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'''多项式定理'''为[[二项式定理]]的推广。<math>t=2</math> 时为二项式定理。

<math>(x_1+x_2+\cdots+x_t)^n=\sum\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_t!}x_1^{n_1}x_2^{n_2}\cdots x_t^{n_t}</math>

其中 <math>n_1+n_2+\cdots+n_t=n</math>、<math>0\le n_i\le n</math>

<math>n_1,n_2, n_3 \cdots n_t</math> 是指一切满足上述条件的非负数组合。
由[[隔板法]]可知该多项式展开共有 <math>\frac{(n+t-1)!}{n!(t-1)!} </math> 项。

==证明==
===[[数学归纳法]]===
对元数t做归纳：
当t=2时，原式为二项式定理，成立。 假设对t-1元成立，则：
:<math>\left ( x_1+x_2+\cdots+x_t \right )^{n}</math>
::<math>=</math>  <math>((x_1+x_2+\cdots+x_{t-1})+x_t)^{n}</math>
::<math>=</math>  <math>\sum_{n _t=0}^{n}\frac{n!}{n _t!\left ( n-n_t \right )!}\left ( x_1+x_2+\cdots+x_{t-1} \right )^{n-n _t}x_t^{n _t}</math>
::<math>=</math>  <math>\sum_{n _t=0}^{n}\frac{n!}{n _t!\left ( n-n_t \right )!}\sum_{n_1+n_2+\cdots+n _{t-1}=n-n _t}\frac{\left ( n-n _t \right )!}{n _1!\cdots n _{t-1}!}x_1^{n _1}\cdots x_{t-1}^{n _{t-1}}x_t^{n _t}</math>
::<math>=</math>  <math>\sum_{n_1+n_2+\cdots+n _t=n}\frac{n!}{n _1!\cdots n _t!}x_1^{n _1}\cdots x_t^{n _t}</math>
::证毕.

===组合法===
从<math>n_1+n_2+\cdots+n_t=n</math>中选<math>n_i</math>个<math>x_i</math>：

<math>\displaystyle \binom{n}{n_1} \binom{n-n_1}{n_2} \binom{n-n_1-n_2}{n_3} \cdots \binom{n-n_1-n_2-\cdots-n_{t-1}}{n_t} </math>

<math>= \frac{n!(n-n_1)!(n-n_1-n_2)!\cdots(n-n_1-n_2-\cdots-n_{t-1})!}{n_1!(n-n_1)!n_2!(n-n_1-n_2)!n_3!(n-n_1-n_2-n_3)!\cdots n_t!(n-n_1-n_2-\cdots-n_t)!}=\frac{n!}{n_1!n_2!n_3!\cdots n_t!}</math><ref>{{cite book|author=陈景润|title=组合数学简介|location=哈尔滨工业大学出版社|url=http://download.csdn.net/detail/YinTaiBing/1016714|isbn=9787560335643|pages=第81-83页|access-date=2015-09-20|archive-date=2017-04-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20170413070837/http://download.csdn.net/detail/YinTaiBing/1016714|dead-url=no}}</ref><ref>{{cite journal|author=伍启期|year=2012|title=多项式定理的新证明及其展开|journal=佛山科学技术学院学报(自然科学版)|issue=6|url=http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-FSDX201206006.htm|access-date=2013-10-07|archive-date=2017-04-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20170413070708/http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-FSDX201206006.htm|dead-url=no}}</ref>
<br>证毕.

==参见==
*[[二项式定理]]
*[[多项式]]

==参考资料==
{{reflist}}

{{Basic identity}}

[[Category:阶乘与二项式主题]]
[[Category:包含证明的条目]]
[[Category:多项式定理]]