查看“︁外积 (张量积)”︁的源代码

{{NoteTA|G1=Math}}
{{dablink|關於其他常稱作'''外積'''的相關二元運算，參閱[[外積]]。}}

'''外积'''（{{lang-en|outer product}}），在[[线性代数]]中一般指两个[[向量]]的[[张量積]]，其結果為一[[矩陣]]；與[[外积]]相對，兩向量的[[点积|內積]]結果為[[标量 (数学)|純量]]。

外積也可視作是矩陣的[[克羅內克積]]的一種特例。注意到：一些作者將「張量的外積」作為[[張量積]]的同義詞。

==矩阵乘法定义==

向量的外积是矩阵的[[克罗内克积]]的特殊情况。

给定<math>m\times 1</math> [[列向量|列向量]]<math>\mathbf{u}</math>和<math>1 \times n</math> [[行向量|行向量]]<math>\mathbf{v}</math>，它们的外积<math>\mathbf{u} \otimes \mathbf{v}</math>被定义为<math>m\times n</math>矩阵<math>\mathbf{A}</math>，结果出自
:<math>\mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \mathbf{A} = \mathbf{u} \mathbf{v}</math>
这里的[[张量积]]就是向量的乘法。

使用坐标：
:<math>\begin{bmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_4\end{bmatrix}  \otimes   \begin{bmatrix}a_1 & a_2 & a_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a_1b_1 & a_2b_1 & a_3b_1 \\ a_1b_2 & a_2b_2 & a_3b_2 \\ a_1b_3 & a_2b_3 & a_3b_3 \\ a_1b_4 & a_2b_4 & a_3b_4\end{bmatrix}</math>

对于复数向量，习惯使用<math>\mathbf{v}</math>的[[复共轭]](指示为<math>\bar{\mathbf{v}}</math>)，因为人们把行向量认为是[[对偶空间]]的[[复共轭向量空间]]的元素：
:<math>\mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \mathbf{A} = \mathbf{u} \bar{\mathbf{v}}</math>

如果<math>\mathbf{v}</math>是列向量，定义变为：
:<math>\mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \mathbf{A} = \mathbf{u} \mathbf{v}^*</math>
这里的<math>\mathbf{v}^*</math>是<math>\mathbf{v}</math>的[[共轭转置]]。

===相对于外积===

如果<math>\mathbf{v}</math>是列向量，而且''m'' = ''n''，则可以采用其他方式的积，生成一个标量(或<math>1 \times 1</math>矩阵):
:<math>\left\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}\right\rangle = \left\langle \mathbf{v}, \mathbf{u}\right\rangle = \mathbf{v} \mathbf{u}</math>
它是[[欧几里得空间]]的标准[[内积]]，常叫做[[点积]]。

==抽象定义==

给定[[向量]]<math>v \in V</math>和[[余向量]]<math>w^* \in W^*</math>，张量积<math>v \otimes w^*</math>给出映射<math>A\colon W \to V</math>，在同构<math>\mathrm{Hom}(W,V) = W^* \otimes V</math>之下。

具体的说，给定<math>w \in W</math>，
:<math>A(w) := w^*(w)v</math>
这里的<math>w^*(w)</math>是<math>w^*</math>在''w''上的求值，它生成一个标量，接着乘''v''。

可作为替代，它是<math>w^*\colon W \to K</math>与<math>v\colon K \to V</math>的复合。 

如果<math>W=V</math>，则还可以配对<math>w^*(v)</math>，这是[[内积]]。

==参见==
* [[内积]]
* [[叉积]]
* [[张量积]]

[[Category:二元运算|U]]
[[Category:多重线性代数|U]]
[[Category:双线性算子]]
[[Category:高阶函数]]