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在[[线性代数]]中，'''多重线性映射'''是有多个[[向量]]变量而对每个变量都是线性的[[函数]]。

''n''个变量的多线性映射也叫做''n''重线性映射。

如果所有变量属于同一个空间，可以考虑[[对称]]、[[反对称]]和交替的''n''重线性映射。后两个是一致的，如果底层的环（或域）有不同于二的特征，否则前两个是一致的。

一般讨论可见[[多重线性代数]]。

== 例子 ==

*在实数域上的[[内积]]（点积）是两个变量的对称双线性函数，
*矩阵的[[行列式]]是[[方矩阵]]的列（或行）的[[反对称|斜对称]]多重线性函数。
*矩阵的[[迹数]]是[[方矩阵]]的列（或行）的多重线性函数。
* [[双线性映射]]是多重线性映射。

== 在''n''×''n''矩阵上多重线性映射 ==

可以考虑在有单位元的[[交换环]]K上的''n''×''n''矩阵上的多重线性函数为矩阵的行（或等价说列）上的函数。设''A''是这样的矩阵而<math>a_i</math>, 1 ≤ ''i'' ≤ ''n''是''A''的行。则多重线性函数''D''可以写为
:<math>D(A) = D(a_{1},\ldots,a_{n})</math>，

满足
:<math>D(a_{1},\ldots,c a_{i} + a_{i}',\ldots,a_{n}) = c D(a_{1},\ldots,a_{i},\ldots,a_{n}) + D(a_{1},\ldots,a_{i}',\ldots,a_{n})</math>，

如果我们设<math>\varepsilon_j</math>表示单位矩阵的第j行，我们用下列方法表示<math>a_{i}</math>

:<math>a_{i} = \sum_{j=1}^n A(i,j)\varepsilon_{j}</math>

利用''D''的多线性我们重写''D''（''A''）为

:<math>D(A) = D\left(\sum_{j=1}^n A(i,j)\varepsilon_{j}, a_2, \ldots, a_n\right)
       = \sum_{j=1}^n A(i,j) D(\varepsilon_{j},a_2,\ldots,a_n)</math>

继续这种代换于每个<math>a_i</math>我们得到，对于1 ≤ ''i'' ≤ ''n''

:<math>D(A) = \sum_{1\le k_i\le n} A(1,k_{1})A(2,k_{2})\dots A(n,k_{n}) D(\varepsilon_{k_{1}},\dots,\varepsilon_{k_{n}})</math>

所以D(A)是唯一的决定自它如何运算于<math>D(\varepsilon_{k_{1}},\dots,\varepsilon_{k_{n}})</math>上。

在''2''×''2''矩阵的情况下我们得到

:<math>D(A) = A_{1,1}A_{2,1}D(\varepsilon_1,\varepsilon_1) + A_{1,1}A_{2,2}D(\varepsilon_1,\varepsilon_2) + A_{1,2}A_{2,1}D(\varepsilon_2,\varepsilon_1) + A_{1,2}A_{2,2}D(\varepsilon_2,\varepsilon_2)</math>，

这裡的<math>\varepsilon_1 = [1,0]</math>且<math>\varepsilon_2 = [0,1]</math>。如果我们限制D是交替函数，则<math>D(\varepsilon_1,\varepsilon_1) = D(\varepsilon_2,\varepsilon_2) = 0</math>且<math>D(\varepsilon_2,\varepsilon_1) = -D(\varepsilon_1,\varepsilon_2) = -D(I)</math>。设<math>D(I) = 1</math>我们得到在''2''×''2''矩阵上行列式函数:

:<math>D(A) = A_{1,1}A_{2,2} - A_{1,2}A_{2,1}</math>，

== 性质 ==

多重线性映射有零值，只要它的一个参数是零。

对于''n''>1，唯一的也是线性映射的''n''-线性映射是[[零函数]]。

== 参见 ==
* [[代数形式]]
* [[多重线性形式]]
* [[齐次多项式]]
* [[齐次函数]]
* [[张量]]

[[Category:函数|D]]
[[Category:多重线性代数|D]]