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{{NoteTA |G1=Math}}
{{unreferenced|time=2016-12-31T10:36:22+00:00}}
[[File:Multivalued function.svg|frame|right|圖中的不是真正的[[函數]]，因為''X''集合中的3對應''Y''集合中的二個元素''b''及''c'']]

'''多值函数'''（{{lang-en|multivalued function, multifunction}}）為一[[數學]]名詞，是一種[[二元关系]]。其中，[[定义域]]<math>X</math>中的每一个元素都对应[[到达域|陪域]]<math>Y</math>中的至少一个元素。

此名词来源于[[複分析|复分析]]，例如复[[对数|对数函数]]便是其中一例。[[函数]]原本的定义中不允许<math>X</math>的元素对应多于一个<math>Y</math>中的元素；但复分析中，为了作区分，将原来定义的函数称为'''单值函数'''。

有些多值函数拥有'''主分支'''，而使得多值函数可以转化为单值函数。此时该单值函数的值称为'''主值'''（{{lang|en|principal value}}）。

==例子==
*每個大於0的[[實數]]都有二個實數的[[平方根]]，例如4的平方根是{{nowrap|{&minus;2, +2}.}}，0的平方根是0。
*一般而言，許多不為0的[[复数 (数学)|複數]]都有二個平方根、三個[[立方根]]、n個[[n次方根]]，只有0的n次方根為0。
*[[複對數]]函數是多值函數。<math>\log(a+bi)</math>（<math>a</math>和<math>b</math>為實數）的值是<math>\log{\sqrt{a^2 + b^2}} + i\arg (a+bi) + 2 \pi n i</math>，其中<math>n</math>為任意整數。 .
*[[反三角函數]]為週期性的多值函数，例如
::<math>
\tan\left({\textstyle\frac{\pi}{4}}\right) = \tan\left({\textstyle\frac{5\pi}{4}}\right)
= \tan\left({\textstyle\frac{-3\pi}{4}}\right) = \tan\left({\textstyle\frac{(2n+1)\pi}{4}}\right) = \cdots = 1.
</math>
:因此，arctan(1)在本質上會對應許多數值：{{pi}}/4, 5{{pi}}/4, &minus;3{{pi}}/4等。若限制其tan ''x''的定義域在{{nowrap|&minus;{{pi}}/2 < ''x'' < {{pi}}/2}}，此區域下tan ''x''為單純遞增，則arctan(''x'')的值域會在{{nowrap|&minus;{{pi}}/2 < ''y'' < {{pi}}/2}}。這種限定區域下的值稱為{{le|主值|Principal value}}。
*[[不定積分]]也可以視為是多值函数，函數''f''的不定積分是一個函數的集合，集合中的每一個函數微分後都是''f''，因此不定積分存在一[[積分常數]]，因為積分常數不論本身數值多少，微分後都是0。

所有的多值函数都是來自非[[單射]]的函數，因為原始函數無法完全保存其輸入的資訊，因此函數也就不可逆。

複變函數的多值函數會有{{le|分支點|branch point}}，例如n次方根以及對數函數中，0是分支點，而arctan函數中，虛數單位''i''和&minus;''i''為分支點。利用分支點可以限定範圍的方式，將這些函數重新定義為單值函數。<!--A suitable interval may be found through use of a [[branch cut]], a kind of curve that connects pairs of branch points, thus reducing the multilayered [[Riemann surface]] of the function to a single layer.-->若是在實函數的例子中，這個限制的區域一般會稱為函數的主分支。

==相關條目==
*{{le|部分函数|Partial function}}
*{{le|對應 (數學)|Correspondence (mathematics)|對應}}
*{{le|Fat link|Fat link}}：一種一對多的[[超連結]]
*{{le|區間有限元|Interval finite element}}
*{{le|Hans Rådström|Hans Rådström}}
==參考資料==
{{reflist}}
* C. D. Aliprantis and K. C. Border, ''Infinite dimensional analysis. Hitchhiker's guide'', Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2006
* J. Andres and L. Górniewicz, ''Topological Fixed Point Principles for Boundary Value Problems'', Kluwer Academic Publishers, 2003
* J.-P. Aubin and A. Cellina, ''Differential Inclusions, Set-Valued Maps And Viability Theory'', Grundl. der Math. Wiss. 264, Springer - Verlag, Berlin, 1984
* J.-P. Aubin and H. Frankowska, ''Set-Valued Analysis'', Birkhäuser, Basel, 1990
* K. Deimling, ''Multivalued Differential Equations'', Walter de Gruyter, 1992
* A. Geletu, [https://web.archive.org/web/20160417134540/https://www.tu-ilmenau.de/fileadmin/media/simulation/Lehre/Vorlesungsskripte/Lecture_materials_Abebe/svm-topology.pdf ''Introduction to Topological Spaces and Set-Valued Maps (Lecture notes)''], Ilmenau University of Technology, 2006
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* D. Repovš and P.V. Semenov, [http://www.springer.com/gp/book/9780792352778?cm_mmc=sgw-_-ps-_-book-_-0-7923-5277-7 ''Continuous Selections of Multivalued Mappings'']{{Wayback|url=http://www.springer.com/gp/book/9780792352778?cm_mmc=sgw-_-ps-_-book-_-0-7923-5277-7 |date=20150924134049 }}, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 1998
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* F.-C. Mitroi, K. Nikodem, S. Wąsowicz, Hermite-Hadamard inequalities for convex set-valued functions, Demonstratio Mathematica, Vol. 46, Issue 4(2013), pp.655-662.
[[Category:函数]]