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{{微積分學}}

'''夾擠定理'''（{{lang-en|squeeze theorem}}），又稱'''夹逼定理'''、'''夹极限定理'''、'''三明治定理'''、'''逼近定理'''、'''迫敛定理'''，是有關[[函數]]的[[極限]]的数学[[定理]]。指出若有兩個函數在某點的極限相同，且有第三個函數的值在這兩個函數之間，则第三個函數在該點的極限也相同<ref>{{Cite book|title=Multivariable Calculus (6th ed.)|last=Stewart|first=James|year=2008|isbn=978-0495011637|pages=909–910|chapter=Chapter 15.2 Limits and Continuity}}</ref>。

== 定义 ==
設<math>I</math>為包含某點<math>a</math>的[[區間]]，<math>f,g,h</math>為定義在<math>I</math>上，可能不包含a点的函數。若對於所有屬於<math>I</math>而不等於<math>a</math>的<math>x</math>，有：
* <math>g(x) \leq f(x) \leq h(x)</math>
* <math>\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L</math>

則<math>\lim_{x \to a} f(x) = L</math>。

<math>g(x)</math>和<math>h(x)</math>分別稱為<math>f(x)</math>的[[下界]]和[[上界]]。

<math>a</math>若在<math>I</math>的端點，上面的極限是左極限或右極限。
對於<math>x \to \infty</math>，這個定理還是可用的。

== 例子 ==

=== 有关正弦函数的极限 ===
对于 <math>\lim_{x \to 0} x^2 \sin \frac {1} {x} </math>，

在任何包含0的區間上，除了<math>x=0</math>，<math>f(x) = x^2 \sin\frac{1}{x}</math>均有定義。

對於實數值，[[正弦]]函數的[[絕對值]]不大於1，因此<math>f(x)</math>的絕對值也不大於<math>x^2</math>。設<math>g(x) = -x^2</math>, <math>h(x) = x^2</math>：

: <math>-1 \le \sin\frac {1} {x} \le 1</math>
: <math>-x^2 \le x^2 \sin\frac {1} {x} \le x^2</math>
: <math>g(x) \le f(x) \le h(x)</math>

<math>\lim_{x \to 0} \ g(x) = \lim_{x \to 0} \ h(x) = 0</math>，根據夾擠定理

: <math>\lim_{x \to 0} f(x) = 0 </math>。
对于 <math>\lim_{x \to 0} \frac {\sin x} {x}</math>，

首先用幾何方法證明：若<math> 0 < x < \frac{\pi }{2} </math>，<math>\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1</math>。

[[File:Circle-trig6.svg|right|275px]]

稱(1,0)為D。A是單位圓圓周右上部分的一點。<math>C</math>在<math>OD</math>上，使得<math>AC</math>垂直<math>OD</math>。過<math>A</math>作單位圓的切線，與<math>OD</math>的延長線交於<math>E</math>。

由定義可得<math> x=\angle AOD=arc AD</math>，<math>\tan x = AE</math>。

: <math> AC < AD < arc AD </math>
: <math>\sin x < x </math>
: <math> \frac{\sin x}{x} < 1 </math>
: <math> arc AD < AE </math>
: <math> x < \tan x </math>
: <math> \cos x < \frac{\sin x}{x} </math>

因為<math>\lim_{x \to 0^{+}} \cos x = 1</math>，根據夾擠定理

:<math>\lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin x}{x} = 1</math>。

另一邊的極限可用這個結果求出。

=== 高斯函數 ===
[[高斯函數]]的[[積分]]的應用包括[[連續傅立葉變換]]和正交化。
一般高斯函數的積分是<math>I(a) = \int_{0}^a e^{-x^2}\,dx</math>，現在要求的是<math>I(\infty) = \int_{0}^\infty e^{-x^2}\,dx</math>。

被積函數對於y軸是對稱的，因此<math>I(\infty)</math>是被積函數對於所有實數的積分的一半。

<math>(2I)^2 = \left[2 \int_{0}^a e^{-x^2} dx \right] ^2 = \left[ \int_{-a}^a e^{-x^2} dx \right] ^2 = \int_{-a}^a \int_{-a}^a e^{-(x^2+y^2)} dx dy</math>

這個二重積分在一個<math>(-a,-a),(-a,a),(a,-a),(a,a)</math>的正方形內。它比其內切圓大，比外接圓小。這些可用極坐標表示：

: <math>\int_0^{2\pi}\int_0^a re^{-r^2}\,dr\,d\theta \le (2I)^2 \le \int_0^{2\pi}\int_0^{a\sqrt{2}} re^{-r^2}\,dr\,d\theta</math>
: <math>\pi (1-e^{-a^2}) \le (2I)^2 \le \pi (1-e^{-2a^2})</math>
: <math>\lim_{a \to \infty} \pi \left(1-e^{-a^2}\right) = \lim_{a \to \infty} \pi \left(1-e^{-2a^2}\right) = \pi \vdash [2I(\infty)]^2 = \pi </math>
: <math>\lim_{a \to \infty} (2I)^2 = \pi</math>
: <math>I(\infty) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}</math>

== 證明 ==
=== 極限為0的情況 ===
若<math>\forall x \in \mathbb R</math>，<math>g(x)=0 </math>，而且<math> \lim_{x \to a} h(x) = 0 </math>。

設<math> \varepsilon > 0</math>，根據函數的極限的定義，存在<math>\delta > 0</math>使得：若<math> 0 < |x-a| < \delta</math>，則<math>|h(x)| < \varepsilon</math>。

由於
<math>0 = g(x) \le f(x) \le h(x)</math>，故<math>|f(x)| \le |h(x)|</math>。

若 <math>0 < |x-a| < \delta</math>，則<math>|f(x)| \le |h(x)| < \varepsilon</math>。於是，<math> \lim_{x \to a} f(x) = 0 </math>。

=== 一般情況 ===
<math>g(x) \le f(x) \le h(x)</math>

<math>0 \le f(x) - g(x) \le h(x) - g(x)</math>

當<math>x \to a</math>：
: <math>h(x) - g(x) \to L-L = 0</math>
: 根據上面已證的特殊情況，可知<math>f(x) - g(x) \to 0</math>。
: <math>f(x) = [f(x) - g(x)] + g(x) \to 0 + L = L</math>。 
==参考==
<references />

[[Category:极限]]
[[Category:函数]]
[[Category:包含证明的条目]]
[[Category:微積分定理]]
[[Category:实分析定理]]