFAULTSORT:Orr-Sommerfeld equation}}
[[Category:流体力学中的方程]]