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{{distinguish|矩阵多项式}}
'''多项式矩阵'''，也称为'''{{math|''λ''}}－矩阵'''、'''矩阵系数多项式'''（不是'''矩阵多项式'''），是[[数学]]中[[矩阵论]]里的概念，指系数是[[多项式]]的[[方块矩阵]]。使用“{{math|''λ''}}－矩阵”的名称时，说明系数多项式以{{math|''λ''}}为不定元。

==严格定义==
给定[[自然数]]{{math|''n''}}和系数[[环 (代数)|环]]<math>\mathbf{R}</math>，一个{{math|''n''}}阶多项式矩阵{{math|''A''}}为如下形式{{r|jzl|page1=120}}：
:<math>A (\lambda ) = \left[ a_{i,j}(\lambda) \right]_{1 \leqslant i, j \leqslant n}, \quad \forall 1 \leqslant i, j \leqslant n, \; \; a_{i, j} (\lambda) = \sum_{k=0}^{d_{i, j}} a_{i, j, k} \lambda^k \in \mathbf{R}\left[ \lambda \right]</math>，
其中<math>d_{i, j}</math>是每个多项式<math>a_{i,j}(\lambda)</math>的次数。如果设其中最大的为<math>d</math>：
:<math>d = \max_{1 \leqslant i, j \leqslant n} \{ d_{i, j} \}</math>
那么多项式矩阵{{math|''A''}}也可以表达为{{r|kbd|page1=232}}：
:<math>A = \sum_{k=0}^d \lambda^k \left[ a_{i,j, k} \right]_{1 \leqslant i, j \leqslant n} = \sum_{k=0}^d A(k) \lambda^k.</math>
其中约定当<math>k > d_{i, j}</math>时，<math>a_{i,j, k} = 0</math>.

由于多项式矩阵也能被表达为以（数值）矩阵为系数的多项式，所以也被称为矩阵系数多项式。如果最高次系数矩阵<math>A(d)</math>的[[行列式]]不为零，则称多项式矩阵{{math|''A''}}为为正则多项式矩阵（{{lang|en|regular polynomial matrix}}）{{r|kbd|page1=232}}。所有{{math|''n''}}阶多项式矩阵的[[集合 (数学)|集合]]记为<math>\mathcal{M}_{n}(\mathbf{R}\left[ \lambda \right])</math>或<math>\mathcal{M}_{n}(\mathbf{R})\left[ \lambda \right]</math>。{{r|kbd|page1=232}}前者表示所有以多项式为系数的{{math|''n''}}阶方块矩阵的集合，后者表示所有{{math|''n''}}阶方块矩阵为系数的多项式的集合。可以验证两者是同构的。

==例子==
所有的数值矩阵都是多项式矩阵，因为可以将每个元素看成一个零多项式。设系数环为[[实数]][[体 (数学)|域]]，以下是一个3阶多项式矩阵：
:<math>
P=\begin{pmatrix}
1 & x^2 & x \\
0 & 2x & 2 \\
3x+2 & x^2-1 & 0
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 \\
2 & -1 & 0
\end{pmatrix}

+\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 0 \\
3 & 0 & 0
\end{pmatrix}x+\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}x^2.
</math>

'''[[特征多项式|特征矩阵]]'''是多项式矩阵的一个例子。设有{{math|''n''}}阶数值矩阵{{math|''A''}}，则特征矩阵实际上是一次多项式矩阵：<math> P_A (\lambda) = \lambda \mathbf{I}_n - A</math>。而特征矩阵的行列式<math>\det \left( \lambda \mathbf{I}_n - A \right)</math>就是数值矩阵{{math|''A''}}的[[特征多项式]]。

==性质==
由于多项式代数和矩阵代数的结构特性，环<math>\mathbf{R}</math>上的所有{{math|''n''}}阶多项式矩阵也构成一个[[代數 (環論)|代数]]。两个{{math|''n''}}阶多项式矩阵可以互相加减、相乘，并且满足加法交换律和乘法分配律（不满足乘法交换律）。用与数值矩阵相同的方式可以定义多项式矩阵的[[初等变换]]、[[相似矩阵|相似关系]]、[[等价关系]]（也称为'''相抵'''）、[[矩阵的秩|秩]]以及[[行列式]]{{r|jzl|page1=121}}。

如果系数环是域，那么可以证明，所有的多项式矩阵都可以[[矩阵对角化|对角化]]。任何一个[[矩阵的秩|秩]]为{{math|''r'' ≤ ''n''}}的多项式矩阵，都可以相抵于一个对角多项式矩阵：
:<math>a\operatorname{diag} (d_1(\lambda), d_2(\lambda), \cdots , d_r(\lambda), 0, \cdots , 0)</math>
其中的每个非零的对角元素<math>d_i(\lambda)</math>都是[[首一多项式]]，并且[[整除]]下一个对角元素<math>d_{i+1}(\lambda)</math>。这种形式称为多项式矩阵的史密斯标准型（{{lang|en|Smith normal form}}），所有的<math>d_i(\lambda)</math>被称为原多项式矩阵的[[不变因子]]{{r|jzl|page1=122}}。

如果将{{math|''n''}}阶多项式矩阵看成以{{math|''n''}}阶方块矩阵为系数的多项式，可以通过将其中的不定元{{math|''λ''}}替换为一个{{math|''n''}}阶方块数值矩阵{{math|''B''}}，而得到一个{{math|''n''}}阶数值矩阵。这种操作称为多项式矩阵的矩阵替换。由于矩阵乘法不满足交换律，所以替换分为左替换和右替换{{r|kbd|page1=233}}：
:左替换：将<math>\sum_{k=0}^d A(k) \lambda^k</math> 替换为 <math>\sum_{k=0}^d B^k \cdot A(k), </math> 也记作<math>P_l^A (B),</math>
:右替换：将<math>\sum_{k=0}^d A(k) \lambda^k</math> 替换为 <math>\sum_{k=0}^d  A(k)\cdot B^k, </math> 也记作<math>P_r^A (B).</math>
如果系数环是域，那么多项式矩阵之间可以做[[带余除法]]：如果<math>A(\lambda)</math>和<math>B(\lambda)</math>都是多项式矩阵，其中<math>B(\lambda) \neq 0</math>，那么唯一存在多项式矩阵<math>Q(\lambda)</math>和<math>R(\lambda)</math>，满足
#<math>A(\lambda) = B(\lambda) Q(\lambda) + R (\lambda),</math>
#<math>R(\lambda)</math>作为多项式的次数严格小于<math>B(\lambda)</math>，或者为零。

==参见==
*[[特征多项式]]
*[[不变因子]]
*[[初等因子]]

==参考来源==
{{reflist|refs=
<ref name="jzl">{{cite book|author=方保鎔, 周继东, 李医民|title=矩阵论|url=https://archive.org/details/juzhenlun0000unse|year=2004|publisher=清华大学出版社|location=北京|isbn=9787302092087}}</ref> 
<ref name="kbd">{{cite book|author=K. B. Datta|title=Matrix and Linear Algebra|year=2004|publisher=PHI Learning Pvt. Ltd.|isbn=9788120306363|language=en}}</ref> 
}}

[[category:矩阵论]]
[[category:多项式]]