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[[最优控制]]中的'''奇異控制'''（singular control）是指一些不容易求解，無法利用[[庞特里亚金最小化原理]]求出完整解的問題。這類問題中只有少部份已有解答，例如[[金融經濟學]]中的{{le|默頓的投資組合問題|Merton's portfolio problem}}或是航空學中的{{tsl|en|trajectory optimization|軌跡最佳化問題}}。以下有進一步的技術說明。

應用庞特里亚金最小化原理時，最常見的困難點是當[[哈密頓量 (最佳控制)|哈密頓量]]和控制 <math>u</math>有線性關係時，也就是<math>H(u)=\phi(x,\lambda,t)u+\cdots</math>，而且控制有其上下限<math>a\le u(t)\le b</math>。為了使<math>H(u)</math>有最小值，需要儘可能的將<math>u</math>增加到最大，或是減少到最小，依<math>\phi(x,\lambda,t)</math>的符號而異：

: <math>u(t) = \begin{cases} b, & \phi(x,\lambda,t)<0 \\ ?, & \phi(x,\lambda,t)=0 \\ a, & \phi(x,\lambda,t)>0.\end{cases}</math>

若<math>\phi</math>有時為正，有時為負，偶爾是0，則其解相當的直接，即為[[起停式控制]]，當<math>\phi</math>由負切到正時，控制由<math>b</math>切換到<math>a</math>。

若<math>\phi</math>在一段有限時間<math>t_1\le t\le t_2</math>內均為0，則稱為奇異控制。在<math>t_1</math>和<math>t_2</math>之間，哈密頓量對<math>u</math>的最大化無法提供有關解的資訊，這段期間的解需要透過其他的資訊來求得。

（有一個作法是重複的將<math>\partial H/\partial u</math>對時間微分，直到有出現顯式控制項為止，之後可以令該式為0，求解u。因此在時間 <math>t_1</math> 和 <math>t_2</math>之間的控制 <math>u</math> 會讓奇異條件繼續成立，可以用此方式來計算控制 <math>u</math>。所得的奇異弧（singular arc）若滿足凱利條件（Kelley condition），奇異弧也會是最佳解：

:<math>(-1)^k \frac{\partial}{\partial u} \left[ {\left( \frac{d}{dt} \right)}^{2k} H_u  \right] \ge 0 ,\,  k=0,1,\cdots</math>

<ref>Bryson, Ho: Applied Optimal Control, Page 246</ref>。此條件也稱為廣義的{{tsl|en|Legendre-Clebsch condition|Legendre-Clebsch條件}}）。

'''bang-singular控制'''是指控制中有[[起停式控制]]的成份，也有奇異控制的成份。

==參考資料==
{{reflist}}

[[Category:控制理论]]